Abstract

Abstract

One step optimal control problem described by discrete two-parameter systems of the Fornazini - Markesini type is considered, assuming openness of the control domain. An analog of the Euler equation and a quadratic necessary optimality condition are established.

Full Text

Введение В последние годы много внимания уделяется изучению многоэтапных (ступенчатых, составных) задач оптимального управления. Под многоэтапными процессами понимаются процессы, в которых изменения вектора состояния объекта управления рассматриваются на ряде отрезков или областей. Подобные задачи оптимального управления возникают в робототехнике, космической навигации, химической технологии, экологии и др. (см., например, [1-6]). В работах [1-6] и других исследованы различные задачи оптимального управления ступенчатыми процессами, описываемые обыкновенными дифференциальными и разностными уравнениями. В исследованиях [7-14] и других изучены различные аспекты задач оптимального управления, описываемые дискретными двухпараметрическими системами типа Форназини - Маркезини. Подобными системами описываются многие реальные процессы [7-10]. В предлагаемой работе исследуется одна ступенчатая задача оптимального управления, описываемая дискретной двухпараметрической системой (система Форназини - Маркезини) при открытости областей управления. Установлен аналог уравнения Эйлера и доказано необходимое условие оптимальности второго порядка. Частный случай рассматриваемой задачи изучен в [15, 16]. 1. Постановка задачи Предположим, что управляемый процесс описывается системой нелинейных разностных уравнений (1) (2) с краевыми условиями (3) (4) Здесь - заданная n-мерная, а - m-мерная вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по третьему и четвертому аргументам до второго порядка включительно; , , - заданные дискретные вектор-функции соответствующих размерностей; - заданная дважды непрерывно дифференцируемая m-мерная вектор-функция; - заданные числа, причем разности и есть натуральные числа; - r-мерный, а - q-мерный дискретные векторы управляющих воздействий, причем (5) где и - заданные непустые открытые и ограниченные множества. Пару с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением, а соответствующий набор - допустимым процессом. На решениях краевой задачи (1)-(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал (6) Здесь , - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции. Допустимое управление, доставляющее минимум функционалу (6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. 2. Разложение специального приращения функционала качества Пусть - фиксированный допустимый процесс. Через , где , , , , обозначим произвольный допустимый процесс. Введем функции Гамильтона - Понтрягина: , , где , - пока неизвестные вектор-функции соответствующих размерностей, а штрих (׳) - операция транспонирования. Запишем приращение функционала качества: (7) Приращения являются решением краевой задачи , (8) (9) С учетом (8), (9) и определения функций М имеем: Сделав замену переменных получим: (10) (11) Полагая и учитывая тождества (10), (11), преобразуем (7) к виду (12) Если предположить, что функции являются решением системы разностных уравнений , , , , , , , , то формула приращения (12) примет вид (13) Пусть - любое достаточно малое по абсолютной величине число, а - произвольные ограниченные вектор-функции. Выберем допустимые управляющие функции , таким образом, чтобы выполнялись соотношения: , (14) , , , ; , (15) , , , . В силу определения вариации , . Учитывая условия, наложенные на правые части уравнений (1), (2), при помощи (14), (15) получаем: , (16) , (17) где и являются решениями краевых задач , (18) , ; , , . Учитывая разложения (16), (17), из формулы (13) получаем: (19) Из разложения (19) в силу открытости областей управлений и (с учетом результатов вариационного исчисления (см. например [17, 18])) следует, что для оптимальности допустимого процесса необходимо, чтобы соотношения (20) (21) выполнялись для всех при и для всех при . Из тождества (20), в силу независимости и произвольности допустимых управлений , получаем следующее утверждение: Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо выполнение соотношений: , (22) , (23) Пара соотношений (22), (23) есть аналог уравнения Эйлера для рассматриваемой задачи. Допустимое управление удовлетворяющее уравнениям (22), (23), следуя [19], назовем классической экстремалью. Ясно, что число классических экстремалей может быть достаточно большим. Поэтому надо иметь новые необходимые условия оптимальности, позволяющие сузить множество классических экстремалей, подозрительных на оптимальность. Используя произвольность и независимость допустимых вариаций , , из неравенства (21) получаем следующее утверждение: Теорема 2. Для оптимальности классической экстремали необходимо, чтобы вдоль процесса выполнялись неравенства: 1) (24) где есть решение краевой задачи (18), а есть решение задачи , (25) , ; 2) (26) где есть решение задачи , (27) , . Неравенства (24), (26) являются неявными необходимыми условиями оптимальности. Используя их, получим явное необходимое условие оптимальности. Решение краевой задачи (18) допускает представление [14] . (28) Здесь - -матричная функция, являющаяся решением задачи , , , , где - единичная -матрица. Через обозначим -матричную функцию, являющуюся решением задачи , , , , где - единичная -матрица. Решения краевых задач (25) и (27) допускают соответственно представления , (29) , где определяется формулой Используя представления (28), (29) по схеме, аналогичной схеме работ [20, 21], будем иметь: (30) (31) (32) При помощи представления (30) получаем, что (33) (34) (35) Введем две матричные функции: Учитывая тождества (31)-(35) и выражения для , , неравенства (36), (37) можно переписать в виде (36) (37) Теорема 3. Для оптимальности классической экстремали необходимо, чтобы неравенства (36), (37) выполнялись для всех при и для всех при . Заключение В работе ставится и исследуется одна ступенчатая задача оптимального управления дискретными двухпараметрическими системами типа Форназини - Маркезини. При помощи модифицированного варианта метода приращений получен аналог уравнения Эйлера. Затем, исходя из условия неотрицательности второй вариации критерия качества вдоль оптимального процесса, установлено явно выраженное через параметры рассматриваемой задачи необходимое условие оптимальности второго порядка при помощи методики работ [19, 21]. Авторы выражают глубокую благодарность уважаемому рецензенту за полезные замечания, способствовавшие улучшению первоначального варианта статьи.