Full Text

Введение Наиболее распространенными конструктивными элементами пьезокерамических преобразователей являются тела канонической формы в виде сплошных цилиндров конечных размеров (круглых толстых пластин) [1-3]. Для описания их работы в реальных условиях и расширения функциональных возможностей необходим углубленный анализ нестационарных процессов, без которого невозможно понять эффект взаимодействия механических и электрических полей напряжений. Вместе с тем существующие методы расчета пьезоэлектрических элементов конструкций на нестационарные воздействия далеко не совершенны, и большинство из них являются приближенными. При этом значительная часть исследований связана с разработкой численных методов решения [4, 5], а также с приведением этих задач к статическим или квазистатическим. В связи с этим на первый план выходят методы, позволяющие получить замкнутые решения нестационарных начально-краевых задач теории электроупругости для тел конечных размеров в трехмерной постановке. Математические трудности при реализации данного подхода приводят к тому, что значительная часть работ в этой области связана с исследованием осесимметричных задач [6-12]. Существенно меньшее количество решений получено в случае неосесимметричной их постановки [6, 13-15]. Причем работы [6,13,14] посвящены исследованию собственных колебаний, а в [15] рассматривается установившийся режим вынужденных колебаний. В настоящей работе неосесимметричная динамическая задача в трехмерной постановке исследуется с помощью последовательного применения конечных интегральных преобразований по всем пространственным переменным [16,17]. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде для пьезокерамического цилиндра, выполненного из материала гексагональной системы класса 6mm [18], в котором ось симметрии параллельна аксиальной координате. 1. Постановка задачи Сплошной анизотропный цилиндр занимает в цилиндрической системе координат область : и выполнен из пьезокерамического материала. Торцевые электродированные мембранно закрепленные поверхности ( ) подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением и загружены динамической нагрузкой (нормальными напряжениями) , , которая является произвольной функций радиальной, угловой координат и времени . На цилиндрических неэлектродированных поверхностях можно удовлетворить различные механические условия. Для определенности в дальнейшем будем считать их свободными от нормальных и касательных напряжений. В такой постановке задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого пьезоэффекта, трансформирующих механическое воздействие в соответствующий электрический сигнал. Математическая формулировка рассматриваемой задачи электроупругости в безразмерной форме включает систему дифференциальных уравнений относительно компонент вектора перемещения , , , потенциала электрического поля [6] (1.1) и краевые условия (1.2) , ; : , (1.3) : , (1.4) , , , , , , ; : , , , (1.5) , , , где , , ; , ; , ; ; - соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора индукции электрического поля ( ; ); радиус цилиндра; объемная плотность, упругие постоянные и пьезомодули анизотропного пьезокерамического материала ( ); диэлектрические проницаемости в радиальном и осевом направлениях; компоненты вектора перемещений и потенциал электрического поля в размерной форме; , известные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений. Электрические граничные условия (1.2), (1.4) соответствуют режиму «холостого хода» на торцевых поверхностях и отсутствию электродного покрытия на цилиндрической поверхности цилиндра. Соотношения (1.3), (1.4) ( ) являются условиями периодичности для круговых областей и регулярности решения. Начальные условия (1.5) определяет деформированное состояние системы в момент времени . В равенствах (1.5) и ниже точка означает дифференцирование по . 2. Построение общего решения Решение осуществляется методом интегральных преобразований, путем последовательно синус- и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной и [19], а также обобщенного конечного преобразования (КИП) [20] по радиальной координате . При этом каждый раз предварительно необходимо выполнять процедуру стандартизации (приведение граничных условий по соответствующей координате к однородным). На первом этапе для этой цели используется такое представление: (2.1) Здесь , , . В результате подстановки (2.1) в (1.1)-(1.5) получаем новую краевую задачу относительно функций , , , с однородными граничными условиями по координатам и . При этом дифференциальные уравнения (1.1), граничные условия (1.4) становятся неоднородными с правыми частями и , а в начальных условиях (1.5) вместо следует принять . К преобразованной краевой задаче (1.1)-(1.5) применяем последовательно синус- и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной и , используя следующие трансформанты: (2.2) , с соответствующими формулами обращения (2.3) , , , , В результате получаем следующую начально-краевую задачу относительно трансформант Фурье : , (2.4) , , , : , (2.5) , , , , , , ; : , (2.6) , , где , , . Повторяя еще раз процедуру стандартизации задачи (2.4)-(2.6), представляем трансформанты Фурье в виде (2.7) где , , , , . При подстановке (2.7) в (2.4)-(2.6) получаем краевую задачу относительно функций с однородными граничными условиями по координате . При этом вместо правых частей дифференциальных уравнений (2.4) и начальных условий (2.6) следует принять и . Краевую задачу (2.4)-(2.6) относительно функций решаем, используя структурный алгоритм обобщенного метода конечных интегральных преобразований (КИП) [20]. Введем на сегменте [0,1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами вектор-функции ядра преобразования , (2.8) , (2.9) , где - положительные параметры, образующие счетное множество . При этом круговые частоты неосесимметричных колебаний цилиндра связаны с зависимостью . (2.10) Подвергая систему уравнений и условия вида (2.4)-(2.6) относительно функций преобразованиям в соответствии со структурным алгоритмом [20], получаем счетное множество задач Коши для трансформанты , решение которых имеет вид (2.11) и однородную краевую задачу для компонент : , (2.12) , , , : , (2.13) , , , : , , , . Здесь При исследовании системы (2.12) имеют место следующие случаи: и Когда , рассматривается осесимметричная задача, решение которой получено автором в работе [7]. Для решения (2.12) при вводятся новые функции , на основании следующих представлений: , . (2.14) Тогда частные решения системы дифференциальных уравнений (2.12) находятся методом разложения функций в следующие степенные ряды: (2.15) После подстановки (2.15) в (2.12) приравниваем нулю все множители с одинаковой степенью и получаем значения для параметра , а также выражения для коэффициентов . В результате получаем четыре линейно независимых частных решений. Подстановка полученных соотношений для в граничные условия при (2.13) формирует однородную систему уравнений относительно постоянных . Разыскивая ее нетривиальное решение, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений , а также выражения для . При этом полученные выражения для удовлетворяют также и условия регулярности решения в центре пластины (краевые условия (2.13) при ). Применяя к трансформанте (2.11) последовательно формулы обращения (2.9), (2.3), (2.2), получаем с учетом (2.1), (2.7) следующие разложения для , , : , (2.16) , , . Разность потенциалов между торцевыми электродированными плоскостями пьезокерамического цилиндра определяется с помощью следующего равенства: (2.17) 3. Численный анализ результатов. Выводы В качестве примера рассматривается пьезокерамический цилиндр ( м) состава ЦТС-19, имеющего следующие физические характеристики материала: Кл/м , Ф/м, Н/м , кг/м . В таблице приведены численные значения спектра частот собственных колебаний ( , ) пьезокерамического цилиндра, полученные с помощью построенного в настоящей работе алгоритма (верхние числа) и численным методом конечных элементов с использование программы ANSYS (нижние числа). Следует отметить, что наименьшее расхождение численных значений наблюдается при вычислении первого тона колебаний. Вместе с тем с ростом i разница в частотах, найденных аналитическим и численным методами, становится более существенной и достигает 9,8 %. Кроме того, интересно отметить, что первая частота собственных неосесимметричных колебаний соответствует образованию одной полуволны по угловой координате и вдоль цилиндрической поверхности исследуемого элемента. Значения спектра частот собственных колебаний пьезокерамического цилиндра , кГц На рисунке приведены графики изменения вертикальных перемещений и разности потенциалов во времени в случае действия на половине торцевой поверхности цилиндра ( ) равномерно-распределенной нагрузки интенсивностью и различной частоты : , где единичная функция Хэвисайда [21]. a б Рис. Графики изменения и во времени: a - б - 1 - ; 2 - ; 3 - Цифрами 1, 2, 3 соответственно обозначены функции , а пунктирной линией показан характер изменения внешней нагрузки во времени. Очевидно, что вертикальная компонента вектора перемещений на незагруженном участке при существенно меньше соответствующих значений в зоне действия нагрузки при Результаты расчета также показывают, что при действии гармонической нагрузки допущение о стационарном режиме вынужденных колебаний, используемое при исследовании динамических задач, справедливо только в случае, когда частоты вынужденных колебаний существенно меньше первой частоты собственных колебаний. При высокочастотном внешнем воздействии вследствие наложения отраженных волн деформирования наблюдается более сложная зависимость изменения напряженно-деформированного состояния и электрического поля системы во времени. На основании проведенных исследований можно сформулировать основные результаты. 1. Построено новое замкнутое решение, позволяющее с помощью базовых расчетных соотношений описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов в виде сплошного цилиндра, подверженных действию динамической неосесимметричной механической нагрузки. 2. Численные результаты расчета показывают, что использование построенного алгоритма расчета позволяет, по сравнению с численными методами, получить более точные значения спектра частот собственных колебаний, напряженно-деформированного состояния и электрического поля пьезокерамического цилиндра. 3. В случае действия высокочастотной внешней гармонической нагрузки при исследовании упругих и электроупругих систем нельзя использовать допущение об установившемся режиме вынужденных колебаний.

About the authors

D A Shlyakhin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

References

Statistics

Views

Abstract - 106

PDF (Russian) - 41