On the Approximation of Derivatives in Hexahedral 8-Node Finite Elements

Abstract


In numerical solutions of elasticity and plasticity problems, finite elements with a reduced integration are often used, especially in solving dynamic problems. In this case, for 8-node 3D elements, one point of the numerical integration is used instead of 8. In this case, it is actually assumed that the strains and stresses are constant within an element. In this case, the traditional technique of constructing the stiffness matrix for an element of a standard shape in the form of a cube with a subsequent mapping of the actual finite elements of an arbitrary shape and size onto the standard one is not necessary. Instead, the stiffness matrix can be constructed directly for a finite element of an arbitrary shape. In this case, it is expressed through the coefficients of grid operators approximating the first partial derivatives of the displacement field in the finite element. The paper considers a new approach to approximating derivatives when constructing the stiffness matrix for a 3D 8-node finite element with one integration point. The theoretical basis for this approach is the further development of the class of rare mesh FEM schemes. The obtained formulas allow one to construct incompatible FEM schemes with improved properties. The paper discusses the problems of hourglass instability, shear and volume locking. A new effective approach to solving the hourglass problem is proposed. The possibility of applying new derivative approximation formulas to finite elements of a degenerate form with a number of nodes less than eight is also discussed. It is shown that they remain applicable in a standard way in this case too. The results of the study are confirmed by the presented numerical solution results of the model static elasticity problems.

Full Text

Традиционная техника метода конечных элементов состоит в построении матрицы жесткости для элемента стандартной формы и размера (квадрат в двумерном случае, куб в трехмерном случае), а в дальнейшем используется отображение произвольного конечного элемента произвольной формы на стандартный элемент. В результате матрица жесткости конечного элемента также преобразуется. Для конечных элементов в форме симплекса с линейной аппроксимацией функций (двумерного треугольника или трехмерного тетраэдра) техника отображения как правило не используется (см. [1]). Это связано с тем, что в данном случае отображение является линейным, якобиан отображения – постоянным и для интегрирования достаточно одной точки. Поэтому матрицы жесткости элементов произвольной формы строятся непосредственно в процессе решения задачи. При этом элементы матрицы жесткости выражаются через коэффициенты операторов сеточного дифференцирования, аппроксимирующих первые производные неизвестных функций в элементе. При решении динамических задач теории упругости и пластичности на базе явных схем интегрирования по времени часто используются 4-узловые двумерные или 8-узловые трехмерные конечные элементы с неполным интегрированием, когда вместо 4 гауссовых точек интегрирования в двумерном элементе или 8 точек интегрирования в трехмерном используется одна точка. В этих случаях задача отображения произвольного конечного элемента на элемент стандартной формы фактически эквивалентна построению операторов численного дифференцирования на 4-узловом или 8-узловом шаблоне произвольной формы. В известной разностной схеме Уилкинса [2], эквивалентной схеме МКЭ с одной точкой интегрирования, матрица жесткости не строится, а вместо этого формируются соответствующие дифференциальные операторы. Матрица жесткости конечного элемента записывается в виде [3]: , где - матрица деформаций, связывающая компоненты тензора деформаций с узловыми перемещениями, - матрица упругих постоянных. В общем случае элементы матрицы являются функциями пространственных координат, но для линейных конечных элементов в виде симплексов, а также для элементов с одной точкой интегрирования они являются константами. В этом случае матрица жесткости принимает вид , где - объем элемента. Ненулевые элементы матрицы являются коэффициентами сеточных операторов, аппроксимирующих первые частные производные в элементе. Данные операторы могут быть представлены в виде . (1) Здесь - число узлов в элементе, - значения функции в узлах элемента, - коэффициенты разностных операторов. Таким образом, элементами матрицы являются коэффициенты и задача построения матрицы жесткости фактически сводится к определению этих коэффициентов. Отметим еще один важный аспект построения численных схем МКЭ, рассмотренный в данной работе. Это борьба с двумя нежелательными эффектами, присущими многим конечным элементам – эффектами сдвигового и объемного запирания и неустойчивости типа «песочные часы». Оба эти эффекта давно известны, по ним имеется обширная литература [4-10], но актуальность их исследования не пропала, о чем свидетельствуют появляющиеся до последнего времени публикации, например [11-13]. Эффект запирания присущ многим элементам низкого порядка (с линейной и полилинейной аппроксимацией неизвестных функций) и связан с неудовлетворительной аппроксимацией конечным элементом деформаций изгиба (сдвиговое запирание) либо в случае почти несжимаемых сред (объемное запирание). Следствием этого является медленная сходимость численных решений. Для борьбы с данным эффектом применяется сокращенное интегрирование, а также применение элементов более высокого порядка и измельчение сетки, что приводит к значительному увеличению вычислительных затрат при решении задач. Эффект «песочных часов» связан с наличием в элементах мод нулевой энергии, когда конечный элемент не реагирует на некоторые изменения его формы (типичный случай – на изгиб и кручение). Иначе это можно интерпретировать как «неполноту» системы сеточных операторов. Так, если в энергии элемента учитываются только первые производные поля перемещений, то пересечение ядер операторов (1) будет ненулевым и включать в себя деформации изгиба и кручения элементов. Для борьбы с данным видом неустойчивости используются различные искусственные приемы [13,14]. Неустойчивость типа «песочные часы» присуща элементам с неполным интегрированием. Отметим, что у линейных элементов, в частности у 4-узлового тетраэдра, «песочные часы» не проявляются, поскольку в данном случае пересечением ядер операторов (1) является смещение тела как жесткого целого, которое ликвидируется при наличии в задаче кинематических граничных условий.

About the authors

D. T Chekmarev

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, Russian Federation

E. G Glazova

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, Russian Federation

Y. Abu Dawwas

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, Russian Federation

References

  1. Skripnyak V. V., Chirkov M.O., Skripnyak V.A. Modeling the mechanical response of auxetic metamaterials to dynamic effects, PNRPU Mech. Bull., 2021, 2021(2), pp. 144–152, doi: 10.15593/PERM.MECH/2021.2.13
  2. Qin Q., Dayyani I., Webb P. Structural Mechanics of cylindrical fish-cell zero Poisson’s ratio metamaterials, Compos. Struct., 2022, 289, pp. 115455, doi: 10.1016/J.COMPSTRUCT.2022.115455
  3. Yu X., Zhou J., Liang H., Jiang Z., Wu L. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility: A brief review, Prog. Mater. Sci., 2018, 94, pp. 114–173, doi: 10.1016/j.pmatsci.2017.12.003
  4. Yao Y. et al. A multifunctional three-dimensional lattice material integrating auxeticity, negative compressibility and negative thermal expansion, Compos. Struct., 2024, 337(March), doi: 10.1016/j.compstruct.2024.118032
  5. Montazeri A., Saeedi A., Bahmanpour E., Mahnama M. Auxetic mechanical metamaterials with symmetry-broken Re-entrant units, Int. J. Mech. Sci., 2024, 266, pp. 108917, doi: 10.1016/J.IJMECSCI.2023.108917
  6. Balan P M., Mertens A J., Bahubalendruni M.V.A.R. Auxetic mechanical metamaterials and their futuristic developments: A state-of-art review, Mater. Today Commun., 2023, 34(October 2022), pp. 105285, doi: 10.1016/j.mtcomm.2022.105285
  7. Zheng X., Guo X., Watanabe I. A mathematically defined 3D auxetic metamaterial with tunable mechanical and conduction properties, Mater. Des., 2021, 198, pp. 109313, doi: 10.1016/J.MATDES.2020.109313
  8. Qi C., Jiang F., Remennikov A., Pei L.Z., Liu J., Wang J.S., Liao X.W., Yang S. Quasi-static crushing behavior of novel re-entrant circular auxetic honeycombs, Compos. Part B Eng., 2020, 197, pp. 108117, doi: 10.1016/J.COMPOSITESB.2020.108117
  9. Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Auxetics among Materials with Cubic Anisotropy, Mech. Solids, 2020, 55(4), pp. 461–474, doi: 10.3103/S0025654420040044
  10. Wu X., Su Y., Shi J. In-plane impact resistance enhancement with a graded cell-wall angle design for auxetic metamaterials, Compos. Struct., 2020, 247, pp. 112451, doi: 10.1016/J.COMPSTRUCT.2020.112451
  11. Li T., Liu F., Wang L. Enhancing indentation and impact resistance in auxetic composite materials, Compos. Part B Eng., 2020, 198(July), pp. 108229, doi: 10.1016/j.compositesb.2020.108229
  12. Ivanova S.Y., Osipenko K.Y., Kuznetsov V.A., Solovyov N.G., Banichuk N. V, Lisovenko D.S. Experimental Investigation of the Properties of Auxetic and Non-Auxetic Metamaterials Made of Metal During Penetration of Rigid Strikers, Mech. Solids, 2023, 58(2), pp. 524–528, doi: 10.3103/S0025654422601616
  13. Ivanova S.Y., Osipenko K.Y., Demin A.I., Banichuk N. V, Lisovenko D.S. Studying the Properties of Metamaterials with a Negative Poisson’s Ratio when Punched by a Rigid Impactor, Mech. Solids, 2023, 58(5), pp. 1536–1544, doi: 10.3103/S0025654423600897
  14. Teng X.C., Ren X., Zhang Y., Jiang W., Pan Y., Zhang X.G., Zhang X.Y., Xie Y.M. A simple 3D re-entrant auxetic metamaterial with enhanced energy absorption, Int. J. Mech. Sci., 2022, 229(July), pp. 107524, doi: 10.1016/j.ijmecsci.2022.107524
  15. Jin S., Korkolis Y.P., Li Y. Shear resistance of an auxetic chiral mechanical metamaterial, Int. J. Solids Struct., 2019, 174–175, pp. 28–37, doi: 10.1016/j.ijsolstr.2019.06.005
  16. Airoldi A., Bettini P., Panichelli P., Sala G. Chiral topologies for composite morphing structures – Part II: Novel configurations and technological processes, Phys. Status Solidi Basic Res., 2015, 252(7), pp. 1446–1454, doi: 10.1002/pssb.201584263
  17. Duncan O., Shepherd T., Moroney C., Foster L., Venkatraman P.D., Winwood K., Allen T., Alderson A. Review of auxetic materials for sports applications: Expanding options in comfort and protection, Appl. Sci., 2018, 8(6), doi: 10.3390/app8060941
  18. Weng L., Zhou J., Cai R. Analytical model of Li-ion diffusion-induced stress in nanowire and negative Poisson’s ratio electrode under different operations, Int. J. Mech. Sci., 2018, 141, pp. 245–261, doi: 10.1016/J.IJMECSCI.2018.04.013
  19. Wang C.Y., Wang W.W., Zhao W.Z., Wang Y., Zhou G. Structure design and multi-objective optimization of a novel NPR bumper system, Compos. Part B Eng., 2018, 153(April), pp. 78–96, doi: 10.1016/j.compositesb.2018.07.024
  20. Kolken H.M.A., Janbaz S., Leeflang S.M.A., Lietaert K., Weinans H.H., Zadpoor A.A. Rationally designed meta-implants: A combination of auxetic and conventional meta-biomaterials, Mater. Horizons, 2018, 5(1), pp. 28–35, doi: 10.1039/c7mh00699c
  21. Iantaffi C., Bele E., McArthur D., Lee P.D., Leung C.L.A. Auxetic response of additive manufactured cubic chiral lattices at large plastic strains, Mater. Des., 2023, 233(May), pp. 112207, doi: 10.1016/j.matdes.2023.112207
  22. Li X., Fan R., Fan Z., Lu Y. Programmable mechanical metamaterials based on hierarchical rotating structures, Int. J. Solids Struct., 2021, 216, pp. 145–155, doi: 10.1016/j.ijsolstr.2021.01.028
  23. Gao Y., Wei X., Han X., Zhou Z., Xiong J. Novel 3D auxetic lattice structures developed based on the rotating rigid mechanism, Int. J. Solids Struct., 2021, 233, pp. 111232, doi: 10.1016/J.IJSOLSTR.2021.111232
  24. Gao Q., Ge C., Zhuang W., Wang L., Ma Z. Crashworthiness analysis of double-arrowed auxetic structure under axial impact loading, Mater. Des., 2019, 161, pp. 22–34, doi: 10.1016/j.matdes.2018.11.013
  25. Carneiro V.H., Puga H. Axisymmetric auxetics, Compos. Struct., 2018, 204(April), pp. 438–444, doi: 10.1016/j.compstruct.2018.07.116
  26. Carneiro V.H., Puga H. Enhanced mechanical properties in cellular solids using axisymmetric configurations, Compos. Struct., 2021, 255(May 2020), pp. 112972, doi: 10.1016/j.compstruct.2020.112972
  27. Yang H., Ma L. Design and characterization of axisymmetric auxetic metamaterials, Compos. Struct., 2020, 249(May), doi: 10.1016/j.compstruct.2020.112560
  28. Novak N., Mauko A., Ulbin M., Krstulović-Opara L., Ren Z., Vesenjak M. Development and characterisation of novel three-dimensional axisymmetric chiral auxetic structures, J. Mater. Res. Technol., 2022, 17, pp. 2701–2713, doi: 10.1016/j.jmrt.2022.02.025
  29. Gomes R.A., de Oliveira L.A., Francisco M.B., Gomes G.F. Tubular auxetic structures: A review, Thin-Walled Struct., 2023, 188(February), pp. 110850, doi: 10.1016/j.tws.2023.110850
  30. Gao Q., Liao W.H. Energy absorption of thin walled tube filled with gradient auxetic structures-theory and simulation, Int. J. Mech. Sci., 2021, 201, pp. 106475, doi: 10.1016/J.IJMECSCI.2021.106475
  31. Li J., Zhang Z.Y., Liu H.T., Wang Y.B. Design and characterization of novel bi-directional auxetic cubic and cylindrical metamaterials, Compos. Struct., 2022, 299(June), pp. 116015, doi: 10.1016/j.compstruct.2022.116015
  32. Gao Q., Zhao X., Wang C., Wang L., Ma Z. Multi-objective crashworthiness optimization for an auxetic cylindrical structure under axial impact loading, Mater. Des., 2018, 143, pp. 120–130, doi: 10.1016/j.matdes.2018.01.063
  33. Guo Y., Zhang J., Chen L., Du B., Liu H., Chen L., Li W., Liu Y. Deformation behaviors and energy absorption of auxetic lattice cylindrical structures under axial crushing load, Aerosp. Sci. Technol., 2020, 98, pp. 105662, doi: 10.1016/j.ast.2019.105662
  34. Lee W., Jeong Y., Yoo J., Huh H., Park S.J., Park S.H., Yoon J. Effect of auxetic structures on crash behavior of cylindrical tube, Compos. Struct., 2019, 208(October 2018), pp. 836–846, doi: 10.1016/j.compstruct.2018.10.068
  35. Han D., Zhang Y., Zhang X.Y., Xie Y.M., Ren X. Lightweight auxetic tubular metamaterials: Design and mechanical characteristics, Compos. Struct., 2023, 311(February), pp. 116849, doi: 10.1016/j.compstruct.2023.116849
  36. Huo R.Y. et al. Mechanical properties of auxetic circular and square tubes filled with aluminum foam, Eng. Struct., 2023, 281(February), pp. 115732, doi: 10.1016/j.engstruct.2023.115732
  37. Gao Q., Liao W.H., Huang C. Theoretical predictions of dynamic responses of cylindrical sandwich filled with auxetic structures under impact loading, Aerosp. Sci. Technol., 2020, 107, pp. 106270, doi: 10.1016/J.AST.2020.106270
  38. Li C., Yang J., Shen H.S. Postbuckling of pressure-loaded auxetic sandwich cylindrical shells with FG-GRC facesheets and 3D double-V meta-lattice core, Thin-Walled Struct., 2022, 177(March), pp. 109440, doi: 10.1016/j.tws.2022.109440
  39. Allam M.N.M., Radwan A.F., Sobhy M. Hygrothermal deformation of spinning FG graphene sandwich cylindrical shells having an auxetic core, Eng. Struct., 2022, 251(PA), pp. 113433, doi: 10.1016/j.engstruct.2021.113433
  40. Cong P.H., Long P.T., Van Nhat N., Duc N.D. Geometrically nonlinear dynamic response of eccentrically stiffened circular cylindrical shells with negative poisson’s ratio in auxetic honeycombs core layer, Int. J. Mech. Sci., 2019, 152(December 2018), pp. 443–453, doi: 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.052
  41. Tashkinov M., Tarasova A., Vindokurov I., Silberschmidt V. V., Behaviour A., Tashkinov M., Tarasova A., Vindokurov I. Composites with Re-Entrant Lattice: Effect of Filler on Auxetic Behaviour, Polymers (Basel)., 2023, 15(20), pp. 4076, doi: 10.3390/polym15204076
  42. Nielson G.M. Dual marching cubes, IEEE Visualization 2004, IEEE Comput. Soc, 2004, pp. 489–496, doi: 10.1109/VISUAL.2004.28
  43. Cohen-Or D., Kadosh A., Levin D., Yagel R. Smooth Boundary Surfaces from Binary 3D Datasets, Volume Graphics, 2000, doi: 10.1007/978-1-4471-0737-8_

Statistics

Views

Abstract - 26

PDF (Russian) - 15

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2024 Chekmarev D.T., Glazova E.G., Abu Dawwas Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies