Full Text

Введение Среди активно развивающихся отраслей механики новых материалов стоит выделить создание современных функционально-градиентных и композитных материалов, к главным преимуществам которых относится возможность их проектирования с широким диапазоном заранее определенных свойств, которые в зависимости от практического предназначения могут значительно изменяться по объему образцов. При этом стоит иметь в виду, что многие технологические процессы изготовления ФГМ [1] и композитов [2] предполагают возникновение неоднородных полей предварительных напряжений (ПН) и остаточных деформаций [3-6], которые могут влиять на надежность и работоспособность изделий. В частности, это характерно для вязкоупругих полимерных композитов, при изготовлении которых используется технология автоклава с последующим отвердеванием полученного материала, что, с одной стороны, позволяет избежать появления микродефектов, трещин и отслоений в композите, с другой стороны, такая технология ведет к образованию остаточных напряжений и деформаций, которые существенно влияют на механические характеристики композита. Уровень и распределение предварительно напряженно-деформированного состояния по объему изделия обусловлены протеканием процессов полимеризации, кристаллизации и охлаждения готового изделия, а также последующей ползучести и релаксации [7], характерных для вязкоупругих тел [8]. В связи с этим можно выделить важные практические задачи: · создание моделей вязкоупругих материалов, учитывающих наличие ПНДС; · определение влияния предварительных состояний в телах и конструкциях из таких материалов на их механические свойства и прочностные характеристики; · идентификация уровня и законов распределения предварительных состояний. Исследованию предварительных состояний в вязкоупругих полимерных материалах, в частности композитах, в последнее время посвящено достаточно много работ. В статье [9] отражено моделирование остаточного напряжения, возникающего в деталях, изготавливающихся методом послойной фотополимеризации с помощью 3D-печати. Результатом избыточного ПН в данном случае становится значительное отклонение их конечной формы от заданной. В результате моделирования удалось произвести расчет усадочных ПН, возникающих при поэтапной фотополимеризации. В работе [10] описано построение аналитического решения двумерной задачи строительства тяжелой полукруглой арки из предварительно напряженного вязкоупругого стареющего материала. Показано, что наличие ПН позволяет значительно уменьшить контактные напряжения в основании конструкции, что обеспечивает ее большую устойчивость по сравнению с конструкцией из элементов без ПН. В статье [11] представлена специализированная методика определения предварительных напряжений и остаточных деформаций в композитных автомобильных деталях. Теоретическая часть методики основана на конечномерном моделировании с помощью специальных программных пакетов, практическая - на методе термического анализа и сверлении лунок. Термический анализ позволяет проводить долгосрочное прогнозирование поведения изготавливаемых деталей в процессе эксплуатации. В исследовании [12] представлен метод сверления отверстий для определения предварительных напряжений в образцах из поликарбоната. Тестирование метода производилось на модельном эксперименте, в котором поле предварительных напряжений создавалось путем изгиба поликарбонатного листа. В результате анализа сделан вывод о повышении сопротивляемости поликарбоната растрескиванию при создании в нем определенных полей сжимающих ПН. Трехмерное моделирование композитной полимерной пластины с использованием модели вязкоупругости для определения остаточных напряжений проведено в работе [13]. В работе [14] приведен анализ возникновения растрескиваний в зубных протезах на этапе охлаждения и отвердения в результате возникающих предварительных напряжений. Протез моделировался в виде трехмерного вязкоупругого объекта с помощью конечноэлементного пакета ABAQUS. Полученная модель позволила прогнозировать возникновение ПН, результаты моделирования достаточно точно описывают проведенные реальные эксперименты для протезов. В статье [15] также был использован ABAQUS для конечноэлементного моделирования остаточного напряжения, возникающего при отверждении вязкоупругих композитов. Для описания вязкоупругого материала использовалась обобщенная модель Максвелла из n элементов. Исследованию влияния сжимающих ПН на поведение вязкоупругих композитов из полимерной матрицы посвящена работа [16]. В работе [17] исследованы остаточные напряжения, возникающие в процессе эксплуатации полиэтиленовых труб, как важный фактор, влияющий на срок их службы. Разработанная методика основана на конечноэлементном моделировании и применима для круговых образцов с учетом возможного перехода их к эллиптической форме. Полученные результаты сравнивались с экспериментальными исследованиями образцов из полиэтилена различных марок. В результате анализа можно дать оценку остаточного ресурса труб. Стоит отметить, что исследование влияния ПНДС на физические свойства объектов производилось авторами в ряде более ранних работ для упругих и пьезоупругих объектов [18, 19], таких как стержни [20, 21], цилиндры и трубы [22-24], пластины и полосы [25, 26] и др. Также ранее проводились исследования колебаний вязкоупругих тел и обратных задач идентификации их свойств [27]. В данной работе на основе сформулированной общей линеаризованной постановки задачи о движении предварительно напряженно-деформированного упругого анизотропного тела с использованием теории комплексных модулей и принципа соответствия получена общая постановка задачи о колебаниях неоднородного вязкоупругого тела, учитывающая как предварительные напряжения, так и остаточные деформации. В качестве примеров рассмотрены две задачи для конкретных областей при наличии неоднородного ПНДС: 1) задача о колебаниях неоднородного вязкоупругого стержня и 2) задача о колебаниях неоднородной вязкоупругой трубы. В задаче для стержня рассматривалось одноосное предварительное состояние, зависящее, как и характеристики стержня, от продольной координаты. Для трубы рассмотрен случай плоской деформации и предполагалось, что ПНДС и механические свойства зависят от радиальной координаты. Для обеих задач представлен сравнительный анализ влияния предварительных напряжений и остаточных деформаций на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и значения частот, в которых АЧХ имеют максимумы. В упругом случае такие частоты соответствуют резонансным частотам. Основным результатом анализа в обоих примерах являлось существенно более значительное влияние на АЧХ остаточных деформаций, чем предварительных напряжений, что согласуется с полученными ранее результатами для упругих объектов [21, 24]. 1. Уравнения движения вязкоупругого тела с учетом ПНДС Рассмотрим линеаризованную постановку задачи об установившихся колебаниях предварительно напряженно-деформированного анизотропного тела с плотностью , ограниченного поверхностью где на части тело жестко защемлено, а на части тело нагружено периодически меняющейся нагрузкой Уравнения, определяющие соотношения и граничные условия имеют вид [7, 28, 29] (1.1) (1.2) (1.3) В постановке (1.1)-(1.3) величины с верхним индексом «0» относятся к начальному состоянию, величины без индекса - компоненты соответствующих возмущений - добавочных векторов и тензоров: - компоненты вектора перемещений; - компоненты симметричного тензора напряжений Кирхгофа; - компоненты несимметричного добавочного тензора напряжений Пиолы. Определяющие соотношения для упругого материала при наличии полей ПНДС имеют вид (1.4) Здесь компоненты образуют тензор классических упругих постоянных; - компоненты нелинейного добавочного тензора деформаций. Ввиду того, что рассматриваются установившиеся колебания, воспользуемся принципом соответствия и заменим компоненты тензора упругих модулей компонентами тензора комплексных модулей , описывающими вязкоупругое поведение материала на основе модели стандартного вязкоупругого тела [30, 31], которые определяются по формуле (1.5) Здесь - длительные модули; - мгновенные модули, причем ( ); - время релаксации. Тогда компоненты тензора напряжений для определяющего соотношения (1.4) примут вид (1.6) Для удобства отделения вещественной и мнимой частей введем коэффициенты (1.7) Выражение (1.5) можно записать в виде (1.8) Таким образом, задачи об установившихся колебаниях вязкоупругих тел при наличии ПНДС можно решать формально тем же способом, что и соответствующие задачи теории упругости, заменяя упругие характеристики соответствующими комплексными функциями от частоты колебаний. Замечание. В настоящей работе далее будем считать, что в вязкоупругом материале зависимость предварительного состояния от времени в рассматриваемый момент весьма незначительная и происходящие процессы релаксации весьма медленные относительно скорости процессов, возникающих при прикладывании зондирующих нагрузок. В связи с этим будем считать функции предварительного напряжения и остаточного смещения вещественнозначными функциями, зависящими только от пространственных координат и не зависящими от времени (и частоты колебаний). Такая постановка задачи является вполне естественной, так как обычно на практике требуется определить значения полей ПНДС в вязкоупругих телах спустя значительное время после снятия воздействия, вызывавшего его [17]. Поля ПНДС при этом уже слабо зависят от времени и практически не меняются в процессе зондирования, что позволяет считать их зависящими лишь от пространственных координат. Далее на основе постановки (1.1)-(1.3) и определяющего соотношения (1.6) будут рассмотрены два модельных примера по исследованию установившихся колебаний вязкоупругих стержня и трубы при наличии полей ПНДС. 2. Продольные колебания вязкоупругого стержня в условиях ПНДС Рассмотрим установившиеся продольные колебания неоднородного вязкоупругого стержня при наличии одноосного ПНДС, характеризующегося предварительным напряжением и начальным смещением . Для удобства дальнейшего анализа здесь введен безразмерный коэффициент характеризующий уровень ПНДС, где - длительный модуль упругости, входящий в состав комплексного модуля , зависящий от продольной координаты х. Запишем уравнения колебаний и граничные условия в обезразмеренном виде: (2.1) Здесь - безразмерный параметр, характеризующий частоту колебаний. Перепишем постановку (2.1) с учетом упрощения вытекающего из малости уровня ПНДС τ: (2.2) Для реализации численного решения задачи (2.2) отделим вещественную и мнимую части в постановке (2.2) с помощью формул (1.6)-(1.7) и разложения : (2.3) (2.4) Были проведены эксперименты по решению прямой задачи об определении модуля функции смещения для анализа влияния уровня τ начального смещения и предварительного напряжения на модуль АЧХ. Численное решение задачи (2.3)-(2.4) осуществлялось с помощью метода пристрелки [32], который был протестирован для модельного случая однородного стержня и однородного поля ПНД, при котором задача имеет аналитическое решение, и показал высокую точность (погрешность не превосходила 10-6). Анализ влияния предварительных напряжений и остаточных деформаций на модуль АЧХ производился в окрестности первого максимума (частота которого соответствует резонансной в упругом случае) путем рассмотрения двух наборов модельных вычислительных экспериментов. В качестве безразмерных функций предварительного напряжения и начального смещения выбиралось решение задачи о растяжении консольно защемленного стержня приложенной к свободному краю силой Р в виде (2.5) Набор экспериментов 2.1. В первом наборе экспериментов исследовано изменение модуля АЧХ стержня при наличии только поля ПН (2.5) в зависимости от его уровня ( ) без учета поля остаточных деформаций ( ). Построенные графики модуля АЧХ приведены на рис. 1, а. Найденные при этом частоты максимумов АЧХ приведены в табл. 1, столбец . Заметим, что данная модель ПНДС, учитывающая только предварительные напряжения, является довольно распространенной в литературе и используется в работах Трусделла, Гузя, Хогера, Робертсона и др. [33-35]. Примечание. Обзор различных моделей ПН представлен в работе [29]. Набор экспериментов 2.2. Во втором наборе экспериментов рассматривалось изменение модуля АЧХ стержня только при наличии неоднородного поля остаточных деформаций, характеризуемых начальным смещением (2.5), в зависимости от его уровня ( ) без учета поля ПН ( ). Графики соответствующих модулей АЧХ приведены на рис. 1, б, значения частот максимумов приведены в табл. 1, столбец . Замечание. В обоих наборах проведенных экспериментов рассмотрены модельные ситуации, в которых нарушена связь между ПН и остаточными деформациями за счет обнуления одного из факторов. Такой подход позволяет дать более адекватную оценку отдельного учета каждого фактора ПНДС при анализе изменения АЧХ. На обоих рисунках АЧХ, соответствующая решению задачи для стержня свободного от ПНДС, обозначена сплошной линией. а б Рис. 1. Графики модуля АЧХ вязкоупргого стержня для набора экспериментов 2.1 (а) и набора экспериментов 2.2 (б) Fig. 1. Graphs of the frequency response module of a viscoelastic rod for a set of experiments 2.1 (а) and a set of experiments 2.2 (b) Таблица 1 Частоты максимумов АЧХ вязкоупругого стержня для набора экспериментов 2.1 ( ) и набора экспериментов 2.2 ( ) Table 1 Frequencies of the maximum frequency response of a viscoelastic rod for a set of experiments 2.1 ( ) and a set of experiments 2.2 ( ) τ Примечание. В колонках и приведена разница между расчитанной частотой максимума для каждого значения τ и частотой максимума , соответствующей нулевому ПНДС. Из построенных графиков и найденных частот максимумов АЧХ видно, что остаточные деформации, определяемые начальным смещением , оказывают большее влияние на АЧХ, чем предварительные напряжения, что соответствует результатам, полученным ранее в упругом случае для полосы [21] и трубы [24], находящихся под действием ПНДС. 3. Радиальные колебания вязкоупругой трубы с ПНДС Во втором модельном примере рассмотрим установившиеся радиальные колебания неоднородной изотропной вязкоупругой трубы в условиях плоской деформации с учетом неоднородного плоского поля ПНДС. Колебания с частотой ω вызываются нагрузкой р, приложенной к внешней границе . Внутренняя граница свободна от нагрузок. Подобная задача рассматривалась ранее [24] в случае упругого материала, механические характеристики которого считались постоянными. Уравнение движения задачи (1.1) и граничные условия в цилиндрической системе координат примут вид (3.1) Так как рассматриваются условия плоской деформации , , , то на основе определяющего соотношения (1.4) ненулевые компоненты тензора напряжений имеют вид (3.2) где - радиальная компонента начального смещения; - ненулевые компоненты тензора остаточных деформаций; , - ненулевые компоненты тензора предварительных напряжений. На основе принципа соответствия для рассматриваемого вязкоупругого материала функции параметров Ляме заменяются функциями комплексных модулей , , которые могут быть как гладкими положительными функциями, так и иметь конечное число разрывов первого рода (что моделирует слоистые композиты). Функции , и , - мгновенные и длительные модули упругости соответственно; n - время релаксации. Компоненты несимметричного добавочного тензора напряжений Пиолы с учетом соотношений (3.1) записываются в виде (3.3) Подставляя выражения (3.3) в уравнение движения (3.2), получим постановку задачи об установившихся колебаниях трубы в виде (3.4) Введем следующие допущения: , вытекающие из малости уровня ПНДС, тогда , , Также введем следующие безразмерные параметры и функции: , , , , , , , , где , . Дополнительно учитывается условие, что компоненты и связаны уравнением равновесия С учетом введенных обозначений постановка (3.4) примет вид (3.5) (3.6) (3.7) Далее для удобства записи символ * будем опускать. Для численной реализации решения краевой задачи (3.5)-(3.7) были отделены вещественная и мнимая части с помощью формул (1.6)-(1.7) и разложения , и решение прямой задачи осуществлялось методом пристрелки. Общий вид (3.5)-(3.7) с отделенными вещественной и мнимой частями в данной статье не приводится из-за его значительной громоздкости. Далее представлен аналогичный проведенному для стержня анализ влияния предварительных напряжений и остаточных деформаций на модуль АЧХ окрестности первого максимума в виде двух наборов модельных вычислительных экспериментов. В данных наборах экспериментов функции предварительного напряжения и начального смещения являлись решением задачи о раздувании трубы внутренним давлением, которая распространена на практике. Ввиду того что характеристики трубы являются переменными, решение задачи получено в численном виде и соответствующие функции предварительного напряжения и начального смещения были аппроксимированы сплайн-функциями. Набор экспериментов 3.1. Исследована зависимость модуля АЧХ вязкоупругой трубы от уровня ( ) поля ПН без учета поля остаточных деформаций ( ). Графики АЧХ приведены на рис. 2, а. Частоты максимумов АЧХ приведены в табл. 2, столбец . Набор экспериментов 3.2. Исследована зависимость модуля АЧХ вязкоупругой трубы от уровня ( ) остаточной деформации без учета полей предварительных напряжений ( ). Графики соответствующих АЧХ приведены на рис. 2, б. Частоты максимумов АЧХ приведены в табл. 2, столбец . Таблица 2 Частоты максимумов АЧХ вязкоупругой трубы для набора экспериментов 3.1 ( ) и набора экспериментов 3.2 ( ) Table 2 Frequencies of the maximum frequency response of a viscoelastic pipe for a set of experiments 3.1 ( ) and a set of experiments 3.2 ( ) τ Примечание. В колонках и приведена разница между расчитанной частотой максимума для каждого значения τ и частотой максимума соответствующей нулевому ПНДС. В итоге были получены аналогичные результаты, что и в задачах для вязкоупругого стержня и упругой трубы: остаточные деформации в данной постановке также значительно сильнее влияют на АЧХ, чем предварительные напряжения. а б Рис. 2. Графики модуля АЧХ вязкоупругой трубы для набора экспериментов 3.1 (а) и набора экспериментов 3.2 (б) Fig. 2. Graphs of the frequency response of a viscoelastic pipe for a set of experiments 3.1 (а) and a set of experiments 3.2 (b) Заключение Сравнительный анализ влияния предварительных напряжений и остаточных деформаций на амплитудно-частотные характеристики вязкоупругих тел, проведенный в двух модельных случаях - для вязкоупругих стержня и трубы, показал, что остаточные деформации оказывают значительно более существенное влияние на АЧХ, чем предварительные напряжения. Таким образом, имеется возможность рассмотрения обратных задач идентификации уровня и вида остаточных деформаций, возникшей в вязкоупругих телах, на основе данных об АЧХ в окрестности ее максимумов.

About the authors

I V Bogachev

Southern Federal University

A O Vatulyan

Southern Federal University; Southern Mathematical Institute

V V Dudarev

Southern Federal University

R D Nedin

Southern Federal University

References

Statistics

Views

Abstract - 163

PDF (Russian) - 121