Full Text

Введение Рис. 1. Вал в трубке Рассматривается задача о передаче вращения посредством гибкого вала [1-6]. Упругий стержень вставлен в жесткую трубку и приводится во вращение на одном конце (рис. 1). Даже при идеально гладкой внутренней поверхности трубки вращение ведомого конца может быть резко неравномерным. При квазистатическом рассмотрении с плавно возрастающим поворотом ведущего конца возможна своеобразная потеря устойчивости: , где - поворот ведомого конца [1-8]. Но особый интерес представляет задача в динамической постановке - в ней главная цель данной работы. Компьютерная математика в сочетании с современной теорией стержней [8, 9] позволяют рассмотреть и квазистатику, и динамику вращения при весьма произвольной форме трубки. Представляемые далее решения отличаются от работ [1-8] как подходом, так и результатами. Помимо запросов приборостроения данная задача представляет практический интерес также в связи с техникой направленного глубокого и сверхглубокого бурения. В задачах нефтедобычи роль стержня и жесткой трубки играют соответственно бурильная колонна и скважина. Некоторое представление о динамике бурильной колонны, возникающих в ней крутильных вибрациях, а также методах борьбы с ними дают работы [10-14]. 1. Уравнения теории стержней В модели Коссера стержни представляются как материальные линии, частицы которых имеют степени свободы трансляции и поворота [8, 9, 15]. Движение определяется радиусом-вектором и тензором поворота как функциями материальной координаты и времени. При характерном для данной задачи вращении вокруг неподвижной оси вместо тензора можно рассматривать угол поворота . Внешними нагрузками на стержень являются распределенные сила и момент ; внутренние взаимодействия выражаются векторами силы и момента . Система уравнений нелинейной механики упругих стержней имеет вид [8, 9] (1) Два первых уравнения выражают законы баланса импульса и момента импульса (с погонной массой , тензором инерции и угловой скоростью ). Третье и четвертое уравнения - это соотношения упругости, связывающие векторы деформации с силовыми факторами. Вектор определяет искривление и закручивание, а вектор - растяжение (сжатие) и поперечный сдвиг. Значком отмечаются величины в начальном состоянии. В соотношения упругости входят тензоры жесткости: - на изгиб и кручение, - на растяжение и сдвиг. Вектор характеризует кривизну и кручение стержня: (и аналогично с ). Для задания угловой ориентации в каждой частице стержня вводится тройка ортов . Направления считаются главными для тензора жесткости . Тензоры жесткости находятся средствами теории упругости - из решения задачи Сен-Венана или же (что сложнее) из асимптотического анализа трехмерной задачи при малой толщине [8]. Ограничимся классической теорией стержней без растяжения и поперечного сдвига: , а соотношение упругости для силы отсутствует. Тогда координату s можно считать дуговой не только в начальном, но и в деформированном состоянии. Альтернативные подходы к записи исходных уравнений изложены в работах [16-18]. Тонкая криволинейная трубка как линия определяется радиусом-вектором как функцией дуговой координаты. Ниже приведены известные зависимости дифференциальной геометрии: (2) Введены орты натурального триэдра: касательной , главной нормали и бинормали . Вектор Дарбу имеет компоненты - кривизна и кручение кривой. Радиусы-векторы трубки и стержня считаются совпадающими: . Примем, что , а пара ортов повернута от на угол . Тогда по закону сложения угловых скоростей (3) При вращении стержня в трубке не зависят от времени, однако меняется угол . Вектор угловой скорости , момент импульса (касательная считается главным направлением и для тензора инерции ). До помещения в трубку вышеуказанные параметры имели следующие значения Для описания вращения в трубке достаточно проекции уравнения моментов из системы (1) на касательную: Подставив выражения (3) в соотношения упругости , получим (4) Подчеркнуто волновое уравнение с нелинейным слагаемым без производных. Для гладкой трубки , и правая часть уравнения (4) не содержит функций, явно зависящих от времени Граничные условия при заданных «входном» повороте и «выходном» моменте (5) Сложнее с начальными условиями, поскольку рассматривается вал, который уже находится в трубке. Начальная скорость нулевая, но конфигурация должна быть определена из соответствующей статической задачи. Очевидно, в этой задаче концы свободны и не нагружены - используем (5). Обозначив решение исходной статической задачи , придем к начальным условиям . Ввиду осевой симметрии сечения примем естественное допущение о равенстве изгибных жесткостей: . И тогда можно считать . Уравнение (4) упростится: (6) Кривизны и кручения могут быть произвольными функциями координаты. Заметим, что для плоской кривой кручение равно нулю. В этом случае , и начальные условия в динамической задаче нулевые. 2. Квазистатическое вращение Рассматриваем квазистатическое («медленное») вращение, тогда уравнение (4) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение и граничная задача принимает вид (7) В простейшем случае без кручения и моментной нагрузки . При постоянных кривизнах имеем уравнение обращенного маятника, решаемое аналитически. Первый интеграл дает уравнение первого порядка, интегрируемое в эллиптических функциях [1-8]. «Идеально равномерное» вращение, как видно из уравнения (7), будет при , т.е. при прямолинейной начальной форме [1-8]. На рис. 2 представлены результаты расчета зависимости выходного угла от входного для стальной трубы длиной 1 км с внешним диаметром 10,16 см и толщиной стенки 1 см (характерные параметры бурильной трубы). Рис. 2, а соответствует значениям кривизны ( ) (дуги окружностей с углами ). В этом случае вращение передается почти равномерно. На рис. 2, б представлен случай увеличенных значений ; при этом вращение резко неравномерное, с перескоками. Данные решения краевой задачи (7) получены в Mathcad методом стрельбы (sbval-rkfixed) [19]. а б Рис. 2. Зависимость выходного угла от входного: а - без перескоков (малые или докритические) кривизны); б - с перескоками (большие или закритические кривизны) Не ограничиваясь результатами рис. 2, обратимся к зависимости угла поворота от координаты. На рис. 3 представлено несколько последовательных состояний поворота сечений вала в зависимости от координаты, которые соответствуют диаграмме на рис. 2, б. При наблюдаем единовременный перескок всей конфигурации закрученного вала. Удивительно, что в задаче без перескоков (см. рис. 2, а) имеем нечто подобное. При малых начальных углах функция убывает, а при больших - возрастает. Разобраться в этих несколько неожиданных явлениях можно, если исследовать динамику вращения. Об этом далее. Рис. 3. Зависимости углов поворота вала от координаты . Перескок показан стрелками 3. Метод решения динамической задачи Динамическая задача (6) будет решена дифференциально-разностным методом (ДР-методом), представляемым далее. Как первый шаг мы рассмотрим модельную граничную задачу для линейного уравнения, описывающего крутильные колебания, (8) Для получения аналитического решения применим метод разложения в ряд по собственным функциям [20]: где собственные функции являются решениями задачи Штурма-Лиувилля: Умножив уравнение (8) на и проинтегрировав, получим Эти обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) для решаются с помощью интеграла Дюамеля: . При получим . Функция представлена на рис. 4. Ряд сходится быстро; график построен для 500 членов. Обратимся теперь к ДР-методу. Промежуток разделим узлами на элементы одинаковой длины и аппроксимируем . Из уравнения (8) получим (9) Отдельно представим граничные условия: (10) Рассматриваем (9) и (10) как систему ОДУ порядка и решаем в среде Mathcad: Функцию задаем посредством Add Program Line. Начальные условия - нулевые. Система оказывается жесткой, поэтому применяем специальный метод Radau. Результаты вычислений показаны рис. 4; число узлов , число шагов по времени 1000. Полученное решение совпадает с нашими физическими представлениями о распространении волн с отражениями от концов. Рис. 4. Решение модельной граничной задачи График точного решения методом собственных функций с числом членов ряда 500 также приведен на рис. 4. Визуально он полностью совпал с результатом по ДР-методу. Это свидетельствует об эффективности и точности метода. 4. Динамика вращения Обратимся к нелинейной динамической задаче (6) и применим ДР-метод. Вал и трубка - как в случае рис. 2, б. Число узлов 500, шагов по времени 1000. Зависимость от времени выходного угла при представлена на рис. 5. Она радикально отличается от упрощенной «статической» версии (см. рис. 2, б) отсутствием перескоков. Кроме того, интересно также привести зависимость распределения углов поворота вала по координате во времени (динамический аналог рис. 3). Из рис. 6 хорошо видно, как изменяется конфигурация поворота сечений вала во времени - наблюдается колебательный характер, причем угол поворота на выходе иногда превышает угол поворота на входе. Рис. 5. Нелинейная динамика: углы на входе и выходе Рис. 6. Зависимости углов поворота вала от координаты На рис. 7 представлены и другие результаты расчета - разности углов для четырех постоянных угловых скоростей . Время процесса соответствует числу оборотов . При равномерном вращении на входе имеем колебания на выходе. Характер колебаний напоминает периодический со сложным спектральным составом. Качественных изменений с ростом скорости не видно. Амплитуда колебаний велика - порядка 4 рад. Может сложиться впечатление об отсутствии какой-либо взаимосвязи не с квазистатическими результатами и перескоками. Но обратим внимание на начало графиков. Процесс за один оборот для случаев квазистатики и динамики показан на рис. 8 Качественное изменение в процессе появляется примерно через пол-оборота - как в квазистатике. Однако вместо перескока видим переход плавного проворачивания, переходящий в интенсивные колебания. Рис. 7. Зависимость разности углов от времени при четырех значениях скорости Рис. 8. Динамический аналог перескока Подобные расчеты (ДР-методом) можно проводить для любых форм стержня и трубки, что может найти применение в математическом моделировании процессов бурения [10]. При этом форму скважины, например, можно задавать как аналитически, так и по точкам с интерполяцией и регрессией [19], вычисляя кривизну и кручение по формулам (2). Выводы Представлена нелинейная динамическая теория упругих стержней как линий Коссера и выведены уравнения вращения гибкого вала в жесткой трубке. Рассмотрено квазистатическое поведение с нелинейными краевыми задачами для ОДУ, решаемыми методом стрельбы. Разработан и протестирован численный дифференциально-разностный метод (ДР-метод). Обнаружено качественное различие квазистатического и динамического решений задач о вращении вала в трубке. Создана методика решения нелинейных динамических задач о вращении вала произвольной формы с перспективой моделирования процессов направленного глубокого бурения.

About the authors

A K Belyaev

Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University

V V Eliseev

Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University

S V Kalashnikov

Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 154

PDF (Russian) - 96