Full Text

Введение Контактное взаимодействие является наиболее распространенным случаем механического взаимодействия деталей машин. Последние в целях повышения прочностных и технологических параметров могут быть изготовлены из современных материалов. К ним относятся эластомеры, поликристаллические металлы, металлокерамика, а также композитные материалы, обладающие различием в упругих свойствах для разных направлений. Одновременно в процессе работы детали пребывают в сложных кинематических условиях. С точки зрения теории упругости на них действуют внешние и массовые силы, а на участках поверхности наложены кинематические условия. Определение напряженно-деформированного состояния от совокупности таких воздействий, а также в силу сложной физической природы материалов составляет актуальную научную задачу. Основоположником контактных задач считается Г. Герц [1], давший первое решение контактного взаимодействия упругих тел. Дальнейшее развитие математического аппарата, например теория функций комплексного переменного Н.И. Мусхелишвили, математический аппарат А.М. Ляпунова, позволило расширить класс решаемых контактных задач; здесь важную роль играют работы И.Я. Штаермана, В.М. Абрамова, Л.А. Галина, А.Ю. Ишлинского, Н.А. Кильчевского, М.Я. Леонова, А.И. Лурье, В.И. Моссаковского, Г.Н. Савина, Д.И. Шермана и др. Приближенные аналитические решения различных классов контактных задач были разработаны в работах F.W. Carter [2], C. Cattaneo [3], R.D. Mindlin [4]. Далее теория контактных взаимодействий развивалась в таких направлениях, как статические и динамические, плоские и пространственные, температурные контактные задачи, рассматривались как упругие материалы, так и вязкоупругие. На сегодняшний день исследуются более частные аспекты контактных задач. Например, в работе [5] изучена пространственная контактная задача с неизвестной областью контакта для трансверсально-изотропного упругого полупространства. Для решения задачи применялся численный метод Галанова, позволяющий одновременно определить область контакта и давление в этой области. В работе [6] c помощью невариационного численного подхода решена контактная задача двух упругих тел с трением. Контакт тел из разных материалов с трением рассматривался и в работе [7]. В работе [8] рассмотрена осесимметричная контактная задача линейной теории упругости о действии жесткого кольцевого бандажа конечной длины на бесконечный полый круговой цилиндр. В работе [9] с помощью двухстороннего асимптотического метода решена задача о внедрении в функционально-градиентное упругое полупространство осесимметричного штампа. В работе [10] представлен метод решения задач о контакте двух цилиндров и цилиндра с плоской плитой при наличии перекоса между ними с использованием модели упругого основания. В работе [11] представлен расчет контакта цилиндров конечной длины с учетом действия краевого эффекта, влияния его на площадку контакта и напряжения. В работе [12] рассмотрены пространственные контактные задачи об одновременном действии на грани упругого клина эллиптического в плане штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта на ребре клина. В работе [13] показано применение метода Лагранжа для решения двумерных контактных задач. В работе [14] проведен сравнительный анализ аналитического решения контакта двух цилиндров с численным методом. В работе [15] рассмотрено численное моделирование упругого деформирования двумерных твердых тел с учетом контактного взаимодействия на основе метода Шварца. Метод граничных состояний применен в решении контактных задач для изотропных ограниченных тел [16-18]. Что касается класса анизотропных задач, методом граничных состояний исследовано упругое деформирование протяженного цилиндрического тела [19]. Массовые силы в задачах механики твердых тел просматривались в следующих работах. В работе [20] построено численно-аналитическое решение плоской задачи теории упругости с использованием метода взвешенных невязок в форме метода граничного решения. Найдено распределение напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию заданной системы объемных сил и заданных напряжений или смещений на границах. В [21] исследовались вынужденные деформации в виде суммы воздействий поверхностных и объемных сил. В работе [22] рассматривались задачи теории упругости с заданными объемными и поверхностными силами в функциональных энергетических пространствах тензоров напряжений и деформаций; методом ортогональных проекций решены конкретные задачи. В работе [23] для перемещений получено условие эквивалентности поверхностных и объемных сил посредством вариационного уравнения Лагранжа. В [24] представлено построение поля перемещений для изотропного упругого тела, ограниченного концентрическими сферами и находящегося под действием осесимметричных нестационарных объемных сил. В работе [25] получены точные аналитические решения задач о равновесии толстостенных трансверсально-изотропных составных сфер с жестко закрепленной или закрепленной только в радиальном направлении внешней поверхности, находящихся под действием массовых сил и внутреннего давления. Для трансверсально-изотропного тела была предпринята попытка определения упругого поля несимметричной задачи статики с помощью фундаментального решение для среды [26]. Ряд работ посвящен обратному методу определения напряженно-деформированного состояния изотропных упругих тел от действия непрерывных непотенциальных объемных сил [27, 28, 29]. Метод граничных состояний с участием объемных сил для изотропной среды применен в работе [30]. В [31] продемонстрирован прием включения в круг расчетных вопросов метода граничных состояний объемных сил упругой среды, составляющих линейную комбинацию «эталонных» воздействий на односвязное ограниченное тело. В работе [32] разработана методика получения полнопараметрических решений для анизотропных тел, где возникновение фиктивных массовых сил являлось следствием применения метода Пуанкаре. Особенность решения состоит в том, что упругие поля, полученные в краевой задаче и в задаче от действия массовых сил, не просто суммируются, а встроены в результирующее поле таким образом, что его след на границе одновременно удовлетворяет заданным условиям на поверхности тела и внутри области. 1. Постановка задачи Исследуется равновесие трансверсально-изотропного тела, ограниченного одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения из трансверсально-изотропного материала под действием массовых сил Х. На поверхности тела заданные осесимметричные граничные условия (ГУ) имеют вид: ; , где - поверхность контакта; - остальная часть поверхности. Рассматривается двухсторонний контакт по нормали к одной или нескольким поверхностям без трения, т.е. для контактирующей поверхности . Причем контакт происходит по симметричной относительно оси z поверхности целиком или ее части (рис. 1) и не обязательно . pτ pτ pn un Su pτ r z О X Sp Рис. 1. Трансверсально-изотропное тело вращения Fig. 1. Transversely isotropic rotation body Поставленная задача может быть решена следующим путем: сначала решить краевую задачу механики от внешних условий, затем отдельно решить задачу по определению упругого состояния от массовых сил, а полученные поля механических характеристик сложить. Однако в этом случае суммарное упругое поле не будет удовлетворять одновременно условиям на границе и массовым силам. Целью работы является развитие метода граничных состояний на класс контактных осесимметричных задач теории упругости для трансверсально-изотропных тел вращения, в которых упругое поле от массовых сил не просто суммируется с полем от граничных условий (физических и геометрических), а входит в состав решения, позволяя получить упругое поле, удовлетворяющее заданным условиям как на границе, так и внутри области. Для ее достижения необходимо выполнить корректную постановку задачи, обезразмеривание физических констант, выбрать метод решения с построением определяющей теории и ее реализации в решении конкретных задач. 2. Определяющие соотношения для среды Для однородной трансверсально-изотропной среды в цилиндрических координатах имеют место следующие соотношения. Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат , , имеют вид [33] , (1) , где R, Z, Q - массовые силы. Соотношения Коши ; ; , (2) ; ; . Обобщенный закон Гука (3) где и - модули упругости соответственно в направлении оси z и в плоскости изотропии; - коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие вдоль r при растяжении вдоль оси z; - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскостях изотропии при растяжении в этих же плоскостях; и - модуль сдвига в плоскостях изотропии и перпендикулярных к ним. 3. Задача эластостатики В монографии [33] с помощью метода интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженным и деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного тела и определенными вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которого зависят от двух координат z и y (переменных). В качестве плоских вспомогательных состояний используется плоская деформация, возникающая в цилиндрах, имеющих в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости zy (направление плоскости zy) [33]: , , , ; , (4) , , где константы и определены упругими параметрами материала; , - комплексные корни характеристического уравнения [34]; функции - аналитические по своим переменным. Переход к осесимметричному пространственному состоянию в цилиндрических координатах осуществляется по зависимостям [34, 35] ; , , , (5) ; ; , . 4. Метод решения Для решения поставленной задачи прибегнем к понятиям метода граничных состояний (МГС) [36]. Основу метода составляют пространства внутренних и граничных состояний: ; . (6) Внутреннее состояние определяется наборами компонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений: . (7) Воспользуемся при построении решения основных задач механики уравнением Клапейрона [37] . (8) Придание перемещениям возможных вариаций , преобразует последнее уравнение в вариационное уравнение Лагранжа [38]. Запишем уравнение (8) в виде (9) и будем определять скалярные произведения в базисе внутренних состояний следующим образом (например, для 1-го и 2-го внутреннего состояний): , (10) причем в силу коммутативности состояний среды Граничное состояние в зависимости от традиционного , определяемого в [36], будем формировать наборами компонент вектора перемещения точек границы , поверхностными усилиями и массовыми силами (последнее условно в силу того, что массовые силы не относятся к элементу поверхности тела): , , (11) где - компонента нормали к границе. В пространстве граничных состояний Г согласно (9) скалярное произведение выражает двойную работу внешних сил по поверхности тела и работу массовых сил на перемещениях внутренних точек тела: (12) причем в силу тождества Бетти и соотношения Клапейрона . В случае гладкой границы и в силу (8) оба пространства состояний являются гильбертовыми и сопряжены изоморфизмом. По определению каждому элементу соответствует единственный элемент , причем это соответствие взаимно-однозначное: . Это позволяет отыскание внутреннего состояния свести к построению изоморфного ему граничного состояния. Последнее существенно зависит от граничных условий (ГУ). Ортонормирование базиса пространства осуществляется по разработанному рекурсивно-матричному алгоритму ортогонализации [39], где в качестве перекрестных скалярных произведений принимается (10). Проблема сводится к разрешающей системе уравнений относительно коэффициентов Фурье, разложения искомых внутреннего и граничного состояний в ряд по элементам ортонормированного базиса: ; или в развернутом виде: ; ; ; ; (13) Ортонормированный базис позволяет записать для элементов базиса граничных состояний следующие выражения: (14) Представим слагаемые из (14) в следующем виде (нижний индекс v в развернутых выражениях опущен): , и, подставляя их в (14), получим Группируя слагаемые и обозначая (15) легко убедиться, что . Преобразуем следующим образом: базисные механические характеристики , , заменяем заданными и перебор будем осуществлять по индексу j, образуя тем самым матрицы коэффициентов: (16) Следует отметить, что матрица В является кососимметричной ( , ). Коэффициенты Фурье рассчитываются так: (17) где N - число используемых элементов базиса. Окончательно решение имеет вид (13). Тестирование коэффициентов Фурье осуществляется подстановкой одного из базисных элементов с соответствующими ГУ в качестве заданного, при этом должны выполняться условия , n - номер тестируемого элемента, остальные коэффициенты Фурье должны равняться нулю. 5. Формирование базиса Основную сложность формирования решения в МГС представляет конструирование базиса внутренних состояний, которое опирается на общее или фундаментальное решение для среды; также возможно использование каких-либо частных или специальных решений. В работе [19] изложена методика определения напряженно-деформированного состояния изотропных тел от действия объемных сил. Для построения поля перемещений от массовых сил для плоских вспомогательных состояний применяется фундаментальная система многочленов , которую можно поместить в любую позицию вектора перемещения , образуя некоторое допустимое упругое плоское вспомогательное состояние: . Перебор всевозможных вариантов в пределах , (n = 1, 2, 3 …) позволяет получить множество состояний. Далее согласно (5) определяются компоненты вектора перемещения пространственного осесимметричного состояния, и по цепочке (2), (3), (1) определяются соответствующие тензоры деформаций, напряжений и массовые силы, образуя конечномерный базис в задаче от массовых сил: . Базисные наборы в задаче эластостатики можно конструировать, генерируя возможные варианты для двух аналитических функций и плоского вспомогательного состояния (4), придавая им последовательно следующие наборы: . Таким образом, определяются все механические характеристики плоского вспомогательного состояния, и далее следует переход к трехмерному состоянию по зависимостям (5), образуя конечномерный базис в пространственной осесимметричной задаче эластостатики: . Окончательно базис (6) представляет собой объединение , поскольку ГУ совместно с массовыми силами образуют сложное напряженно-деформированное состояние тела, которое одними «уравновешенными» или «неуравновешенными» (напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия с массовыми силами) базисными состояниями приблизить нельзя. 6. Решение задач для цилиндра Апробацию предложенной методики проведем на исследовании упругого состояния трансверсально-изотропного кругового в плане цилиндра из горной породы алевролита крупного темно-серого [37]. После процедуры обезразмеривания параметров задачи, которую приводить не будем, цилиндр занимает область и упругие характеристики материала: ; ; ; ; . Граничные условия имитируют контакт одного из торцов цилиндра со скольжением (рис. 2). На тело действуют массовые силы X. После процедуры ортонормирования и исключения линейно-зависимых элементов базисный набор для компонент вектора перемещения представлен в табл. 1 (показано 5 элементов). Истинное значение показанной величины в табл. 1 и 2 равно показанному значению, умноженному на r z 4 S3 S2 S1 0 1 -1 p Рис. 2. Граничные условия к первой задаче для цилиндра Fig. 2. Boundary conditions for the first problem for a cylinder Таблица 1 Перемещения ортонормированного базиса ( ) Table 1 Displacements of an orthonormal basis ( ) Усеченная до матрица коэффициентов (15) представлена в табл. 2 (i - строка, j - столбец). Таблица 2 Матрица коэффициентов ( ) Table 2 Coefficients matrix ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 При решении использовался базис в 30 элементов. Приведем значения для девяти коэффициентов Фурье (17): ; ; ; ; ; ; Рис. 3 представляет собой график, иллюстрирующий «насыщение» суммы Бесселя (левая часть неравенства Бесселя). Это является косвенным признаком сходимости решения. Искомые характеристики определяются по зависимостям (13). Приведем выражения для восстановленных массовых сил: N 5 10 15 10 0 20 30 Рис. 3. Сумма Бесселя в задаче для цилиндра Fig. 3. The Bessel sum in the problem for the cylinder Проверка результата и оценка точности осуществляется сопоставлением заданных ГУ с восстановленными в результате решения (рис. 4). Здесь и далее на графиках заданные ( ) и восстановленные ( ) ГУ изображены в масштабе. Например, истинное значение на левом графике рис. 4, а равно значению на графике, умноженному на коэффициент . Остальные механические характеристики, имеющие полиномиальный вид, представим в виде изолиний (в явном виде необозримы) (рис. 5). В силу осевой симметрии показана область . Истинное значение показанной величины равно соответствующему значению на изолиниях, умноженному на (если не указан, то показана истинная величина). 0,25 r -6 -0,5 5 рr, w, 0,5 0,75 1 10,5 r -5 5 S1 0,25 0,5 0,75 1 0 0 а 0,25 r -77,5 -35 7,5 0 рr, рz, 0,5 0,75 1 0,25 r 0 0,5 0,75 1 -1 -0,95 S2 б 1 z -2,5 8,5 14 0 рr, рz, 2 3 4 1 z 0 2 3 4 -8,2 S3 3 -8 -4,5 -0,7 в Рис. 4. Верификация граничных условий: а - на участке поверхности S1; б - на участке поверхности S2; в - на участке поверхности S3 Fig. 4. Verification of boundary conditions: a - on the surface S1; b - on the surface S2; с - on the surface S3 а б в г д е Рис. 5. Механические характеристики: а - компонента тензора напряжений ; б - компонента тензора напряжений ; в - компонента вектора перемещения u, ; г - компонента вектора перемещения w, ; д - компонента массовой силы R; е - компонента массовой силы Z Fig. 5. Mechanical characteristics: a - the component of stress tensor ; b - component of the stress tensor ; с - the component of displacement vector u, ; d - the component of the displacement vector w, ; e - the component of the mass force R; f - the component of the mass force Z Рассмотрим еще одну задачу для кругового цилиндра при оговоренных выше геометрии и физических параметрах среды. Здесь контакт цилиндра происходит по двум торцам, а на боковой поверхности заданы усилия, приводящие к неоднородному сжатию (рис. 6). r z 4 S3 S2 S1 0 1 -1 p Рис. 6. Граничные условия ко второй задаче для цилиндра Fig. 6. Boundary conditions for the second problem for the cylinder Ортонормированный базис внутренних состояний зависит только от геометрии тела, поэтому он строится один раз и может использоваться для решения различных краевых задач контактного типа. При решении задачи использовалось 30 коэффициентов ряда Фурье. Приведем выражения для восстановленных массовых сил: Для оценки точности полученных результатов приведем сравнение заданных ГУ с полученными (рис. 7). Изолинии восстановленных механических характеристик и контур деформированного состояния в гипертрофированном виде представлены на рис. 8 (показана область ). Таким образом, метод граничных состояний показал свою эффективность в плане решения осесимметричных контактных задач для ограниченных трансверсально-изотропных тел вращения с учетом массовых сил. Сложность задачи заключается в том, что восстановление искомого упругого поля осуществляется одновременно по четырем направлениям (четыре интеграла в выражении для (16)): массовые силы X, поверхностные усилия на участке , компоненты и на участке . 0,25 r -15 -5,2 4,5 pr, w, 0,5 0,75 1 24 r -0,7 2,7 S1 0,25 0,5 0,75 1 0 0 14,2 1,8 1 0,1 а 0,25 r -24,7 -25,7 51 0 pr, w, 0,5 0,75 1 0,25 r 0 0,5 0,75 1 -46 16 S2 -50 0 0 -15 -30 б 1 r -0,75 -0,27 -0,03 0 pr pz, 2 3 4 1 r 0 2 3 4 -8,2 S3 -0,51 -0,99 -4,5 -0,7 в Рис. 7. Сопоставление граничных условий: а - на участке поверхности S1; б - на участке поверхности S2; в - на участке поверхности S3 Fig. 7. Comparison of the boundary conditions: a - on the surface S1; b - on the surface S2; с - on the surface S3 а б в г д е ж з Рис. 8. Механические характеристики: а - компонента вектора перемещения u, ; б - компонента вектора перемещения w, ; в - компонента тензора напряжений ; г - компонента массовых сил R; д - компонента массовых сил Z; е - компонента тензора напряжений ; ж - компонента тензора напряжений ; з - контур деформированного состояния Fig. 8. Mechanical characteristics: a - the component of the displacement vector u, ; b - the component of the displacement vector w, ; с - the component of the stress tensor ; d - the component of mass forces R; e - the component of mass forces Z; f - the component of the stress tensor ; g - the component of the stress tensor ; h - the contour of the deformed state

About the authors

D A Ivanychev

Lipetsk State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 271

PDF (Russian) - 115