Full Text

Введение В ходе эксперимента измерению поддаются лишь внешние силы, действующие на тело, а также перемещения точек его границы. Их величины зависят от свойств материала, то есть являются их отражением. Таким образом, возникает задача определения неизмеряемых величин по результатам их проявлений [1-2], в которых измеряемые и неизмеряемые величины связаны некоторой системой уравнений. Известно [3-10], что задачи определения количественных характеристик по результатам их косвенных проявлений относятся к классу некорректных задач, требующих специальных методов решения. В механике деформируемого твердого тела некорректные задачи возникают в частности при попытках идентификации свойств материалов [11-16], когда необходимо определить свойства материала (диаграмму его деформирования) по экспериментальным данным, полученным при деформировании некоторого элемента конструкции. Особенно актуальна проблема идентификации свойств материала на стадии закритического деформирования, которая наступает после достижения предела прочности [17-23]. Закритическое реологически неустойчивое деформирование может быть реализовано только тогда, когда элемент материала находится в составе устойчиво деформируемой механической системы (элемента конструкции). В данной работе приведена методика расчета полной диаграммы деформирования, включающей и закритическую стадию (разупрочнение), в координатах «касательные напряжения - сдвиги» по результатам, полученным при кручении кругового цилиндра. Проведены эксперименты по кручению цилиндрических образцов и реализован пересчет зависимости «крутящий момент - абсолютный угол закручивания» на диаграмму деформирования материала при чистом сдвиге. 1. Уравнение Вольтерра в задаче о кручении цилиндрического образца Рассмотрим кручение цилиндрического образца длиной и радиусом поперечного сечения . Если - абсолютный угол закручивания, то - относительный угол закручивания и - максимальный сдвиг [24]. Распределение деформаций сдвига по радиусу линейно (гипотеза плоских сечений [25-26]), поэтому уравнение, связывающее крутящий момент и зависимость , имеет вид [25-26] где - функция, определяющая свойства материала при чистом сдвиге. Запишем данное уравнение в виде , (1) где , , , . Если известна зависимость , то выражение (1) определяет зависимость (прямая задача). Когда по известной функции необходимо найти функцию (обратная задача), то уравнение (1) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра первого рода и обратная задача является некорректной [27-30]. 2. Некорректная задача и метод подбора Приведем необходимые элементы теории некорректных задач, на основании которых будем искать решение интегрального уравнения (1). Пусть изучаемый объект (физическая величина) характеризуется элементом (скаляр, функция, вектор и т.п.), принадлежащим множеству . Элемент недоступен для прямого измерения и известно лишь его проявление , принадлежащее множеству [1-3]. Полагаем, что известно отображение которое каждому элементу из ставит в соответствие элемент из U. Это отображение устанавливает связь между неизмеримыми параметрами и параметрами, которые поддаются измерению [1-3]. Таким образом, данное отображение определяет операторное уравнение (2) Очевидно, что уравнение (2) имеет решение, принадлежащее , только для таких элементов , которые принадлежат множеству . Задача определения (решения уравнения (2)) из множества по данным называется корректной если [1]: 1) для всякого элемента существует решение ; 2) решение определяется однозначно; 3) решение должно непрерывно зависеть от входных данных (устойчивость задачи). Элемент обычно получается путем измерений и поэтому известен приближенно. Поэтому , вообще говоря, не принадлежит множеству . Отображение во многих случаях является таким, что обратное отображение не является непрерывным [1]. Тогда в качестве приближенного решения нельзя брать точное решение уравнения (2) с приближенной правой частью так как: 1) такого решения может не существовать, поскольку может не принадлежать множеству (не выполняется первое условие корректности); 2) такое решение, даже если оно и существует, не будет обладать свойством устойчивости, поскольку обратное отображение не является непрерывным (не выполняется третье условие корректности). Отсутствие устойчивости во многих случаях делает невозможной физическую интерпретацию результатов измерений. Таким образом, для некорректных задач возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением таких задач [2, 3]? Одним из основных методов построения решений некорректных задач является метод подбора [1-3]. Он состоит в том, что вычисляется левая часть уравнения (2) для некоторого подмножества элементов , принадлежащих , т.е. решается прямая задача. В качестве искомого приближенного решения выбирается такой элемент , для которого невязка минимальна на . Здесь - расстояние в некоторой метрике между элементами и элементом и. Обычно в качестве выбирается семейство элементов х, зависящих от конечного числа числовых параметров так, что является замкнутым множеством конечномерного пространства. Таким образом, находится так называемое квазирешение [4] уравнения (2). 3. Решение уравнения Вольтерра Применим метод подбора для решения уравнения Вольтерра первого рода (1). Перейдем от уравнения (1) к системе алгебраических уравнений. Перепишем уравнение (1) в виде , (3) где . Введем на отрезке сетку узлов , , . Здесь - предельное значение угла закручивания цилиндра, - шаг разбиения. Представим теперь уравнение (3) в виде системы уравнений , . Отсюда находим, что . (4) Здесь , , , . Аппроксимируя теперь функцию на отрезках линейной функцией , где , , получаем из (4) после интегрирования и некоторых преобразований треугольную систему линейных алгебраических уравнений (5) (6) Сначала из уравнения (5) находим величину и подставляем ее в уравнение (6) при . Из данного уравнения вычисляем величину и подставляем ее в уравнение (6) при и т.д. Очевидно, что система уравнений (5), (6) однозначно разрешима при любой правой части. После определения коэффициентов напряжения на концах отрезков вычисляем исходя из вида линейной аппроксимации. Таким образом, восстанавливается диаграмма . Однако значения функции определяются путем измерений в экспериментах на кручение цилиндрических образцов и поэтому известны с определенной степенью погрешности (приближенно). Пусть такая приближенная функция. В этом случае может идти речь лишь о нахождении приближенного решения уравнения (1). При этом , вообще говоря, может быть такова, что не является правой частью уравнения (1) ни при каких , и приближенного решения может не существовать. Если же такое решение и существует, то оно может не обладать свойством устойчивости. Тогда в результате применения формул (5) и (6) получаем для характерную пилообразную ломаную [3-4]. Причина появления такого решения заключается в том, что для некорректных задач не выполняется третье условие корректности по Адамару, а именно: сколь угодно малым возмущениям исходных данных соответствуют большие изменения решения. Поэтому и возникают решения в виде пилообразных функций. Применяя метод подбора [3], приближенное решение будем искать среди функций , графики которых расположены между верхними и нижними точками пилообразной ломаной. Решая прямую задачу для всевозможных таких функций, получаем зависимости . В качестве приближенного решения следует взять элемент такой, что отвечающее ему решение прямой задачи для каждого удовлетворяет неравенству . Здесь - наперед заданная малая величина; . 4. Пересчет экспериментальной диаграммы кручения Проведем испытание образца из стали Ст3сп с размерами рабочей части = 113 мм, = 5 мм на машине для кручения образцов из металла (модель 2014 МК-50). Кручение осуществляем, задавая абсолютный угол закручивания . Скорость нагружения выбираем минимальной для данной машины (0,15 об/мин). Кручение проводим с остановками, в результате которых величина крутящего момента падает (рис. 1). Это объясняется тем, что релаксационные процессы в зоне концентрации напряжений проходят медленнее, чем скорость нагружения образца. Свойства материала в данном конкретном образце неизвестны. Рис. 1. Экспериментальная диаграмма кручения образца (сплошная линия 1) и расчетная зависимость для квазирешения (пунктирная линия 2) Fig. 1. The experimental specimen torsion diagram (solid line 1) and the calculated dependence for the quasi-solution (dashed line 2) Используя сетку узлов = 0,02 ( = 0, …, 1250) по оси и значения экспериментальной функции в этих точках , по формулам (5) и (6) рассчитываем функцию . В результате пересчета получаем пилообразную ломаную (рис. 2, ломаная 1). Будем искать приближенное решение уравнения (1) среди функций, графики которых расположены между кривыми 3 и 4 (см. рис. 2). Область, ограниченная этими кривыми, заключает в себе пилообразную ломаную 1 (см. рис. 2). Сначала возьмем кривую, проходящую практически посередине между кривыми 3 и 4. Аппроксимируем ее следующим образом: , , , (кг/мм2) = , (7) , . Рис. 2. Результат пересчета экспериментальной диаграммы (пилообразная ломаная 1); область поиска квазирешения (между пунктирными линиями 3 и 4); квазирешение (кривая 2) Fig. 2. The result of conversion of the experimental diagram (sawtooth line 1); the area for searching a quasi-solution (between the dashed lines 3 and 4); quasi-solution (line 2) Решим теперь прямую задачу, т.е. рассчитаем крутящий момент по формуле (1), где . Получаем кривую , показанную пунктиром на рис. 1 (кривая 2). Зависимость практически совпадает с экспериментальной зависимостью . Таким образом, диаграмму (7) можно считать квазирешением уравнения (1), т.е. она определяет реальные свойства материала в испытанном образце. Известно [13], что с ростом запаса упругой энергии разрушение приобретает взрывной характер. Поэтому при достаточно большой длине образца (и, следовательно, большом запасе упругой энергии) не удается получить экспериментальную диаграмму с падающим участком. Разрушение происходит при достижении крутящим моментом максимального значения, сразу после зарождения кольцевой трещины. Для получения полной диаграммы материала необходимо, чтобы материал в поверхностном слое прошел все стадии деформирования, включая и закритическую, поэтому кручение образца нужно проводить равновесно до появления кольцевой трещины на поверхности. В этом случае материал поверхности пройдет все стадии деформирования, вплоть до полного разрушения. Поэтому необходимо уменьшать длину образца для получения диаграммы с падающей ветвью при равновесном деформировании. Возьмем цилиндрический образец диаметром 10 мм и рабочей длиной 10 мм. В результате эксперимента получена зависимость крутящего момента от угла закручивания, изображенная на рис. 3. В точке В зафиксировано образование кольцевой трещины. Отметим, что данная кривая была получена с остановками, в процессе которых происходила релаксация напряжений. Рис. 3. Зависимость крутящего момента от угла закручивания короткого образца Fig. 3. The dependence of the torque on the twist angle of the short specimen Рис. 4. Зависимость деформирования поверхностного слоя при испытании короткого образца Fig. 4. The dependence of deformation of the surface layer in the short specimen under testing Значительное отличие величины угла закручивания по сравнению с рис. 1 объясняется тем, что в данном случае испытывался образец рабочей длиной в 10 раз меньшей описанного в п. 1. Поэтому образец разрушился при значительно меньшем угле закручивания. Небольшое отличие восходящих участков диаграмм, изображенных на рис. 1 и 3, объясняется различием геометрических размеров образцов и естественным разбросом свойств материала. , , (кг/мм2) = (8) , Используя методику, изложенную выше, пересчитаем диаграмму в диаграмму . Результат пересчета показан на рис. 4 (пилообразная ломаная 1). Приближенное решение уравнения (1) определяет функция, описывающая кривую 2 (см. рис. 4), которая аппроксимирована следующими формулами: После подстановки выражений (8) в уравнение (1) получаем диаграмму , практически полностью совпадающую с экспериментальной (см. рис. 3). Отметим, что кривая 2 обладает падающей до нуля ветвью. Следовательно, материал поверхностного слоя до разрушения проходит все стадии деформирования, включая и разупрочнение. Таким образом, предложенная методика позволяет получить реальные свойства материала, проявляемые им при работе реального элемента конструкции. При необходимости возможна серия экспериментов для получения средних значений.

About the authors

V V Struzhanov

Institute of Engineering Science

D I Vichuzhanin

Institute of Engineering Science

References

Statistics

Views

Abstract - 197

PDF (Russian) - 90