Full Text

Введение Увеличение сроков эксплуатации различных элементов конструкций является важнейшей задачей, стоящей перед современной промышленостью. Одним из способов ее решения является нанесение на элементы конструкций различного рода защитных покрытий, которые защищают от коррозии, температурных или радиоактивных воздействий и др. Ключевую роль при проектировании защитного покрытия играет процесс математического моделирования, позволяющий предсказать поведение покрытия при заданном типе воздействия. В частности, для прогнозирования долговечности изделия, подверженного механической деформации, важно знать возникающие в нем поля смещений, напряжений и деформаций. Так, например, наличие внутри материала зоны с высокими растягивающими напряжениями может стать причиной образования трещин. В ряде случаев данная зона находится на границе раздела между покрытием и подложкой, что способствует отслаиванию покрытия от подложки. В качестве материалов защитных покрытий часто используются так называемые функционально-градиентные материалы, которые представляют собой многофазные композиты, характеризующиеся непрерывным изменением процентного количества фракций своих составляющих по объему материала. Эти изменения ведут к неоднородной микроструктуре с непрерывно изменяющимися механическими и физическими свойствами материала. В частности, упругие модули в таких материалах являются непрерывными функциями пространственных координат [1]. Деформированию тел из функционально-градиентных материалов и тел с функционально-градиентными или композиционными покрытиями посвящено большое количество современных исследований [2-12]. Исследуется контактное [2-10], температурное [4], электромагнитное [6], акустическое [11] и другие виды воздействий, изучаются задачи об изгибе функционально-градиентных пластин [12] и др. Однако в связи с серьезными математическими трудностями, возникающими при решении, большинство контактных задач решены при некоторых ограничениях на значения геометрических и физических параметров. Так, например, в ряде работ, посвященных контакту тел с функционально-градиентными покрытиями, рассматриваются частные случаи законов изменения упругих свойств по глубине покрытия [6, 7, 8, 10]. Используемые методы решения интегральных уравнений в большинстве случаев эффективны лишь в узкой области изменения характерного геометрического параметра задачи, равного относительной толщине покрытия. В ряде работ, посвященных приближенному исследованию напряженно-деформированного состояния внутри материала с покрытием, предполагается, что распределение контактных напряжений, возникающих на поверхности, заранее известно и соответствует распределению контактных давлений в задаче Герца [13, 14]. Такое предположение может привести к существенным погрешностям, особенно при моделировании тонких покрытий и покрытий с упругими свойствами, существенно отличающимися от свойств подложки. Так, например, в работе [15] показано, что при достаточно большом отличии упругих свойств покрытия и подложки распределение контактных напряжений, возникающих на поверхности упругой полуплоскости с тонким покрытием, существенно отличается от распределения на поверхности полуплоскости без покрытия (что соответствует распределению Герца). В работе [16] на примере задачи о кручении исследуются покрытия с периодическим изменением модуля сдвига по глубине и показано, что при определенных значениях параметров задачи отличие распределения контактных напряжений на поверхности таких покрытий существенно отличается от распределения на поверхности полупространства без покрытия даже в случае достаточно больших толщин покрытий. В работе [17] авторы анализируют различие упругих полей напряжений, возникающих в полупространстве с однородным покрытием и без него при вдавливании в него сферического штампа. Интегральное уравнение соответствующей контактной задачи решалось методом коллокации, который эффективен для покрытий средних толщин. В настоящей работе для расчета контактных напряжений, возникающих на поверхности, используется двухсторонне асимптотически точный метод решения контактных задач теории упругости для тел с неоднородными покрытиями [18]. Данный метод позволяет получить приближенные аналитические формулы высокой точности для контактных давлений, возникающих на поверхности неоднородных покрытий при произвольном характере изменения упругих модулей по глубине. Формулы асимптотически точны для малых и больших значений геометрического параметра задачи, равного отношению толщины покрытия к характерному размеру зоны контакта, и позволяют добиться высокой точности для средних значений. Кроме того, данный подход позволяет с высокой точностью моделировать мягкие и жесткие покрытия (имеется в виду отличие модуля Юнга покрытия и подложки в зоне их сопряжения более чем на один порядок). Для этой цели обычно применялись модели недеформируемого основания [10, 19, 20], что приводит к дополнительным ошибкам в вычислениях. 1. Постановка задачи Недеформируемый сферический штамп радиуса R вдавливается в поверхность упругого неоднородного по глубине слоя толщины H, лежащего на однородном полупространстве (рис. 1). С неоднородным слоем связана цилиндрическая система координат (r, φ, z), ось z направлена по нормали к поверхности и проходит через центр штампа; координата r отнесена к радиусу зоны контакта a, координата z - к толщине покрытия H. Под действием нормально приложенной силы P центр штампа сместится вдоль оси z на величину - . Силы трения между основанием штампа и упругим слоем отсутствуют. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона изменяются с глубиной по следующим законам: (1) где и - произвольные дифференцируемые положительные функции. Здесь и далее индекс (c) соответствует неоднородному упругому слою (покрытию), индекс (s) - однородной подложке. Введем параметр, характеризующий мягкость покрытия: (2) Вне зоны контакта поверхность покрытия свободна от напряжений, а также вся поверхность покрытия свободна от касательных напряжений. Граничные условия на поверхности полупространства при сделанных предположениях имеют вид (3) Как и в большинстве работ, положим, что радиус сферического индентора намного больше радиуса зоны контакта. При этом предположении сферическая форма штампа может быть аппроксимирована параболоидом вращения [9]. Для однородных материалов было показано, что такая аппроксимация допустима при условии a < 0,1R, которое выполнено практически всегда при упругом индентировании сферическим штампом [21]. Считаем, что на границе между покрытием и подложкой выполнены условия идеального сцепления: (4) Здесь u, w - смещения вдоль осей r и z соответственно; - компоненты тензора напряжений. Требуется найти распределение контактных давлений под штампом: (5) и определить поля упругих смещений, напряжений и деформаций внутри покрытия и подложки. Считаем, что при и напряжения и смещения в полупространстве исчезают, а также выполнено условие непрерывности контактных напряжений на границе области контакта. (6) Рис. 1. Постановка контактной задачи о вдавливании штампа сферической формы в упругое полупространство с неоднородным по глубине покрытием Fig. 1. Statement of the contact problem on indentation of a spherical punch into an elastic half-space with coating inhomogeneous in depth 2. Построение решения Представляя смещения и напряжения в виде интегральных преобразований Ханкеля (7) и вводя в рассмотрение следующие величины: (8) из (3) можно получить интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно неизвестной функции : (9) Выше были использованы обозначения: ; J0, J1 - функции Бесселя первого рода. Вопросы существования и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (9) были подробно исследованы в работе [22]. Интегральное уравнение (9) можно записать в виде эквивалентного ему парного интегрального уравнения: (10) Введем в рассмотрение следующие операторы [23]: (11) (12) Действуя операторами (11) и (12) на первое и второе уравнение (10) соответственно, придем к следующему парному интегральному уравнению: (13) Аппроксимируем трансформанту ядра следующим выражением: (14) В этом случае удается в аналитическом виде получить приближенное решение интегрального уравнения [2] (13): (15) Обращая преобразование Ханкеля в (15) и учитывая (6), получим приближенное аналитическое представление для контактных давлений под штампом: (16) Также можно получить соотношения, связывающие осадку, радиус сферы, зону контакта и вдавливающую силу: (17) (18) Следует отметить, что . Подставляя выражение (15) в исходное уравнение (13), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных : (19) Доказано, что решение (16) является асимптотически точным для больших и малых значений геометрического параметра задачи λ [18]. Погрешность решения для средних значений параметра λ, очевидно, связана с точностью аппроксимации трансформанты ядра интегрального уравнения (14). В работе [24] подробно изучается связь между погрешностью аппроксимации трансформанты ядра и точностью решения задачи, и на примере задачи о кручении показано, что они являются величинами одного порядка малости. Алгоритмы подбора коэффициентов аппроксимации трансформанты ядра, а также их влияние на связь между погрешностью аппроксимации трансформанты ядра и погрешностью приближенного решения (16) описаны в [24]. Из (7) и (8) получим формулы для смещений в произвольной точке внутри полупространства (как покрытия, так и подложки): (20) Связь между напряжениями и смещениями имеет вид (21) где - упругие параметры Ламе; - размерные пространственные координаты. Введем обозначения: (22) Значения функций и , а также их производных по переменной z строятся численно из решения некоторых задач Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [2]. Из (13) с учетом (7), (8) и (22) получим (23) Используя закон Гука, получим выражения для деформаций (24) Используя (20), запишем смещения в виде (25) Таким образом, расчет полей смещений, напряжений и деформаций сводится к вычислению интегралов . Численное интегрирование в (22) представляет определенные трудности, так как подынтегральные функции являются сильно осциллирующими. Скорость затухания при увеличении γ в основном определяется значением координаты z. Для z, близких к нулю, подынтегральные функции затухают очень медленно, что также существенно усложняет процесс численного интегрирования. 3. Численные примеры Проанализируем напряженное состояние внутри мягкого (β = 100) неоднородного слоя с модулем Юнга, изменяющимся по одному из следующих законов: · покрытие 1 (homogeneous coating 1): ; · покрытие 2 (linear coating 2): ; · покрытие 3 (linear coating 3): . Коэффициент Пуассона покрытия и подложки считаем равным 0,3. Модуль Юнга внутри покрытий 2 и 3 изменяется в 3,5 раза (рис. 2). Рис. 2. Модуль Юнга в покрытиях 1-3 в зависимости от глубины Fig. 2. Young’s modulus in the coatings 1-3 versus depth coordinate Все расчеты, представленные ниже, были проведены при следующих значениях параметров задачи: λ = 1, R = 50, H = 1. Следует отметить, что в этом случае вдавливающая сила и глубина внедрения штампа в покрытия 1, 2 и 3 различны и равны соответственно: δ1 ≈ 0,0131, δ2 ≈ 0,0144, δ3 ≈ 0,0122 и P1 ≈ 0,0369, P2 ≈ 0,0895, P3 ≈ 0,0176. На рис. 3 изображены поля вертикальных смещений w(r,z) в диапазоне , . Своего максимального значения вертикальные смещения достигают в точке z = 0, r = 0, с увеличением r и z они убывают. Поскольку подложка намного более жесткая, чем покрытия 1-3, то смещения в подложке практически равны нулю. Значение модуля Юнга в покрытии 2 убывает с глубиной, поэтому вертикальные смещения с глубиной убывают медленнее, чем в покрытии 3, где модуль Юнга с глубиной возрастает, и в покрытии 1, где он постоянен. Рис. 3. Вертикальные смещения w в покрытиях 1-3 Fig. 3. Vertical displacements w in the coatings 1-3 Абсолютные значения радиальных смещений имеют два локальных максимума: на поверхности и на глубине z ≈ -0,5, z ≈ -0,6 или z ≈ -0,4 для покрытий 1, 2 и 3 соответственно при значении координаты r ≈ 0,8 (рис. 4). При удалении от точки максимума радиальные смещения уменьшаются. При этом на глубине наблюдается зона, где радиальные смещения близки к нулю. Следует отметить, что на поверхности радиальные смещения отрицательны, то есть направлены по направлению к центру штампа, а в глубине положительны - направлены от центра штампа. Для прогнозирования областей, максимально подверженных риску разрушения, удобно использовать главные напряжения, которые для данной задачи имеют вид: (26) На рис. 5-7 изображены главные напряжения σI, σII и σIII внутри покрытий 1-3 и внутри подложки в диапазонах , . Наблюдаются три зоны концентрации напряжений σI (см. рис. 5). Первая зона расположена в области , где величина σI максимальна, максимум достигается на поверхности вблизи границы области контакта. Вторая зона находится внутри покрытия на глубине , третья зона - на глубине . Локальные точки максимума во второй и третьей зонах находятся под краем зоны контакта, т.е. при r ≈ 1. Значения σI во второй и третьей зонах значительно меньше, чем в первой. Для покрытия 3 третья зона концентрации напряжений расположена как раз на границе стыка покрытия с подложкой, а для покрытий 1 и 2 - в подложке, на некотором удалении от границы с покрытием. Рис. 4. Радиальные смещения u в покрытиях 1-3 Fig. 4. Radial displacements u in the coatings 1-3 Следует отметить, что значения напряжений σI во второй и третьей зонах по отношению к максимальному значению σI значительно выше в случае покрытия 3. Таким образом, покрытие 3 более подвержено риску отслаивания от подложки. На рис. 6 видны две зоны концентрации напряжений σII: на поверхности и в районе стыка покрытия и подложки. В подложке, а также в покрытии при r > 1 значения величины σII малы. Аналогично наблюдаемому для σI значения σII, возникающие в глубине покрытия 3, значительно ближе к максимальному значению, чем в случае покрытий 1 и 2. Напряжения σII в покрытии 3 убывают медленнее, чем в покрытиях 1 и 2. Рис. 5. Главные напряжения σI в покрытия 1-3 Fig. 5. Principal stresses σI in the coatings 1-3 Рис. 6. Главные напряжения σII в покрытия 1-3 Fig. 6. Principal stresses σII in the coatings 1-3 Рис. 7. Главные напряжения σIII в покрытиях 1-3 Fig. 7. Principal stresses σIII in the coatings 1-3 Графики величины σIII напоминают графики σII (см. рис. 7). Также наблюдаются две зоны концентрации напряжений σIII при тех же значениях координат r и z, что и в случае с σII. Основное отличие состоит в том, что эти зоны сливаются между собой. Так, например, для покрытия 3 они практически неразличимы. Кроме того, величина σIII внутри подложки достаточна велика и медленнее убывает при удалении от точек максимума, чем σII. В случае использования модели недеформируемого основания, очевидно, все рассматриваемые величины внутри покрытия равнялись бы нулю. Таким образом, напряженно-деформированное состояние отличалось бы существенно от полученного в настоящей статье и были бы упущены важные особенности распределения напряжений внутри подложки (см. рис. 5 и 7). Рис. 8. Вертикальные смещения точек вблизи поверхности покрытий 1-3 (сплошные линии) и профили инденторов (пунктирные линии) Fig. 8. Vertical displacements of points near the surface of the coatings 1-3 (solid lines) and profile of the indentors (dashed lines) На рис. 8 изображены вертикальные смещения w(r, -0.001) точек вблизи поверхности покрытий 1-3, а также проиллюстрированы профили штампов. Хорошее совпадение формы инденторов и смещений, посчитанных численно с помощью приближенных формул, подтверждает точность полученных результатов. Заключение В работе предложен метод построения полей упругих смещений, напряжений и деформаций на основании полученных ранее приближенных аналитических выражений для контактных напряжений, возникающих на поверхности при вдавливании сферического штампа в упругое полупространство с функционально-градиентным покрытием. Приведены численные расчеты величин смещений и главных напряжений, возникающих в случае однородного покрытия или покрытия с линейным изменением модуля Юнга по глубине (возрастанием или убыванием). Показано, что характер изменения упругих модулей по глубине покрытия существенно влияет на напряженно-деформированное состояние внутри покрытия и подложки. Выявлен ряд характерных особенностей при внедрении сферического штампа в мягкое покрытие, когда упругие свойства на границе стыка покрытия и подложки отличаются в 100 раз. Отмечено, что даже при таком большом отличии упругих свойств покрытия и подложки, использование модели недеформируемого основания привело бы к существенным неточностям в напряженно-деформированном состоянии.

About the authors

S S Volkov

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

A S Vasiliev

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

S M Aizikovich

Don State Technical University

N M Seleznev

Don State Technical University

A V Leontieva

Don State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 324

PDF (Russian) - 55