Полный текст

Введение Магнитные жидкости в природе не существуют – их синтезируют искусственно, путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости [1]. Магнитные жидкости широко используются в различных областях техники и технологии. Задача о волнах на поверхности струи магнитной жидкости рассмотрена в [2]. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании исследовано в [3]. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро, решена в [4]. 1. Математическая модель Предполагается, что внутри цилиндрического объема магнитной жидкости находится ядро из пористого материала в форме коаксиально расположенного круглого цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного цилиндрического соленоида, создающего однородное магнитное поле с напряженностью Задача решается в цилиндрической системе координат , в которой жидкий столб покоится. Ось направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и соленоида обозначим a, и b соответственно. Величины, относящиеся к пористой среде, свободной жидкости (вне пористой среды) и промежутку между жидкостью и соленоидом (воздух), будем обозначать в необходимых случаях индексами 1, 2 и 3 соответственно. Магнитная проницаемость,, в областях 1, 2, 3 предполагается постоянной. Предполагаем, что , а магнитная проницаемость среды в области 1 (пористый материал, насыщенный жидкостью) , где – проницаемость пористой матрицы; – пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды). При постоянной проницаемости магнитная сила равна нулю, однако это не означает, что магнитное поле не влияет на движение жидкости. В самом деле, на поверхностях раздела сред существуют механические напряжения (связанные со скачком магнитного поля), посредством которых и происходит взаимодействие поля со средой. Уравнения движения магнитной жидкости в пористой среде (при сделанных предположениях) имеют вид [3, 5] , (1) Здесь – плотность жидкости; – вязкость; – коэффициент проницаемости пористой среды; – давление; – макроскопическая скорость фильтрации, связанная со средней скоростью жидкости в порах соотношением . Уравнения движения свободной жидкости, в предположении, что амплитуда волны значительно меньше ее длины, запишем в линейном приближении [6]: , (2) Здесь – скорость свободной жидкости. Ограничиваемся случаем волн достаточно большой длины , существенно превышающей радиус жидкого столба, с тем чтобы пренебречь слагаемыми, содержащими и в уравнениях (1) и (2). Уравнения для магнитного поля [7] , ( 1, 2, 3). (3) Из уравнений (1)–(3) следует , , , (4) ( 1, 2, 3). Далее все величины будем записывать в виде , , , ( 1, 2, 3). (5) Здесь индексами 0 и обозначены соответственно невозмущенные величины и малые возмущения, связанные с волной; . Возмущения также должны удовлетворять уравнениям Лапласа (4). Система граничных условий имеет вид [6, 7]: на границе пористой среды 1) , 2) , 3) , (6) 4) ; на свободной поверхности жидкости 5) 6) , 7) , 8) ; на поверхности соленоида 9) (возмущение потенциала равно нулю). Здесь – коэффициент поверхностного натяжения; – средняя кривизна поверхности; – единичная нормаль к соответствующей поверхности. Невозмущенные величины также должны удовлетворять граничным условиям (6) (в предположении, что и ). Для возмущений давления из (1) и (2) с учетом (5) следует , . (7) Как известно из дифференциальной геометрии, выражения для и для деформированной цилиндрической поверхности в линейном приближении имеют вид (8) На поверхности пористой среды (1, 0, 0). С учетом вышеизложенного граничные условия (6) в линейном приближении принимают вид 1) (), (9) 2) (), 3) (), 4) (), 5) (), 6) (), 7) (), 8) (), 9) Кроме того, на оси пористого цилиндра () решения уравнений должны быть конечными. В граничных условиях (9) вместо , надо подставить их выражения (7). Математическая модель является, таким образом, краевой задачей, состоящей из уравнений Лапласа (4) в цилиндрических координатах и граничных условий (9). 2. Решение краевой задачи Решение уравнений (4) с граничными условиями (9) ищем в виде (10) Здесь, например, , где – неизвестная амплитуда; – волновое число; ; ; – частота; – коэффициент, который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения). Подставляя выражения (10) для (1, 2) и для (1, 2, 3) в уравнения Лапласа, записанные в цилиндрических координатах, получим систему пяти модифицированных уравнений Бесселя порядка для амплитуд, решения которых имеют вид Здесь и – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка т. Следует положить и , так как при . Граничные условия (9) принимают для амплитуд вид 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , (11) 7) , 8) , Здесь i – мнимая единица, штрихами обозначены производные. Имеем систему девяти однородных уравнений (11) для девяти неизвестных: , ,, , , , , , . Для упрощения вычислений далее предполагаем, что (соленоид достаточно большого радиуса). Приравнивая затем определитель системы (11) к нулю, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое относительно : (12) где Отметим, что при , (замена пористой среды жидкостью) первое уравнение (1) переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (12) при следует квадратное относительно дисперсионное уравнение, полученное в работе [2], результаты которой согласуются с экспериментом. При (либо при ) и отсутствии пористой среды получается классический результат Релея о распаде струи обычной жидкости. Уравнение (12) – кубическое и может быть приведено к так называемому неполному кубическому уравнению [8] с дискриминантом , где и выражаются через коэффициенты уравнения (12). При условии существует волновое движение, поскольку уравнение (12) имеет при этом два комплексно сопряженных корня. При волновых движений нет, так как все три корня уравнения (12) действительные. 3. Анализ модели Конкретные числовые расчеты с дисперсионным уравнением (12) проводились для следующих значений параметров: г/см3; г/с2; г/смс; см2; см –1; Э (эрстед); Для симметричных возмущений () и фиксированных значений см, 1,1 см, Э интервал см–1 делится критической точкой (), которая находится из условия , на два интервала. В интервале волны отсутствуют: происходит нарастание возмущений (). Амплитуда возмущения растет с наибольшей скоростью при , при котором достигает максимума. Размер образующихся при распаде жидкого столба капель [2]. При движение жидкости замедляется, т.е. , . В интервале существуют затухающие () волны. Ниже, в таблице, приведены значения в зависимости от для 0,5 см, 1,1 см, и перечисленных выше значений остальных параметров. Здесь , Э 0 5 10 15 20 25 30 35 40 , см–1 0,910 0,888 0,827 0,734 0,624 0,514 0,420 0,346 0,290 , см–1 0,638 0,613 0,572 0,502 0,429 0,342 0,282 0,235 0,195 –1,288 –1,239 –1,136 –0,970 –0,800 –0,643 –0,517 –0,434 –0,361 На рис. 1 приведены графики зависимостей безразмерных величин и при для различных значений невозмущенного магнитного поля . При частота больше, а затухание возмущений сильнее, чем при при одинаковых значениях прочих параметров. При движение является апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений. а б Рис. 1. Зависимости безразмерной частоты (а) и коэффициента затухания (б) от волнового числа k: = 0, 10, 20, 30, 40 Э (1–5); 0,5 см; 1,1 см На рис. 2 приведены графики зависимостей и при и фиксированных значениях Э, 0,5 см для разных значений . Они показывают влияние радиуса на безразмерные частоту и декремент возмущений различных длин волн. а б Рис. 2. Зависимости безразмерной частоты (а) и коэффициента затухания (б) от волнового числа k: 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1 см (1–5); 0,5 см; = 20 Э На рис. 3 приведен график зависимости при и фиксированных значениях Э, 1,1 см для разных значений а. Показано, что при 1,1 см, Э и изменении а от 0,5 до 0,9 см безразмерная частота слабо зависит от радиуса пористого цилиндра, то есть при изменении величины а график зависимости практически не изменяется и имеет вид, аналогичный приведенному на рис. 1. Рис. 3. Зависимость безразмерного коэффициента затухания от волнового числа k: а = 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 см (1–5); а0 = 1,1 см; т =0; Н0 = 20 Э Заключение Исследовано распространение и неустойчивость волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей ядро из пористого материала в приложенном магнитном поле, направленном вдоль оси жидкого столба. Рассмотрена область длинных волн (), которая при симметричных возмущениях () и достаточно слабых полях (Э) делится критической точкой на два интервала. В интервале происходит апериодическое движение () с нарастающей амплитудой, приводящее к распаду жидкого столба на цепочку из соединенных между собой капель, длина которых Показано, что длина капель увеличивается с ростом магнитного поля Таким образом, магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на распад жидкого столба, препятствуя его разрушению. При () движение жидкости замедляется, т.е. , , что связано с взаимной нейтрализацией капиллярных и магнитных сил, действующих на поверхности жидкости. В интервале существует затухающее волновое движение с безразмерной частотой монотонно возрастающей с ростом волнового числа k. Зависимость имеет более сложный характер и не является монотонной. Авторы благодарят Э.Н. Егереву за помощь в работе. Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.132.21.1353.

Об авторах

Николай Григорьевич Тактаров

Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева, Саранск, Россия

Email: colonnt@mail.ru
430007, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11А доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева

Ольга Александровна Рунова

Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева, Саранск, Россия

Email: runova.olga@list.ru
430007, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11А аспирант кафедры математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева

Список литературы

Статистика

Просмотры

Аннотация - 98

PDF (Russian) - 59