Full Text

Введение Необходимость определения прочности адгезионных соединений элементов композиционных материалов, тонкопленочных покрытий и основы, деталей и элементов конструкций существует и актуальна в самых разных отраслях техники. Существует немало ситуаций, когда экспериментальное изучение явления адгезии экономически не выгодно или невозможно. Поэтому актуален теоретический расчет ее характеристик. Явление адгезии изучается физикой твердого тела [1]. В случаях конструкционных материалов с их сложным химическим составом и структурой для описания явления адгезии удобен феноменологический подход, используемый термодинамикой сплошных сред. С этой точки зрения учет адгезии при контактном взаимодействии рассматривался в целом ряде работ (например, [2–8]). Предлагаемый метод позволяет рассчитать поверхностную энергию и энергию адгезии на основе моделирования причин, порождающих адгезию, и дополнить результаты упомянутых выше работ возможностью количественной оценки величин поверхностной энергии и энергии адгезии. 1. Модель упругой среды В данной работе используется следующее представление. Пусть и – два твердых тела, вступивших в адгезионный контакт вдоль поверхности ; – система параметров, характеризующих физические свойства тела с номером ; – система термодинамических параметров того же тела. До образования адгезионного контакта параметры и имеют вполне определенное стационарное, равновесное распределение внутри каждого из тел . После вступления тел и в адгезионный контакт поверхность , оказавшаяся в первый момент поверхностью разрыва распределений и , с течением времени размывается. В окрестности ее первоначального положения возникает слой эффективной толщины h (так как четкой границы нет). Его физические и термодинамические параметры и являются переходными от параметров тела к параметрам тела . Если зависимости ( – радиус-вектор точки в отсчетном состоянии) являются непрерывными, то можно говорить о полной адгезии. Если же часть из них при переходе через поверхность имеет конечный разрыв, то можно говорить о частичной адгезии. При этом зависимости в любом случае во всем переходном слое остаются непрерывными. Адгезия твердых тел и сопровождающие ее термомеханические явления в предлагаемой работе описаны на основании модели термоупругой среды, представленной в работе [9]. Бесконечно малые частицы создают вокруг себя бесконечно протяженное поле, посредством которого они осуществляют парное, тройное и т.д. взаимодействия с частицами как своего, так и любого другого тела. Потенциалы взаимодействия частицы , занимающей объем , с m частицами тела с номером и с частицами тела с номером предполагаются пропорциональными произведению объемов всех взаимодействующих частиц. Коэффициенты пропорциональности (далее потенциалы) (1.1) зависят от положений этих частиц в текущей конфигурации взаимодействующих тел. В однородной изотропной среде, рассматриваемой в [9] и данной работе, потенциалы зависят лишь от расстояний между центрами масс частиц и (). При этом для изотропной среды потенциалы обладают шаровой симметрией, что обеспечивается их зависимостью только от . Для однородной среды форма потенциала не зависит от положения . Индивидуализация зависимостей (1.1) для каждого материала () и любой пары разных материалов () осуществляются на основании данных экспериментов. Одним из возможных вариантов является постулирование вида зависимости с последующим подбором совокупности параметров , индивидуализирующих его [9, 10]. Относительные положения частиц в отсчетном состоянии , известны. В текущем состоянии векторы , , выражаются через векторы относительных смещений . Предполагается, что перемещение разложимо в ряд Тейлора по внешним степеням вектора . Так что относительное смещение частиц и определяется равенством , где D – знак приращения; – знак свертки; – выполнение свертки j раз; и – внешние j-е степени векторов и Ñ соответственно; – дифференциальный оператор Гамильтона, означающий дифференцирование по векторному аргументу ; – j-й градиент вектора перемещений , определенный в точке при . Пусть – норма градиента ( – номер компоненты вектора в ортонормированном базисе ); индексы после запятой означают номера координат или , по которым производится дифференцирование ()). Допускается, что для этого процесса выполняются неравенства , (1.2) где D – характерный размер области, в которой происходит изучаемый процесс. На основании (1.2) допускается, что потенциал (1.1), определенный в текущей конфигурации, отличается от того же потенциала, определенного в отсчетной конфигурации (, ), на величину , являющуюся полиномом второй степени по отношению к – начальной частью разложения изменения потенциала по внешним степеням относительных смещений взаимодействующих частиц. , (1.3) где , . Процесс деформирования сопровождается теплопередачей и температурными изменениями от исходного значения до текущего значения . При этом предполагается, что . В качестве отсчетной конфигурации и начального термодинамического состояния выбираются те конфигурация и состояние, которые имело бы изучаемое тело в составе гипотетической бесконечно протяженной, однородной, изотропной, находящейся в равновесном термодинамическом состоянии среды . Считается, что тело выделено из среды сначала мысленно, когда в его состоянии ничего не изменилось, а затем реально за счет совершения механической работы. Система термодинамических параметров , состоит из температуры и последовательности градиентов перемещений , образующих базисную систему независимых параметров, а также зависящих от них объемной плотности свободной энергии : и энтропии : . Уравнение движения в напряжениях имеет вид (1.4) где , m = 1, 2, 3, … – тензор внутренних напряжений; – объемная плотность внешних сил; – ускорение; – плотность. В моментвремени задаются начальные условия распределения перемещений и скоростей частиц тела , занимающего область : , . (1.5) В любой момент времени на свободной от контакта части поверхности каждого из тел (в отсутствие контакта – полная поверхность) задаются краевые условия или ; (1.6) или ; (1.7) ………………………………………………………………………, где – классические поверхностные силы; , – тензоры, характеризующие высшие неклассические поверхностные взаимодействия, способные совершать работу на определенных на граничной поверхности тензорных характеристиках неравномерности распределения перемещений в ее окрестности: , …. . Система (1.4)–(1.7) дополняется условием инвариантности потенциальной энергии по отношению к жестким движениям тела B, которое выражается в условии симметрии тензора . Замыкание системы (1.4)–(1.7) осуществляется путем использования соотношения (1.8) При получении этого соотношения, а также аналогичного соотношение для энтропии (1.9) ( – удельная теплоемкость материала при отсутствии деформаций) учтено, что дифференциал функции является полным. При этом для ее приращения справедливо выражение, совпадающее по форме с (1.3). Так что коэффициенты разложений (1.8), (1.9) определяются равенствами ,, (1.10) . (1.11) Вычисления в (1.10) и (1.11) должны проводиться для случая, когда , . Используется также уравнение притока тепла –J. (1.12) Здесь J – с объемной плотностью скорости возникновения тепла. Начальным условием для него является требование . В любой последующий момент на границах тела задаются значения температуры или нормальной составляющей теплового потока. Как отмечено в [11], вычисления можно провести, если известна зависимость объемной плотности свободной энергии от температуры и конфигурации деформированного состояния. В работе [10] предложено считать . (1.13) Здесь второе и третье слагаемые – свободную энергию фононного и электронного газов соответственно – предложено вычислять по известным из физики выражениям [12]. Первое слагаемое в (1.13) – потенциальная энергия, определяется выражением , Потенциал парного взаимодействия можно выбрать, например, в форме, аналогичной форме потенциала Морзе [9, 13] в физике твердого тела, . Для n – частичного взаимодействия предполагается [14] . Если (рассматривается взаимодействие частиц из одного материала), то параметр предложено определить методами физики твердого тела [9, 15] через характеристики потенциального взаимодействия атомов и среднее межатомное расстояние , определенное при температуре . Параметры и можно выразить через модуль Юнга и коэффициент Пуассона [9]. При этом предполагается, что переходной группы физических параметров между и нет. 2. Поверхностная энергия Поверхностная энергия равна изменению свободной энергии рассматриваемого тела в изотермическом обратимом процессе образования единицы площади его свободной поверхности А [16]. Суммарное изменение свободной энергии при образовании всей поверхности А (суммарная поверхностная энергия) определяется поверхностным интегралом С другой стороны [17–22], это изменение свободной энергии оказывается сосредоточенным в трехмерном поверхностном слое. Ввиду неопределенности его границ [16] это изменение свободной энергии можно считать распределенным по всему объему V изучаемого тела B. Если H – суммарная свободная энергия тела B, а – ее изменение, возникшее при образовании A и распределившееся по области V с объемной плотностью w (, , – радиус-вектор точки области V в конечном состоянии тела B, ), то, приравняв и , можно получить интегральное уравнение для определения (при условии известности распределения w по области V): (2.1) Обычно считается, что вдоль поверхности A величина не меняется и является физической характеристикой материала (например, [23, 24]). В физических расчетах [1, 22] область V в прямоугольных декартовых координатах задается в виде V: , ; A: . (2.2) В данной работе сформулируем задачу по расчету распределения вдоль криволинейной поверхности A. Функция определена на двухмерной гладкой замкнутой области A. Для этой функции всегда можно найти такую векторную функцию , которая определена на трехмерной области V, непрерывна и дифференцируема в каждой внутренней ее точке, а на границе A удовлетворяет условиям , . (2.3) Подставляя первое из равенств в левый интеграл равенства (2.1), можно получить (2.4) Для векторного поля всегда можно найти такое скалярное поле , , [25], что . (2.5) Равенство (2.1) считается справедливым для сплошных тел B произвольных размеров с произвольной формой гладкой границы A. Поэтому учет (2.5) для второго из интегралов (2.4) приводит к классической краевой задаче для функции : , . (2.6) Задача (2.6) имеет решение и притом единственное. Значит, существует и единственно решение задачи (2.3)–(2.6) по определению распределения поверхностной энергии вдоль свободной от внешних воздействий поверхности A. В частном случае, когда область V определена выражением (2.2) (полубесконечное тело), а значение w зависит лишь от расстояния x до плоской границы A, решение задачи (2.3)–(2.6) имеет вид . (2.7) Это выражение совпадает с тем, которое используется для расчета поверхностной энергии методами физики твердого тела [1, 22]. Вычисление поверхностной энергии путем решения задачи (2.3)–(2.6) или с помощью (2.7) можно осуществить, если известно распределение , . Сразу после мгновенного выделения из взаимное расположение его частиц и температура остались теми, которыми они обладали в составе . Поэтому различие свободных энергий тела в состояниях перед реальным выделением и после него обусловлено только разницей потенциальных энергий, возникшей в теле за счет удаления частиц, принадлежащих дополнению в составе . С учетом этого (2.8) Момент выделения из служит началом переходных процессов. Эти процессы, а также распределение в каждый момент времени можно рассчитать после решения начально-краевой задачи (1.4)–(1.12). Предполагается, что решение системы (1.4)–(1.12) имеет предел при , совпадающий с решением системы, получаемой из (1.4)–(1.12) путем исключения из нее слагаемых, содержащих производные по времени. Если обмена энергии у тела после его образования не было, то суммарная поверхностная энергия в любой момент времени является одной и той же. 3. Адгезия твердых тел Процесс вступления в адгезионный контакт тел и можно условно разбить на этапы. Первый этап – образование участков свободных поверхностей: у тела и у тела , вдоль которых происходит адгезионный контакт. В процессе первого этапа у каждого из тел и формируются их поверхностные энергии и . Второй этап – «жизнь» тел и с «намеченными» участками контакта и без взаимодействия между собой. В процессе второго этапа тела могут подвергаться внешним воздействиям. Из-за этого могут меняться их термоупругое состояние, физические свойства, свободная энергия. А следовательно, и поверхностная энергия . Третий этап начинается, когда реального контакта поверхностей еще не произошло, но тела и приблизились друг к другу бесконечно близко. Тела и начинают воздействовать друг на друга посредством силовых полей. Четвертый этап заключается в формировании адгезионного контакта. Он начинается в момент касания поверхностей и и заканчивается формированием трехмерного переходного слоя между телами и , не имеющего четких границ. Далее предполагается следующее. Считается, что поверхности и конгруэнтны. Случай неконгруэнтности анализируется в работах [2, 4, 5], далее не рассматривается. Переходный слой является трехмерным, в специальную область с особыми термоупругими свойствами не выделяется. Случай, когда его толщина h фиксируется с постулированием распределения свойств материала по нему или когда , а свойства материала при пересечении слоя меняются скачком, не рассматривается. Большое внимание рассмотрению таких слоев уделено в работах [7, 8, 26]. Не рассматривается также случай, когда одно из тел «выращивается» на поверхности другого [27]. Допускается, что тела и выделяются из бесконечных сред и одновременно в момент времени . В момент они сначала мгновенно сблизились на бесконечно близкое расстояние, а затем вступили в адгезионный контакт сразу вдоль обеих поверхностей и . Мгновенность выделения и из и с мгновенным их сближением и соединением обеспечивает адиабатичность процесса бесконечно близкого сближения и последующего вступления в адгезионный контакт. Поэтому энергетические изменения, произошедшие в системе тел и за время от их мысленного выделения в бесконечных средах до вступления в адгезионный контакт, можно связывать исключительно с процессами отделения от и образования из-за адгезии единого тела . У частиц тел и в этот момент вновь (после выделения) мгновенно меняется число окружающих их соседей, при этом деформации и изменения температуры отсутствуют. Каждая частица , мгновенно, наряду с взаимодействием с другими частицами и парами частиц начинает взаимодействовать с частицами , и парами частиц а также и . Потенциалы этих взаимодействий предполагаются известными. Изменение их свободной энергии, происходящее в ходе этого процесса, определяется выражением, аналогичным выражению (2.8), но более общим, учитывающим взаимное влияние частиц разных тел: После мгновенного присоединения тел и друг к другу в следующий за этим момент времени при их адгезии начинает формироваться переходный слой . При вступлении в состояние адгезии на поверхности контакта, по предположению, мгновенно начинают выполняться условия непрерывности термодинамических параметров. Далее рассматривается объединенное тело , занимающее в отсчетном состоянии область , ограниченную со стороны поверхностью , а со стороны поверхностью . Тела граничат между собой вдоль поверхности . Пусть – объемная плотность изменения свободной энергии тела к моменту времени t, отсчитываемому от момента его выделения из , а – его поверхностная энергия (вдоль поверхности ). Из-за соединения тел в единое целое и как на участках , так и, тем более, на участке . Несмотря на это, для каждой из частей , объединенного тела справедливы соотношения (2.1)–(2.7) с той лишь разницей, что входящие в них величины относятся к состоянию адгезии. При этом выражение (2.7) относится только к части поверхности тела . На оставшейся его части должно выполняться условие сопряжения для полей . Если контакт есть, но адгезии нет, то сопряжения полей нет. Таким образом, задача о распределении поверхностной энергии тел в случае, когда они находятся в состоянии адгезии, приобретает вид (2.4), (2.5). Условия сопряжения, накладываемые на распределения , предлагается принять в виде , ; (3.1) . (3.2) Условие (3.1) соответствует условию непрерывности изменения характеристик материала и его термодинамического состояния при пересечении переходного слоя. Условие (3.2) соответствует равенству поверхностных энергий тел по обе стороны поверхности . В соответствии с методом сжатия переходного слоя [28] это является условием определения поверхности в объединенном теле . В общем случае она не совпадает с исходным положением. В рассматриваемой ситуации это совпадение допускается. Если сложить найденные величины и для точек поверхности , то можно получить приходящееся на единицу ее площади изменение свободной энергии системы по отношению к свободной энергии совокупности несоединенных тел . При этом энергия адгезии . Для проведения расчетов поверхностной энергии необходимо произвести расчет распределения . Для этого решается сопряженная задача следующего вида. В каждой из областей выполняются балансовые соотношения для импульса (1.4) и энергии (1.12) с учетом выражений (1.8)–(1.11). В выражениях (1.8)–(1.11), в отличие от ситуации с одиночными телами , необходимо учесть их взаимное влияние. Предполагается, что в любой момент времени после вступления тел в адгезионный контакт взаимное влияние осуществляется только за счет потенциальных полей, создаваемых частицами тел . Таким образом, в выражениях (1.10), (1.11) необходимо учитывать, что Здесь, как и ранее, величины и определяются из [12]. На свободных от взаимного контакта участках границ выполняются краевые условия для внутренних напряжений (1.6), (1.7) или перемещений, а также условия, накладываемые на поле температур или тепловых потоков (, должны быть заданы). На поверхности задаются условия сопряжения. ; ; (3.3) , ; ; (3.4) , ; ; (3.5) ; . (3.6) Варьируя функционал, определяющий свободную энергию объединенного тела , а также его частей и , можно получить выражение (3.7) Допускается, что адгезионный контакт наступает мгновенно. При этом на границе контакта мгновенно начинают выполняться условия адгезии – непрерывность изменения характеристик термодинамического состояния при переходе через поверхность контакта. Это означает, что, во-первых, на поверхности контакта выполняются равенства (3.6). Во-вторых, что вариация свободной энергии равна нулю. В-третьих, что вариации параметров термодинамического состояния материала по обе стороны от поверхности контакта равны между собой как соответствующие одному и тому же состоянию элементарной частицы, разделенной поверхностью контакта. Равенство вариаций ; ; (3.8) означает, что варьируемые величины могут отличаться друг от друга на заранее известную функцию. Это приводит к появлению первых равенств в каждой из пар (3.3)–(3.5). Вместе с тем произвол каждой из вариаций в совмещении с равенствами (3.7) и (3.8) приводит к появлению вторых равенств в каждой из пар (3.3)–(3.5). Условия (3.4), (3.5) содержат неизвестные функции: , , , , , . Первые две из этих функций определяются исходными распределениями температур в каждом из вступивших в контакт тел. При определении остальных четырех функций предлагается учесть соотношения (3.6) и равенство (3.2), свидетельствующее о том, что поверхностные энергии вдоль равны между собой. Кроме того, предлагается использовать суммарную оценку полученной или отданной энергии к моменту расчета, в частности адиабатичность процесса. 4. Примеры расчета поверхностной энергии и энергии адгезии конкретных материалов. Сопоставление с известными значениями Для иллюстрации изложенных выше теоретических рассуждений предлагаются примеры расчета в простейших ситуациях. Делается несколько упрощающих ситуацию допущений. Рассматриваются не только парные, но и тройные взаимодействия частиц. Ограничение только парным взаимодействием приводит к одному и тому же для всех материалов значению коэффициента Пуассона, равному 0,25. Напряженное состояние описывается при этом тензорами и , являющимися обобщенными силами, работающими на выбранных первом и втором градиентах перемещений как на обобщенных перемещениях. Выбрана специальная форма тела : тело считается полубесконечным. Мысленно выделенное тело занимает область ; . Полубесконечность означает, что граница для него фиксирована, а границы , стремятся в бесконечность: какие бы большие значения числа ни приняли, всегда найдется хотя бы одна частица центр масс которой находится за пределами указанных границ. Пока тело находится в составе , окруженное таким же материалом, из которого состоит само, его поверхностная энергия на любом участке границы равна нулю. Допускается, что среда плоскостью разделяется на две части , мгновенно удаляемые друг от друга. Тогда у тела , как и у всей части , один из участков границы становится свободным от внешних воздействий. Что соответствует выделению в среде и в преимущественного направления , вдоль которого могут меняться характеристики напряженно-деформированного и термодинамического состояний. Поэтому на других участках границы тела по-прежнему , так как в направлениях нормалей к ним ничего не изменилось по сравнению с состоянием до разделения на две половины. C учетом этого делаются допущения, уменьшающие влияние на результаты расчетов внешних факторов, а также их математическую сложность. Моменты выделения тел совпадают между собой и с моментом вступления в адгезионный контакт. Момент времени, в который производится расчет адгезионных характеристик, отстоит от момента контакта тел бесконечно далеко, а переходные процессы затухают. Начальные температуры и энтропии совпадают и сохраняются постоянными. Допускается также, что , . Эти допущения делают процесс описания адгезии полностью одномерным, когда для решения задач о поверхностной энергии и энергии адгезии достаточно полагать , , . Подобные допущения используются при решении аналогичной задачи в физике [1, 22]. Рассогласование значений свободной энергии рассматриваемых тел в начале указанных процессов и в конце их пренебрежимо мало. С учетом изложенного легко получить расчетные соотношения задачи о вычислении поверхностной энергии и задачи о вычислении энергии адгезии. Интеграл (2.1) преобразуется в выражение (4.1) Оно исключает необходимость использования равенств (2.4)–(2.7). Точно так же при расчете поверхностной энергии вдоль плоскости адгезионного контакта оказывается, что . (4.2) Энергия адгезии вдоль всей плоскости остается одной и той же и вычисляется, с учетом (5.1) и (5.2), по формуле [16] . При этом в использовании соотношений (2.5)–(3.2) нет необходимости. Рис. Результаты расчета поверхностной энергии и их сравнение с имеющимися в литературе данными: – справочные данные Wp [23]; – значения Wp, вычисленные по предложенному в данной работе методу Результаты расчета поверхностной энергии и энергии адгезии для ряда материалов, принадлежащих полубесконечным телам, а также известные из справочной и научной литературы данные тех же величин, позволяющие сопоставить их значения, представлены на рисунке и в таблице. Энергия адгезии для некоторых пар материалов Материалы , , расчетное , Cu-Al 2,78 2,75 [29] Fe-Cu 3,46 4,00 [29] Cr-Fe 5,06 4,85 [29] Si-Cu 3,09 2,9 [30] Si-Al 2,76 2,15 [30] Ni-Al 2,82 2,67 [30] Ni-Cr 4,80 4,14 [30] Ni-Cu 3,72 4,26 [30] Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного задания № 2.479.2011. Заключение Представлен метод расчета поверхностной энергии и энергии адгезии твердых тел, поврежденности адгезионного шва. Он опирается на теорию термоупругости градиентных сред и представления Гиббса о переходном, хоть и очень тонком, но имеющем конечную толщину слое между контактирующими средами. Метод позволяет провести вычисления поверхностной энергии и энергии адгезии, поврежденности адгезионного шва твердых тел конечных размеров, ограниченных криволинейной поверхностью.

About the authors

Larisa Jurievna Frolenkova

State University-Education-Science-Production Complex, Orel, Russian Federation

Email: Larafrolenkova@yandex.ru
Naugorskoe shosse, 29, 302020, Orel, Russian Federation Ph. D. in Physics and Mathematics Sciences, Ass. Professor, Department of «Physics», State University-Education-Science-Production Complex

Vladimir Sergeevich Shorkin

State University-Education-Science-Production Complex, Orel, Russian Federation

Email: VShorkin@yandex.ru
Naugorskoe shosse, 29, 302020, Orel, Russian Federation Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of «Physics», State University-Education-Science-Production Complex

References

Statistics

Views

Abstract - 105

PDF (Russian) - 181