Full Text

Введение Установившиеся течения пластических сред в каналах рассматривались во многих работах начиная с середины XX века. Преимущественно речь шла о сужающихся плоских или осесимметричных каналах, тем самым моделировался достаточно давно известный процесс обработки материалов - прямая экструзия (Соколовский, 1950 [1] - ассоциированный с поверхностью текучести Мизеса закон; Shield, 1955 [2] - призма Треска, гипотеза Хаара-Кармана; Danyluk, 1969 [3] - упруго-пластическая задача в рамках теории Прандтля-Рейсса при условии текучести Мизеса; Aleksandrov, Barlat, 1999 [4] - течение через осесимметричный канал в случае пластического потенциала, заданного произвольной изотропной выпуклой функцией, не зависящей от гидростатического давления). Все указанные решения построены для компактных (несжимаемых) сред. Для некомпактных материалов механическое поведение и краевые задачи, описывающие процессы интенсивной пластической деформации, оказываются существенно сложнее; на сегодня известны только некоторые точные решения задач, в которых уплотнение материала происходит в том числе за счет эффектов дилатансии (прямая экструзия в осесимметричной и плоской постановке). Ранние работы по течениям пластически сжимаемых сред в каналах сосредоточены в основном на условии Мора-Кулона, ассоциированном с ним законе и гипотезе полной пластичности Хаара-Кармана (Cox [et al.], 1961 [5]). Ряд результатов получен методами верхней оценки и плоских сечений (Oh, Lee 1985 [6]). Из недавних результатов упомянем точные решения о нестационарном течении сферического слоя, подчиняющегося условию Мизеса-Шлейхера (Monchiet, Kondo, 2012 [7]), условию Друкера-Прагера или Мора-Кулона (Thore [et al.], 2009 [8]), эллиптическому условию типа Грина (Green, 1972 [9]) с постоянными коэффициентами (Shen [et al.], 2012 [10])). Указанные аналитические решения построены для двухконстантных моделей пластически сжимаемых сред, использование которых для описания поведения реальных материалов дает хорошие результаты в случае малых изменений плотности среды. Более сложные модели опираются на функциональные коэффициенты в уравнении поверхности текучести, явно зависящие от плотности. К числу таких относятся широко применяющаяся для моделирования вязкого разрушения модель Гурсона (Gurson, 1977 [11]), а также ряд моделей типа Грина, нашедших применение для описания прессования порошков и деформирования различных пористых тел. Поверхности текучести в обеих указанных моделях при нулевой пористости переходят в цилиндр Мизеса. Решение краевых задач в рамках моделей Гурсона и Грина сопряжено с существенными сложностями. Для модели Гурсона известно приближенное аналитическое решение о движении среды в коническом канале без трения (Durban, Mear, 1991 [12]). Для модели Грина с непостоянными коэффициентами известные аналитические решения фактически исчерпываются двумя работами (Alexandrov [et al.], 2007 [13]; Alexandrov, Druyanov, 1990 [14]). В отличие от предыдущих, здесь полагается сухое трение по закону Кулона-Амонтона, а не трение Прандтля, используется приближенное уравнение равновесия, полученное по методу Хилла (Hill, 1963 [15]). В первой рассматривается обобщение условия Мизеса на некомпактные материалы, во второй - один из вариантов обобщения критерия Треска. Результаты последней демонстрируют, по всей видимости, нереалистичную податливость каркаса. Различным вариантам построения поверхностей текучести сжимаемых материалов с предельным переходом в призму Треска посвящена работа Revil-Baudard, Cazacu, 2014 [16]. Сравнительно недавно Сегалом [17] был предложен новый вид обработки материалов - боковая экструзия или равноканальное угловое прессование. Теоретических исследований, посвященных механике процесса, здесь существенно меньше. Упомянем работы [18-20], в которых речь идет о равноканальном прессовании пластически несжимаемых сред; ряд расчетных данных получен блочным методом, не имеющим очевидных преимуществ перед приближенным анализом в конечно-элементных пакетах, выполненном, например, в [21-23]. Для некомпактных материалов (в том числе с дефектами в виде микропористости) известны только некоторые экспериментальные результаты и расчетные данные МКЭ-моделирования [24-26]. Последнее на сегодня является, по существу, единственным инструментом получения прогнозных оценок напряженно-деформированного состояния в процессах углового прессования сжимаемых сред. Что касается фильтрационных процессов, вызванных деформированием пористой среды, то большая часть известных работ рассматривает каркас как вязкоупругий континуум [27-28] либо как вязкую жидкость [29]. Аналитические решения для таких процессов в рамках жесткопластического анализа до сих пор не получены, хотя во многих случаях необратимая деформация каркаса является основным механизмом, индуцирующим фильтрацию, а материал каркаса слабо проявляет вязкие свойства. В ряде исследований проведен учет пластической деформации каркаса [30] и получены результаты численного моделирования, например, в случае прессования в закрытой матрице [31]. В настоящей работе для жесткопластического анализа будем использовать эллиптическое условие текучести с постоянными коэффициентами как наиболее простое, позволяющее описать поведение сжимаемого материала в узком диапазоне изменения плотности. Для описания процесса фильтрации могут быть использованы два различных подхода. В связанной постановке поровое давление может оказывать влияние на переход материала из жесткого состояния в пластическое, в уравнении поверхности текучести будет присутствовать независимая скалярная функция внутрипорового давления. Последняя связана с параметрами деформированного состояния посредством уравнения фильтрации и баланса массы фаз. В этом случае векторное уравнение равновесия отличается от соответствующего для сухого каркаса наличием в правой части источника в виде градиента внутрипорового давления. Полную систему уравнений в этом случае можно представить в виде переопределенной системы автономных неоднородных квазилинейных ДУЧП первого порядка, совместность которой трудно прогнозировать. Второй подход, который и будет использован в настоящей работе, - использование несвязанной постановки. Такой вариант представляется неплохим приближением в случае достаточно высокой проницаемости каркаса. В этом случае поровое давление исключается из уравнения равновесия каркаса. Механическая часть задачи при ряде предположений кинематического характера сводится к интегрированию автономной системы двух квазилинейных ДУЧП первого порядка относительно одной неизвестной функции. Её решение используется для построения источника и коэффициентов эллиптического уравнения фильтрации жидкости. Это существенно упрощает постановку задачи, по сути дела сводя ее к известным уравнениям анизотропной теплопроводности. 1. Постановка задачи, система уравнений процесса и модельные допущения Рассмотрим процесс отжима жидкости из пористой среды при прохождении ее через зону сопряжения двух плоских щелевых каналов одинакового сечения (рисунок). Сток организован на цилиндрической поверхности . Будем полагать, что на входе и на выходе из деформационной зоны не происходит разрыва скоростей. Следуя принципам жесткопластического анализа, считаем, что деформирование пористого каркаса исключительно необратимо и происходит в секторе кольца . Отсчет угловой координаты начинается с поверхности выхода из деформационной зоны и направлен против движения материала. На выходе из области деформирования пористый материал с остатками флюида удаляется, так что давление в жидкости на поверхности не отличается от атмосферного. Рис. 1. Схема процесса отжима поропласта Fig. 1. Diagram of the poro-plastic materials pressing Для пористого материала примем пластический потенциал вида , (1) где , - константы, ; - тензор макроскопических напряжений Коши в каркасе; а также ассоциированный с потенциалом (1) закон пластического течения , (2) где - скалярный пластический множитель; - тензор скорости деформации каркаса, ; - оператор Гамильтона; - вектор скорости материальных точек каркаса. Уравнения (1) и (2) позволяют установить связь между тензором напряжений и тензором скорости деформации: , . (3) Будем пренебрегать массовыми и инерционными силами. Равновесная конфигурация должна удовлетворять уравнению (4) Безразмерная плотность каркаса удовлетворяет уравнению неразрывности (5) Введем вектор скорости фильтрации таким образом, что полная скорость движения частиц жидкости равна . Принимая для обоих компонентов смеси (материал каркаса и флюид) условие несжимаемости, аналогично (5) запишем для флюида уравнение (6) Суммируя (5) и (6), имеем [33] (7) Будем рассматривать достаточно медленное потенциальное течение ньютоновской жидкости в каркасе, подчиняющееся линейному закону фильтрации Дарси . (8) Здесь - вектор потока, прямо пропорциональный проницаемости и обратно пропорциональный вязкости флюида ; - внутрипоровое давление. В рассматриваемом процессе коэффициент вязкости можно считать постоянным. Проницаемость среды можно считать постоянной лишь в самом грубом приближении. В общем случае есть функция относительной плотности каркаса, например, заданная соотношением Козени-Кармана. Упомянутое соотношение существенно нелинейно; небольшой рост относительной плотности каркаса может вызвать заметное падение проницаемости. Уравнение (4) с учетом (3) интегрируется относительно вектора скорости точек каркаса. Уравнение (5) тогда позволяет найти распределение плотности, а уравнения (7) и (8) служат для определения скорости фильтрации и внутрипорового давления. Введем цилиндрическую систему координат (см. рисунок) и далее будем полагать, что 1) процесс стационарный, , 2) движение точек пористого каркаса происходит по дугам окружности, единственная ненулевая компонента вектора скорости есть , - угловая скорость; , течение замедляется. Краевые условия: - на выходе из деформационной зоны канала отсутствует противодавление (9) - известна линейная скорость материала на входе в деформационную зону канала (10) - известна относительная плотность на входе в деформационную зону канала (11) - азимутальная составляющая вектора скорости фильтрации на входе в деформационную зону канала равна нулю или, с учетом (8); (12) - на выходе из деформационной зоны канала внутрипоровое давление равно нулю (13) - на цилиндрической поверхности задано условие непротекания или, с учетом (8), (14) - цилиндрическая поверхность проницаема для жидкости (15) 2. Решение механической части задачи С учетом сделанных предположений о кинематике материальных точек каркаса тензор скорости деформации имеет вид , (16) введена замена независимой переменной . Соотношение (3) с учетом (16) позволяет получить компоненты тензора напряжений в виде (17) Напряженное состояние каркаса определяется одной функцией . Из (17) следует, что при отсутствии противодавления на выходе из канала реализуется состояние чистого сдвига. С учетом (17) две нетривиальные компоненты уравнения равновесия (4) , образуют переопределенную систему относительно : (18) Система (18) совместна, из первого уравнения следует , т.е. напряженное состояние не зависит от радиальной координаты. Второе уравнение (18) имеет решение , где - константа интегрирования, определяющаяся краевым условием (9). Учитывая (17), откуда . (19) Линейное уравнение в частных производных первого порядка (19) интегрируется методом характеристик [33] и позволяет получить в замкнутом виде угловую скорость , (20) где - произвольная функция своего аргумента. Теперь приведем полученное общее решение (20) в соответствие с краевыми условиями процесса. Компонента вектора скорости точек каркаса на входе в канал не зависит от . Это возможно только в том случае, если , где - константа, определяющаяся краевым условием (10). Таким образом, кинематика среды описывается уравнением , , (21) а необходимое давление для поддержания стационарного течения имеет выражение . Из условия стационарности (5) и краевого условия (11) следует . (22) Распределение плотности устанавливается исходя из (22) с учетом решения (21). 3. Решение задачи фильтрации Соотношения (7) и (8) позволяют записать квазилинейное эллиптическое уравнение для скалярного поля внутрипорового давления: (23) Правая часть (23) согласно решению (21) есть известная функция пространственных переменных, . Коэффициент фильтрации считается известной функцией относительной плотности каркаса. Согласно (21), (22) величина может быть записана как функция пространственной переменной . 3.1. Случай постоянной проницаемости Если коэффициент не зависит от локальной относительной плотности каркаса (а следовательно, и от пространственных координат), то (23) представляет собой уравнение Пуассона . (24) Введем, как и прежде, замену независимой переменной , обозначим . Также введем замену зависимой переменной . Здесь функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению с краевыми условиями и : , . (25) Тем самым краевая задача для уравнения Пуассона (24) в секторе кольца с условиями (12)-(15) сводится к краевой задаче для уравнения Лапласа в прямоугольнике (26) с условиями , , , . (27) Точное решение задачи (24)-(25) известно [33]: , Согласно (8) поток флюида из деформационной зоны через поверхность определяется выражением Максимальное значение потока достигается при , т.е. в канале с особенностью соответствующая интегральная мощность потока через поверхность . При мощность стока, как и мощность работы внешних сил, линейно зависит от толщины щелевого канала . 3.2. Общий случай проницаемости Пусть коэффициент фильтрации представляет собой произвольную гладкую монотонную функцию относительной плотности (и в силу (21), (22) пространственной переменной ). В этом случае для уравнения (23) неизвестны даже частные точные решения. Далее сведем (23) к уравнению анизотропной теплопроводности с частным случаем анизотропии, для которого такие решения известны [33]. Введем новые независимые переменные , , (28) обозначим . Для преобразования (28) существует обратное , соответственно, и могут быть записаны как функции . Тогда (23) примет вид (29) Заменяя в (29) зависимую переменную , где удовлетворяет линейному уравнению с граничными условиями и , имеем смешанную краевую задачу , , , . Заключение В рамках жесткопластического анализа получено точное аналитическое решение задачи о стационарном течении полосы из некомпактного материала через сопряжение плоских каналов в зоне интенсивной пластической деформации. Определены компоненты тензора напряжений Коши, тензора скорости деформации и распределение относительной плотности материала. Получены аналитические результаты для несвязанной задачи фильтрации, когда дефекты сплошности материала заполнены флюидом, частичный сток которого осуществляется через проницаемую стенку канала. Среди полученных результатов - точное решение для случая постоянной проницаемости пористой среды.

About the authors

G M Sevastyanov

Institute of Machinery and Metallurgy, Russian Academy of Sciences

References

Statistics

Views

Abstract - 170

PDF (Russian) - 61