Full Text

Введение Быстрые движения глаз человека относятся к наиболее сложным для изучения движениям в силу своей высокой скорости и труднодоступного для наблюдения расположения глазодвигательного аппарата. Тем не менее за последние десятилетия накоплен значительный экспериментальный и теоретический материал о движении глаз. Его осмысление и описание математическими моделями сегодня востребовано при создании тренажеров, имерсивных компьютерных сред и применении технологий виртуальной реальности, разработке и тестировании интерфейсов виртуальной реальности. При создании пространственного интерактивного интерфейса требования к его визуальной части возрастают. Процесс тестирования и настройки параметров предлагается оптимизировать, применив симуляционные среды [10]. При подобном моделировании движения глаз человека можно имитировать, используя различные модели глазодвигательной системы и управления ею. При выборе математического описания одним из факторов является его чувствительность к возмущениям. В работе предложено моделирование быстрого движения глаза с использованием решения задачи быстродействия и проанализировано влияние возмущений в начальных условиях на траектории решения задачи. В литературе опубликованы математические модели одиночных саккадических движений глаз [9]. Описание одиночной саккады в результате решения задачи быстродействия приведено в работе [4]. Однако эти работы не описывают некоторых существенных особенностей движения глаза. В частности, математические модели не описывают пре- и постсаккадические движения, описанные в работах [5, 7]. Анализ подобных особенностей движения глаз применяется в исследованиях высшей нервной деятельности человека, функционирования мозга и т.д. В связи с этим дальнейшее исследование задач моделирования представляет интерес. Модель глаза и глазодвигательного аппарата и ее формализация Составим упрощенную модель, в которой глаз описывается твердым шаром. Учтем наличие сил вязкого сопротивления и силы упругости, действующей со стороны глазодвигательных мышц, глазного нерва и окружающих тканей. Считается, что вращение происходит вокруг геометрического центра шара. Оптический̆ центр вращения глаза находится на расстоянии около 13 мм от передней вершины роговицы [12], и его можно считать неподвижным. Рассмотрим движение глаза в горизонтальной плоскости. Необходимо отметить, что термин «горизонтальная плоскость» условен и означает движение, реализуемое парой внешней и внутренней прямых мышц. Будем описывать глаз и глазодвигательную систему следующим уравнением: (1) где - момент инерции глаза кг·м2; - угол пововорота глаза, и - коэффициенты вязкости и упругости соответственно, Н·c/м и Н/м; R - радиус глаза, R = 12 мм, и - управляющая составляющая момента горизонтальной пары глазодвигательных мышц. Сокращение и расслабление мышц данной пары, как и всех скелетных мышц, происходит за характерные времена, оцениваемые по данным работы [11], 10 мс. Максимальное усилие, развиваемое глазодвигательными мышцами, составляет 0,4 H [13]. В соответствии с этими данными ограничение на скорость изменения величины положим равным 0,04 H/с, так как значение момента H·м/с. Опишем изменение момента дифференциальным уравнением (2) где U - скорость изменения величины . Таким образом, к уравнениям (1) и (2) добавляется ограничение (3) Задача быстродействия Задача, решаемая при помощи движения глаз, - максимизация времени, когда на сетчатке формируется четкое изображение. Исследование параметров четкого видения было проведено еще в прошлом веке, например, в работе [8]. Характерные значения отклонения и скорости движения изображения объекта по сетчатке глаза не должны превышать 2° и 4°/с соответственно. Следовательно, время, когда эти условия нарушаются, должно быть минимально. Рассмотрим задачу перевода взора с одного объекта на другой, т.е. наискорейшего поворота глазного яблока из положения покоя ( ) на угол , с нулевой угловой скоростью в конечный момент времени . Известно, что на момент начала движения момент имеет порядок 10-20% от максимального. Не нарушая общности рассуждения, будем считать, что саккада начинается из положения, при котором Значение момента в конце движения также определяется однозначно из требуемого угла поворота. Объединяя уравнения (1)-(2) с начальными и конечными условиями, а также с ограничением (3), получим формальную систему для задачи оптимального быстродействия. Решение задачи быстродействия Изложим основные шаги решения этой задачи. Проведем замену переменных , , и введем обозначения , , . Приведем систему (1)-(2) к системе уравнений первого порядка: (4) Ограничения на управление и граничные условия примут вид (5) (6) Как и ранее, в выражениях (4)-(6) - амплитуда саккады; - момент силы, необходимый для фиксирования глаза в новом положении, ; T - продолжительность саккады. Решение задачи осуществляется с помощью принципа максимума Понтрягина [1]. Обозначим через вектор сопряженные переменные. Тогда функция Понтрягина записывается в форме (7) Максимальность функции Понтрягина достигается при управлении Вид определяется из сопряженной системы: (7*) Условия трансверсальности имеют тривиальный вид и здесь выписываться не будут. Так как условие влечет тривиальное решение системы (7*), то управление представляет собой кусочно-разрывную функцию вида (8) где или . Можно показать, что не является решением задачи, поэтому рассмотрим случай . Римскими цифрами обозначим номера интервалов, моменты времени переключения и окончания саккады - неизвестны. Определим их исходя из условий на правом и на левом концах. Обозначим постоянные в решении, здесь а через обозначим ненулевые собственные числа системы (4). В данном случае существует два действительных корня. Ряд подобных задач рассматривался в работах [2, 3], но случай с одним нулевым корнем остался нерассмотренным. Решение на интервалах I, II и III примет вид (9) Данную систему уравнений необходимо разрешить относительно неизвестных времен переключения , и Т. Постоянные решения определяются из условий непрерывности и гладкости решения и граничных условий. Произведем замену Такая замена позволяет перейти к системе полиномиальных уравнений. Переменная выражается следующим образом: Особенность системы (4), описывающей движение глаза, заключается в том, что для собственных чисел справедливо соотношение . Для полуаналитического решения примем, что равенство выполняется. В этом случае замена переменных и приводит к системе двух полиномиальных уравнений вида (10) где функции и имеют вид Здесь коэффиценты зависят исключительно от постоянных системы, начальных и конечных условий. Выражения этих коэффициентов громоздки, поскольку получаются при помощи пакетов символьных вычислений. Разность уравнений оказывается в силу линейным уравнением относительно Тогда выражается следующим образом: Подставив это выражение в одно из выражений (10), перейдем к уравнению девятого порядка относительно (11) Аналогично коэффицентам коэффициенты уравнения (11) зависят от исходных коэффицентов системы. Для решения задачи оптимального управления необходимо найти наименьший положительный корень уравнения (11), превышающий единицу. Решение уравнения получено численно с помощью пакета Wolfram Mathematica. Решение уравнения получено численно путем выбора действительного положительного корня больше единицы из девяти корней соответственного полинома. Таким образом, возможно получить решение задачи быстродействия. Моделирование одиночного саккадического движения глаза Параметры модели движения глаза выберем, используя физиологические данные [8], Н·c/м и Н/м. Проведем расчет траекторий по формуле (9). На рис. 1 показаны траектория глаза и график скорости при точном соответствии предполагаемых и реальных начальных условий. При рассматривании объекта глаз совершает микросаккады, т.е. разворачивается на малые углы. Фактические начальные условия отличаются от нейтральных. Рассмотрим ситуацию, когда присутствует отклонение от нуля в начальных условиях при сохранении вида управления. Проанализируем отклонения в начальных условиях по каждой из компонент вектора состояния. На рис. 2 приведены графики для случаев, когда (а, б) и (в, г). При наличии подобных возмущений форма траектории меняется и можно говорить, что имеется траектория, схожая с наблюдаемой на экспериментальных записях. В работе [6] приведён способ аппроксимации экспериментальных записей гладкой функцией, и предложено несколько коэффициентов, описывающих форму саккады. Для сравнения теоретических результатов моделирования рассчитаем предложенные в работе [5] величины амплитуд пре- и постдвижений для модельных данных. При возмущении в моменте или в начальной скорости получим, что пресаккада составляет 10% длительности и 10% продолжительности. Аналогичные параметры наблюдаются для саккад амплитудой 20-30 градусов [5, 6]. Таким образом модель оптимального управления, основанного на модели третьего порядка, позволяет описать появления пре- и постсаккад в результате управления, состоящего в решении задачи быстродействия при наличии возмущений в начальных условиях. Данное решение может использоваться для симуляции и моделирования перевода взора человеком с одной точки на другую. Такая задача возникает при проектировании и тестировании объемных интерактивных интерфейсов. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,02 0,04 0,06 0,08

About the authors

A. P Kruchinina

References

Statistics

Views

Abstract - 86

PDF (Russian) - 36

Refbacks

• There are currently no refbacks.