Полный текст

Введение Расщелина верхней губы и нёба является самым распространенным врожденным пороком развития челюстно-лицевой области. По данным статистики различных стран мира, число детей, рожденных с врожденной патологией зубочелюстной системы, в среднем составляет от 1 на 500 до 1 на 1000 новорожденных. Имеется тенденция к увеличению частоты рождаемости детей с данной патологией [3, 15]. Наличие расщелины верхней губы и нёба у новорожденного приводит к множественным функциональным нарушениям, связанным в том числе с жизненно важными функциями дыхания, сосания и глотания. При аномалиях лицевого скелета нарушается нормальная функция твердого нёба - оптимальное распределение напряжений, возникающих в области верхней челюсти в процессе деятельности жевательного аппарата при создании пищевого комка. Процесс жевания оказывается неспособным дать нормальное распределение сил в костной системе, что, в свою очередь, ведет к перегрузке и недогрузке всех элементов системы [1, 2, 4, 5, 21]. Методики лечения разнообразны, однако большинство российских авторов высказывают мнение о пошаговой предоперационной ортопедической реконструкции врожденных дефектов верхней челюсти у детей [8, 9, 13, 14, 16, 19, 21, 22]. Ведущим этапом лечения в данном случае является механическое воздействие ортопедических аппаратов на разобщенные нёбные фрагменты с целью уменьшения костного дефекта твердого нёба. Схематически процедура ортопедического лечения приведена на рисунке. Очевидно, что ортопедические аппараты позволяют опустить нёбные отростки из практически вертикального состояния до положения, при котором последующее зашивание нёба вызывает незначительные деформации зубочелюстной системы. К сожалению, ортопедическое лечение основано на эмпирическом опыте и субъективных представлениях врачей о ростовых процессах в костной ткани - не существует научно обоснованных стандартов лечения, которые определяли бы для каждого пациента индивидуально эффективный способ достижения наилучших результатов. Таким образом, решение задач биомеханики ростовых деформаций является важным, например, при ортопедической реконструкции расщелины твердого нёба. а б Рис. Положение фрагментов нёба до (a) и после (б) ортопедического лечения Задача управления ростовыми деформациями Определяющее соотношение биомеханической модели роста Хсю, используемое в данной статье, подробно описано в работе [6]: () где - тензор второго ранга, определяющий генетический рост ткани; - тензор четвертого ранга, характеризующий влияние напряжений на деформации скорости роста . Для изотропного материала тензоры и можно упростить: , , () где - единичный тензор второго ранга, - тензор упругой податливости (здесь считается, что упругие свойства ткани не зависят от времени), и - скалярные параметры, не зависящие от времени, определяющие рост ткани. С учетом () формула () принимает вид () где - тензор упругой деформации. Отметим, что формула (3) является феноменологической и отражает только макроскопическое накопление ростовых деформаций. Такие процессы, как, например, изменение массы, процессы в клетках это соотношение не учитывает, но в рамках данной задачи это не нужно. Полная дифференциальная постановка задачи растущего упругого тела, занимающего область с границей , , такова: - определяющее соотношение для ростовой деформации (3); - скорость деформации является суммой упругой и ростовой составляющих () - закон Гука () - уравнение равновесия при отсутствии внешних сил () - геометрическое соотношение Коши () - граничные условия , ; () - начальные условия . () . (10) Уравнения (3) - (10) позволяют рассчитать накопление ростовой деформации с течением времени во фрагменте, если известны усилия на границе Отметим, что указанные тензорные и векторные поля являются функциями пространственных координат и времени. Считается, что опоры на границе исключают движение тела как твердого целого. Применение теории независимого управления деформациями к решению задачи С точки зрения механики, ростовая деформация относится к собственной деформации, общие свойства которой изучены в работах [7, 10-12, 17, 19]. Под собственной деформацией в данной работе будем понимать ростовую деформацию в уравнении (). Для задачи теории упругости с собственной деформацией доказана теорема о декомпозиции собственной деформации на составляющую, свободную от напряжений (импотентную часть) , и составляющую, свободную от деформации (нильпотентную часть) [19]: (11) Анализ собственных деформаций проводится в терминах энергетического линейного гильбертова пространства с использованием следующих правил вычисления скалярного произведения и нормы: , . (12) Показано, что свободные от напряжений собственные деформации образуют подпространство а нильпотентные собственные деформации - подпространство При этом подпространства и взаимно ортогональны: В работе [18] доказана теорема, что для любой собственной деформации можно подобрать внешние силы (поверхностные и объёмные), создающие в таком же упругом теле деформацию (теорема об импотентной собственной деформации). Для того чтобы собственная деформация не вызывала напряжений в любой точке тела (), необходимо и достаточно, чтобы: 1) собственная деформация была совместной, т.е. такое, что , (13) 2) перемещения равны нулю на опорах . (14) Эти условия доказаны в работе [17], будем называть их условиями импотентной собственной деформации. Таким образом, принадлежность собственной деформации подпространству можно проверить либо по теореме об импотентной собственной деформации, либо по условиям импотентной собственной деформации (13), (14). В задаче (3) - (10) зависимость от времени заложена в граничных условиях, а также в формуле (3). Изменение поля напряжений во времени будет изменять упругую деформацию и скорость ростовой деформации . Поле напряжений меняется за счет изменения внешних нагрузок и за счет неимпотентности ростовой деформации . Использование свойств импотентных собственных деформаций позволит в некоторых случаях перейти от постановки задачи в скоростях к постановке задачи в перемещениях, где время будет входить только как параметр. Рассмотрим условия, при которых можно так сделать. Первым условием является постоянство функции (поверхностные силы) от времени: . (15) Тогда зависимость от времени будет вызвана только неимпотетностью ростовых деформаций, так как будут меняться напряжения в системе вследствие роста. Вторым условием является то, что граничные условия на допускают всестороннее расширение. Рассмотрим момент времени тогда ростовая деформация, вычисляемая из формулы (), будет следующей: (16) Тогда слагаемое удовлетворяет условию (13), а реализация условия (14) в данном случае приводит к необходимости всестороннего расширения на . Слагаемое удовлетворяет теореме об импотентной собственной деформации, так как при упругая деформация создана только усилиями на границе . Таким образом ростовая деформация (16) принадлежит подпространству и не изменит напряжения в системе. Для следующего момента времени рассуждения будут аналогичными. Если указанные два условия выполнены, то интегрирование формулы () с учетом свойств выражения (16) дает формулу для ростовой деформации (17) а остальные уравнения задачи можно записать в перемещениях, а не в скоростях. Выводы В работе рассмотрена задача о лечении врожденной расщелины твердого нёба как задача независимого управления деформациями системы с помощью собственной деформации, под которой в данной работе понимают ростовую деформацию. В результате при постоянных поверхностных силах и граничных условиях, допускающих всестороннее расширение материала, ростовая деформация не будет менять поле напряжений и будет происходить с постоянной скоростью. В таких случаях можно ставить и решать задачу о моделировании ростовых деформаций в перемещениях. Отметим, когда рост идет длительное время, конфигурация системы может измениться значительно. Эти изменения необходимо анализировать дополнительно.

Об авторах

В. А Лохов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Список литературы

Статистика

Просмотры

Аннотация - 66

PDF (Russian) - 22

Ссылки

• Ссылки не определены.