Full Text

Введение Классически уравнение теплопроводности Фурье [1] широко используется для описания процессов теплопереноса в различных сферах [2-4]. Традиционным методом решения уравнения является метод разделения переменных, с представлением искомой функции в виде произведения двух функций: функции координат и функции времени. Задачу сводят к решению двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. С учетом граничных условий получают задачу Штурма - Лиувилля [5]. В основе решения многих задач моделирования и прогнозирования процесса теплопереноса лежит решение дифференциального уравнения Фурье, найденное с помощью именно такого метода [6, 7]. Для решения неоднородной краевой задачи используют функцию Грина, представляющую собой линейный дифференциальный оператор, действующий на обобщенную функцию в евклидовом пространстве [8]. С помощью операторного исчисления также находят решение краевых задач [9]. Закон Фурье хорошо описывает многие практические задачи теплопроводности на макроскопическом уровне, однако зачастую использование закона Фурье на микро- и наномасштабе [10, 11], в случае быстропротекающих процессов [12], для материалов композиционных [13], со сложной структурой [14, 15] затруднительно. Существуют различные современные методы описания теплопроводности вне закона Фурье: модели с задержкой, фононные модели, термомассовые модели [16, 17]. В самом простом случае при предварительном анализе достаточно ограничиться нулевым приближением, а именно решением уравнения теплопроводности Фурье для нахождения реальных физических параметров объектов. Цель работы - описать экспресс-метод определения коэффициента теплопроводности неизвестного материала и коэффициента теплоотдачи в классическом уравнении Фурье. Обычно для определения указанной величины используют дорогостоящее и громоздкое оборудование. В работе приведено решение уравнения теплопроводности асимптотическим методом на базе преобразования Лапласа и разложения полученной функции в ряд Лорана, что позволяет рассмотреть почлено процесс остывания тела. Рис. 1. Плоское тело, помещенное в жидкую среду Рассмотрим классическую задачу остывания (нагрева) тела в некоторой термоизолированной среде, например жидкости в калориметрической камере (сосуде Дюара), с общей теплоемкостью Cp, в которой помещено исследуемое однородное твердое тело толщиной 2d и площадью боковой поверхности 2A, причем d2<<A (рис. 1), с объемной плотностью изобарной теплоемкости c = cpρ, нагретое в печи до температуры T0. Предварительная температура среды ϴ0. После опускания тела в данную среду температура среды ϴ(t) будет меняться, пока окончательно не установится до значения (1) где CT = 2cAd. 1. Решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье Рассмотрим одномерную плоскую задачу. Пусть тепловой поток распространяется в одном направлении оси ОХ твердотельной пластины шириной 2d, находящейся в однородной среде. Соответственно, для описания теплового потока достаточно решить следующую одномерную симметричную задачу теплопроводности: (2) с начальными условиями и граничными условиями в силу симметрии где a - коэффициент температуропроводности; Т0 - начальное значение температуры. Задачу решим с использованием преобразования Лапласа [1] следующего вида: где s - параметр Лапласа. С учетом преобразования из уравнения (2) получаем (3) Примем . Таким образом, выражение (3) принимает вид . (4) Решением полученного уравнения является следующая функция: В силу граничных условий на границе, тогда Из стационарного уравнения Фурье имеем С учетом непрерывности теплового потока где - коэффициент теплоотдачи от твердотельной пластины окружающей среде; - температура однородной окружающей среды. Количество теплоты Q, полученное окружающей средой от нагретого тела, (5) где - поток на поверхности; А - площадь поверхности пластины; Сp - теплоемкость окружающей среды; θ - температура. Из системы (5) получаем Применив преобразование Лапласа, получаем Запишем систему уравнений на внутренней границе d-0 тела: (6) Определим из системы (6) Удостоверимся с помощью теории о предельных значениях, что при t→∞ предельное значение температуры будет соответствовать известному соотношению (1). Решая совместно систему уравнений (6) и уравнения теплового баланса (5), окончательно определим лапласово изображение температуры окружающей среды в предположении ее изотермичности в виде (7) причем . Представим выражение (7) в виде (8) где - разница начальных значений температуры, . При этом имеет вид Запишем оригинал в виде ряда Лорана [4]: Перейдя обратно к оригиналам, имеем следующее асимптотическое представление для температуры (8) окружающей среды в виде где , (9) где Сp - теплоемкость окружающей среды; d - толщина образца. Из уравнений (9) найдем значение коэффициента теплоотдачи от твердого тела окружающей среде: (10) и теплопроводности: (11) 2. Практическое определение термодинамических параметров твердого тела асимптотическим методом Применим результаты решения задачи, выражения (10) и (11), на практике для определения коэффициента теплоотдачи от твердого тела окружающей среде и коэффициента теплопроводности твердого тела. Для этого воспользуемся установкой, состоящей из калориметрической камеры 1 с герметичной крышкой 2 и термопарами 5, схема установки представлена на рис. 2. Исследуем теплофизические свойства твердотельной медной пластины (медь марки М00), образца 3, с площадью поверхности A = 0,3 м2. Предварительно нагреем пластину до температуры Т* = 373 К в тепловой камере в течение 30 мин. В качестве примера рассмотрим калориметрическую камеру 1, заполненную водой температурой = 294 К. Вода будет играть роль внешней среды, в которой осуществляется процесс распространения теплоты. В воду поместим предварительно нагретое твердое тело. Закроем калориметрическую камеру герметичной крышкой с тремя термопарами и крыльчаткой, которая медленно перемешивает жидкость, что способствует равномерному распределению температуры в объеме. Термопары измеряют температуру воды в зависимости от времени в трех точках. Полученная информация передается на цифровое устройство 6, на экране которого выводится график зависимости температуры от времени. Измерения проводят до достижения постоянного значения температуры воды Т** = 305 К. Рис. 2. Установка для определения термодинамических параметров асимптотическим методом: 1 - калориметрическая камера; 2 - герметичная крышка; 3 - исследуемый образец; предварительно нагретый до температуры Т*; 4 - крыльчатка; 5 - термопары; 6 - цифровое устройство Полученный график зависимости температуры от времени (рис. 3) имеет два участка: • линейный T1 = 7 К, t1 = 150 с (φ1 = 0,006 1/c); • нелинейный T2 = 7 К, t2 = 1200 с (φ2 = 0,0008 1/c). Аппроксимация линейного отрезка кривой осуществляется с помощью функции y = kx + b. По двум первым ближайшим точкам определяются коэффициенты k и b, построение прямой ведется до тех пор, пока кривая соответствует линейной с точностью до целых. На рис. 3 синей линией отмечен линейный участок зависимости. Рис. 3. График зависимости температуры от времени для медной пластины (медь марки М00) Коэффициент теплоотдачи от медной пластины воде рассчитываем в соответствии с выражением (10). Известно, что количество теплоты, отданное телом воде при охлаждении, равно количеству теплоты, полученному водой. Получаем Cm(T* - T**) = Cw mw (- T**), (12) где - теплоемкость воды, Дж/(кг ∙ К). Из выражения (12) находим значение теплоемкости твердого тела по формуле Коэффициент теплопроводности находим в соответствии с выражением (11). Полученные значения теплопроводности и теплоемкости близки табличным значениям (таблица). При этом расчетное и табличные значения коэффициента теплоотдачи меди воде имеют существенную разницу, что требует дополнительных исследований. Сравнение экспериментально полученных значений для меди с известными табличными величинами Параметр Табличные значения для меди марки М00 [18] Значения параметров, полученные асимптотическим методом Коэффициент теплопроводности, Вт/(м∙К) 394 392 Коэффициент теплоотдачи меди воде, Вт/ (м2∙К) 12 40 Удельная теплоемкость, Дж/(кг∙К) 386 370 Заключение В работе решено уравнение теплопроводности Фурье с граничными условиями третьего рода для двухмерной твердотельной сплошной пластины асимптотически с помощью преобразования Лапласа. Образ функции разложен в ряд Лорана. В результате преобразований получены выражения для термодинамических параметров: теплопроводности и теплоотдачи от твердого тела окружающей среде. Таким образом, полученное решение дифференциального уравнения Фурье может быть использовано в качестве тестового метода для проверки более сложных нестационарных моделей. Практическим результатом работы является предложенный экспериментальный метод, позволяющий одновременное измерение теплоемкости, теплопроводности и теплоотдачи твердого тела в разных температурных условиях. Нагретое твердое тело опускают в калориметрическую камеру, заполненную водой меньшей температуры. Контролируют изменение температуры в калориметрической камере во времени, информация записывается на цифровое устройство. Далее экспериментально определяют линейный и нелинейные участки изменения температуры. По теоретическим выражениям, являющимся результатом асимптотического разложения, находят значения термодинамических параметров. Полученные значения термодинамических параметров, в частности коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости для медной пластины, близки заявленным.

About the authors

A. S Stepashkina

State University of Aerospace Instrumentation

References

Statistics

Views

Abstract - 81

PDF (Russian) - 49

Refbacks

• There are currently no refbacks.