Abstract

Abstract

We consider the optimal control problem for a distributed control system with a compromise. We show solvability and obtained an optimization system for optimal control problems with boundary control, described by the equations of continuity and motion melts.

Full Text

Теория оптимального управления распределенными системами активно изучается и не теряет своей актуальности на протяжении нескольких последних десятилетий ввиду того, что реальные объекты из различных областей физики, механики, экономики и т.д. по своей сути являются распределенными. В настоящее время все чаще рассматриваются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения, в том числе дифференциальные уравнения с частными производными [1, 2]. Современное производство оптических волокон представляет собой сложный высокоточный технологический процесс, при котором реализуются различные физико-химические явления. Одним из главных показателей качества волокна является постоянство характеристик готового волокна по длине. Однако осуществлять в процессе изготовления непрерывный контроль большинства показателей невозможно. В этой ситуации на заключительной стадии производства - вытяжке - непрерывно измеряют только диаметр волокна. Как показывает практика, наблюдается хорошая корреляция между постоянством диаметра готового волокна и постоянством других его характеристик по длине, поэтому существующие системы контроля и управления процессом вытяжки волокна построены на этой основе [3]. С учетом изложенного выше главная цель данной работы заключается в разработке теоретических основ оптимального управления вытяжкой волокна как управления распределенной системой. В идеальном случае в изотермических условиях постоянство диаметра готового волокна может быть получено при стационарном режиме, т.е. при постоянстве скоростей подачи заготовки и вытяжки волокна. Движение системы при конкретных значениях скоростей будем называть программным движением, а соответствующее ему управление - программным управлением. Однако реальное (фактическое) движение системы всегда будет отличаться от программного по ряду причин: а) неточной реализации программного управления; б) неточной реализации начальных и граничных условий; в) неточной информации о физико-механических свойствах материала; г) неполной информации о внешних воздействиях, действующих на систему, и т.д., поэтому реальные значения радиуса струи скорости материала и управления описываются функциями где x - продольная координата; t - время; - программное (стационарное) движение; - программное управление, соответствующее стационарному режиму; - отклонения (возмущения) фактического движения от программного; - отклонение реального управления от программного. Принимая во внимание замечания, изложенные выше, цель оптимального управления формулирует как требование Такое управление называется оптимальным стабилизирующим управлением. Для того чтобы реализовать поставленную задачу, необходимо получить уравнения возмущенного движения, описывающие отклонения реального движения от программного. Для рассматриваемого процесса система, описывающая возмущение стационарного режима вытяжки (изотермический случай), имеет вид [3] где здесь ׳ - символ производной по пространственной координате; - вязкость расплава; - число Рейнольдса, (r - плотность расплава, - скорость вытяжки, - длина нагревательного элемента); - число Вебера, - коэффициент поверхностного натяжения); - число Фруда, ( - ускорение свободного падения). Коэффициенты вычисляются через функции и которые являются решениями системы уравнений для установившегося состояния [3]. Сформулируем задачу граничного управления и распределенного наблюдения параболической системы, дополненной начальными условиями и граничными условиями I рода: (1) где функции Функция оптимального управления должна быть найдена как функция, доставляющая минимум функционалу интегрального вида при условии малости параметра (2) Функционал (2) является выпуклым, полунепрерывным снизу и коэрцитивным [4], следовательно, согласно теореме существования оптимального элемента [5, 6] найдется такая функция которая будет доставлять минимум функционалу: . Согласно критерию оптимальности [4, 6] значение дифференциала Гато на оптимальном элементе обратится в ноль: (3) где <·> - оператор слабого дифференцирования, - вариация оптимального управления. Заметим, что дифференциальная задача в постановке (1) является линейной относительно функции управления а значит, одно из ее решений, функцию можно рассмотреть как результат действия некоторого линейного оператора на функцию Для оператора справедливы условия линейности (дистрибутивность и ассоциативность). Тогда равенство (3) перепишется в виде (4) Поварьируя исходную задачу (1) [7, 8], получим (5) Умножим уравнение неразрывности из системы (5) на произвольную функцию а уравнение движения - на произвольную функцию и проинтегрируем оба уравнения по области Результатом их сложения будет являться следующее выражение: Воспользуемся формулой Грина для слагаемых, содержащих производные функций и и получим Потребуем, чтобы функции и удовлетворяли следующей дифференциальной задаче: Тогда с учетом начального и граничных условий (5) последнее интегральное соотношение примет вид Учитывая соотношение (4), получим откуда следует, что и система оптимальности примет следующий вид: (6) Таким образом, в работе сформулирована и обоснована задача оптимального стабилизирующего управления процессом вытяжки. Для линеаризованной системы, описывающей возмущенное движение, показана разрешимость задачи, а также получены система оптимальности и явная зависимость для определения функции оптимального стабилизирующего управления.