Abstract

Abstract

The paper discusses a method which permits obtain effective conditions of the solvability for one class of singular at the independent variable differential and functional differential equations. The proposed method is based on the application of the Shur test to the integral operators which are generalizations of Cesaro operator. Also the generalizations of Cesaro operator norms estimates are obtained.

Full Text

Введение При исследовании процессов, протекающих в ядре атома гелия [1], и других, перечисленных, например, в работе [2], возникают дифференциальные уравнения, сингулярные по независимой переменной. При исследовании условий разрешимости дифференциальных уравнений актуальным является вопрос об оценке нормы некоторых вспомогательных интегральных операторов [3]. Для уравнений, сингулярных по независимой переменной в точке , в качестве интегральных операторов часто рассматривается оператор Чезаро и его обобщения. Основные свойства оператора Чезаро рассмотрены в работе [3, с. 177]. Спектральные свойства оператора Чезаро, перечисленные в обзорной статье [4], приведены в работе [5]. Среди работ, в которых оператор Чезаро применялся при исследовании условий разрешимости дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, отметим статьи [5-11]. При оценке или вычислении нормы сингулярных интегральных операторов, таких как оператор Чезаро, непосредственное применение классических методов оказывается затруднительным. Поэтому разработана специальная методика - так называемый «-метод» оценки нормы оператора Чезаро [4]. Предлагаемая работа посвящена другому методу получения оценок нормы интегрального оператора - методу Шура. Он существенно проще метода, применяемого в работе [4] для получения оценок нормы оператора Чезаро. С помощью предлагаемого метода будут построены оценки нормы некоторых обобщений оператора Чезаро. При этом полученные оценки являются точными и совпадают со значениями спектральных радиусов соответствующих операторов. 1. Тест Шура Пусть - пространство суммируемых со степенью р, вещественных скалярных функций, определенных на положительной полупрямой , - сопряженный к р индекс. Предлагаемый метод основан на утверждении, известном для случая как тест Шура [12, с. 33], применимый в следующей формулировке: Пусть существуют измеримые функции строго положительные на измеримых множествах Т и S соответственно. Далее пусть существуют положительные числа такие что почти для всех t I Т , s I S выполняются неравенства (1) (2) соответственно. Тогда оператор , определяемый равенством , ограничен и Здесь функция измерима на множестве неотрицательна при почти всех и при почти всех Для удобства чтения приведем доказательство, повторяющее схему доказательства теоремы 5.2 из книги [12, с. 33]. Доказательство. Оценим сверху норму оператора на произвольном элементе Применим неравенство Гельдера: Воспользуемся тем, что : Воспользуемся теоремой Тонелли [12, с. 65], позволяющей изменить порядок интегрирования: Поэтому 2. Оценки норм некоторых сингулярных интегральных операторов Тест Шура порождает полуэффективный метод оценки нормы интегрального оператора, так как не содержит алгоритм нахождения функций и . Искусство применения теста Шура состоит в удачном выборе таких функций. В приведенных ниже примерах удалось получить точную оценку, которая совпадает с нормой оператора. Определим на пространстве оператор равенством . Оператор называется оператором Чезаро (оператором Харди), применяется при изучении условий разрешимости задачи Коши для дифференциальных или функционально-дифференциальных уравнений, левая часть которых содержит оператор или оператор определенные равенствами и соответственно. Рассмотрим также на пространстве следующие обобщения оператора Чезаро: 1. Оператор , определяемый равенством Оператор применяется при изучении условий разрешимости задачи Коши для уравнений, содержащих оператор определяемый равенством 2. Оператор определяемый равенством Оператор применяется при изучении условий разрешимости задачи Коши для уравнений, содержащих оператор определяемый равенством , и при изучении условий разрешимости в весовых пространствах уравнений, содержащих оператор 3. Оператор , определяемый равенством , , являющийся обобщением оператора 4. Оператор определяемый равенством Оператор применяется при изучении условий разрешимости задачи Коши для уравнений, содержащих оператор , определяемый равенством Определим константы , соответственно равенствами , . Теорема. Операторы являются ограниченными в пространстве причем Доказательство для случая приведено, например, в статье [4] и называется неравенством Харди. В случае доказательство состоит в применении теста Шура с выбором функций В случае доказательство следует из представления и применения теста Шура к оператору Отметим, что оценки нормы операторов при являются точными значениями норм и совпадают со значениями спектральных радиусов соответствующих операторов. Оценка нормы оператора при совпадает с оценкой нормы, приведенной в работе [11].