Аннотация

Аннотация

Изучается одна задача оптимального управления гибридными системами типа Россера. Установлен аналог принципа максимума Понтрягина. Рассмотрен случай вырождения (особый случай) аналога условия максимума Понтрягина.

Полный текст

Введение Как отмечено в [1-3] и др., многие процессы описываются совокупностью систем разностных и дифференциальных уравнений типа Россера [4, 5]. Такие системы уравнений называются гибридными системами типа Россера [1-7]. Настоящая статья посвящена постановке и исследованию одной задачи оптимального управления, описываемой гибридной системой типа Россера в предположении, что управляющая функция входит в граничное условие. При этом граничная функция определяется как решения нелинейного разностного уравнения. Сначала с использованием модификации метода приращений (см., например, [8-14]) доказано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [14, 15]. Далее при помощи схемы, являющейся обобщением методики из [10, 11, 13], для рассматриваемой задачи изучен случай вырождения условия максимума Понтрягина. Установлены необходимые условия оптимальности особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала (1) при ограничениях (2) (3) , (4) Здесь и - заданные - и -мерные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно, - заданная m-мерная непрерывная вектор-функция, - n-мерная дискретная вектор-функция, являющаяся решением разностного уравнения (5) с начальными условиями (6) где - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно, - заданные постоянные векторы, - заданное натуральное число, разность - натуральное число, и - заданные скалярные функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по второму аргументу до второго порядка включительно, - заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция, - заданное непустое, ограниченное множество, - r-мерный дискретный вектор управляющих воздействий (допустимое управление). Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. 2. Специальное приращение второго порядка критерия качества Будем предполагать, что для любого фиксированного допустимого процесса множество (7) является выпуклым при всех . Пусть - некоторое допустимое управление. Зафиксируем произвольное и через обозначим произвольное допустимое управление такое, что соответствующее ему решение задачи (5)-(6) удовлетворяет соотношению (8) В силу выпуклости множества (7) допустимое управление с вышеприведенными свойствами существует. Далее через обозначим решение следующей возмущенной системы уравнений: (9) с краевыми условиями (10) Положим по определению (11) Учитывая введенные обозначения (11) и используя гладкость вектор-функций можно показать, что являются решениями следующих задач: (12) (13) (14) , (15) (16) (17) (18) (19) (20) . (21) Здесь и в дальнейшем по определению полагаем а символом будем обозначать операцию транспонирования матриц (для векторов эта операция соответствует замене вектор-строки на вектор-столбец). Учитывая (13)-(21), запишем специальное приращение критерия качества (1), соответствующее допустимым управлениям и при помощи формулы Тейлора: (22) Введем аналоги функции Гамильтона - Понтрягина в виде . Здесь - вектор-функция сопряженных переменных, являющаяся решением системы уравнений: , (23) , (24) (25) (26) По схеме, аналогичной приведенной в работах [10, 11, 13], с учетом (22) доказывается: Теорема 1. Специальное приращение критерия качества (1) допускает представление в виде (27) Из разложения (27) в силу произвольности следует: Теорема 2. Если множество (7) выпуклое, то для оптимальности допустимого управления необходимо, чтобы неравенство (28) выполнялось для всех Неравенство (28) является необходимым условием оптимальности первого порядка в форме дискретного условия максимума [8-15]. Но нередки случаи вырождения условия максимума Понтрягина [9-13]. Определение 1. Допустимое управление назовем особым, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлением, если для всех (29) Из определения 1 ясно, что для особых управлений условие максимума Понтрягина (28) теряет свое содержательное значение. Поэтому надо иметь новые необходимые условия оптимальности для особых управлений. Предположим, что особое, в смысле принципа максимума Понтрягина, оптимальное управление. Тогда из разложения (27) следует, что для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления необходимо, чтобы неравенство (30) выполнялось для всех Неравенство (30) является неявным необходимым условием оптимальности особых, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлений. Опираясь на него, получим необходимое условие оптимальности, непосредственно выраженное через параметры задачи (1)-(5). Пусть - матричные функции соответствующих размерностей, являющихся решениями задачи [16]: , , - единичные матрицы соответствующих размерностей). Тогда, как показано в [16], решение задачи (13)-(14) может быть представлено в виде (31) Через обозначим решение задачи (32) На основе формулы о представлении решений линейных неоднородных разностных уравнений (см., например, [10, 17]) решение задачи (15)-(16) может быть представлено в виде (33) Используя (33), преобразуем представление (31). Имеем: (34) Далее (35) С помощью обозначений формулы (34), (35) записываются в виде: (36) (37) С учетом представлений (33), (36), (37) по схеме, предложенной в [10, 13], доказываются соотношения: (38) (39) (40) (41) Следуя работам [10, 13], введем матричную функцию: (42) Принимая во внимание тождества (38)-(41) и учитывая формулу (42), запишем неравенство (30) в виде (43) Сформулируем полученный результат. Теорема 3. Если множество (7) выпуклое, то для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенство (43) выполнялось для всех . Теорема 3 является довольно общей. Из нее, используя произ-вольность допустимого управления можно получить ряд легко проверяемых необходимых условий оптимальности особых управлений. Приведем одно из них: Теорема 4. Если множество (7) выпуклое, то для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления необходимо, чтобы неравенство (44) выполнялось для всех Теорема 4 является аналогом условия Габасова - Кирилловой из [9] для рассматриваемой задачи. Условие (44) слабее, чем (43). Заключение Исследована задача оптимального управления гибридными системами типа Россера. С применением схем, предложенных в работах [10, 13], удалось получить аналог дискретного принципа максимума Л.С. Понтрягина и изучить случай вырождения условия максимума.