Аннотация

Аннотация

Получено представление обратного и правого обратного операторов для оператора вида I + kC a, действующего в пространстве L 2, где I - тождественный оператор, C a - обобщенный оператор Чезаро, k - действительный параметр. Этот оператор возникает при исследовании различных сингулярных дифференциальных уравнений прикладного характера. Результаты работы найдут применение при исследовании краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений, в том числе при изучении асимптотики решений.

Полный текст

Оператор определенный равенством известен в литературе как оператор Чезаро [1]. В отечественных работах его называют оператором Харди-Литтльвуда (см., например, [2, с. 187]). Вместе с оператором рассмотрим оператор называемый обобщенным оператором Чезаро. При исследовании сингулярных дифференциальных уравнений значительную роль играет оператор определяемый равенством Рассмотрим некоторые примеры. Радиальное уравнение Шредингера [3] - это линейное сингулярное уравнение второго порядка вида (1) где - физические параметры уравнения. Л. Эйлер рассматривал однородное уравнение вида (1) [4] с где - параметры, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны. В работе [5] найдено описание спектра оператора В предлагаемой работе для действительных значений параметра найдены явные представления обратного и правого обратного операторов Удобство полученных представлений состоит в том, что они выражаются в конечном виде через обобщенный оператор Чезаро. Эти представления могут найти применение, в частности, при исследовании краевых задач для уравнения (1) с различными функциями [6]. Пусть - пространство суммируемых с квадратом функций Пространство будем рассматривать как гильбертово со скалярным произведением . Это скалярное произведение согласовано с выбранной нормой пространства Всюду в работе операторы и будем рассматривать как действующие в пространстве т.е. Далее будем предполагать выполненным условие в этом случае оператор является ограниченным [5]. В следующем утверждении нам потребуется понятие правого обратного оператора. Пусть - банаховы пространства и - линейный ограниченный сюръективный оператор с дополняемым ядром [7]. Пусть - линейный ограниченный проектор на ядро оператора т.е. такой оператор, что и Пусть - линейный ограниченный правый обратный оператор, т.е. Правый обратный называется согласованным с проектором (или ассоциированным с Р), если где - дополнительный проектор. При этом пишут имея в виду проектор Р, с которым согласован правый обратный оператор. Теорема 1. Справедливы утверждения: 1. Если то оператор обратим. При этом обратный оператор имеет представление 2. Если то оператор сюръективен и имеет одномерное ядро. При этом существует ограниченный правый обратный определяемый равенством где Этот правый обратный согласован с проектором, определяемым равенством Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть Обратимость оператора, а именно следует из утверждения о спектре обобщенного оператора Чезаро [5]. Найдем представление обратного оператора. Для этого рассмотрим следующее уравнение относительно функции С помощью непосредственной проверки можно убедиться, что решение этого уравнения можно представить в виде Следовательно, в качестве алгебраически обратного оператора можно рассматривать оператор, соответствующий правой части полученного представления, т.е. Остается проверить, что оператор является ограниченным. Действительно, при и получим Это означает, что оператор ограничен. Утверждение 1 теоремы 1 доказано. Докажем утверждение 2 теоремы. Пусть Тот факт, что оператор является сюръективным, доказан в работе [5]. Следовательно, существует ограниченный правый обратный Для доказательства справедливости представления правого обратного в утверждении 2 теоремы для произвольного проверим справедливость равенства Имеем Cледовательно, Отметим, что при и все интегралы, возникающие в приведенных преобразованиях, существуют. Для завершения доказательства утверждения 2 остается проверить справедливость равенства где Это равенство проверяется непосредственно. Теорема доказана. При исследовании краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений значительный интерес представляют такие правые обратные к оператору которые согласованы с таким проектором Р, что В этом случае соответствующий правый обратный имеет минимальную норму [8]. Построенный в теореме 1 правый обратный имеет достаточно удобный для применения вид. Однако этот оператор не является оптимальным с точки зрения минимальности его нормы. Для этого достаточно убедиться в том, что для соответствующего проектора Опишем процедуру построения правого обратного с минимальной нормой. Пусть и - два проектора на ядро линейного сюръективного оператора - правый обратный, ассоциированный с проектором Докажем, что равенством определяется правый обратный, согласованный с проектором Проверим, что оператор является правым обратным, согласованным с проектором Имеем: 1) 2) Если при этом проектор имеет единичную норму, то построенный правый обратный будет обладать минимальной нормой [8]. Реализуем предложенную процедуру и построим правый обратный с минимальной нормой. Теорема 2. Если то оператор, определенный равенством является правым обратным к оператору и имеет минимальную норму. Доказательство. Элемент является элементом ядра оператора и Оператор является проектором с единичной нормой. Тогда оператор - правый обратный с минимальной нормой. Получим выражение для этого оператора. Для этого предварительно найдем представление оператора С учетом этого получаем Теорема доказана. В качестве примера применения теоремы рассмотрим оператор соответствующий уравнению Шредингера. В этом случае и следовательно, оператор обратим, причем .