Аннотация

Аннотация

Получены неулучшаемые относительно параметров k и m условия разрешимости задачи Коши для линейного функционально-дифференциального уравнения . Обсуждается вопрос о применении полученных результатов для исследования на разрешимость начальной задачи для квазилинейных сингулярных уравнений.

Полный текст

Рассмотрим уравнение (1) где ; - действительные параметры. Здесь функции предполагаются измеримыми. Всюду в работе уравнение (1) рассматривается при условиях , Таким образом, разрешимость уравнения (1) при отмеченных условиях означает разрешимость задачи Коши для уравнения (1) с нулевыми начальными условиями. Положим, и пусть - пространство суммируемых с квадратом функций ; - пространство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций, таких, что вторая производная суммируема с квадратом и Норму на пространстве определим равенством Пространство будем рассматривать как гильбертово с соответствующим скалярным произведением [1]. Всюду далее будем предполагать выполненными следующие условия: - С1: , ; - С2: существуют интегралы , 1. Запишем уравнение (1) в операторном виде (2) где линейные операторы определены равенствами , Как известно, уравнение - классическое уравнение Эйлера [2]. Приведем необходимые вспомогательные утверждения. Лемма 1. Пусть выполнено условие С1. Тогда оператор обратим, и . Доказательство. Рассмотрим представление оператора в виде произведения , где оператор ; - изометрический изоморфизм; - интегральный оператор, определенный равенством . Для доказательства утверждения леммы достаточно доказать обратимость оператора и справедливость неравенства . Для реализации этого плана сначала докажем справедливость неравенства . Отсюда будут следовать обратимость положительного оператора и требуемая оценка. Оператор можно представить в виде , где - операторы Чезаро (или операторы Харди-Литтльвуда [3]), определенные равенствами , . Через обозначим сопряженные с и операторы. Воспользуемся следующими соотношениями, доказанными в работе [4]: , , , . Для произвольного имеем . (3) Рассмотрим два случая: - пусть , с учетом условия С1 имеем ; - если же , то в силу второе и третье слагаемые в правой части равенства (3) неотрицательны, поэтому . Таким образом, оператор обратим, и . Поскольку - метрический изоморфизм, то оператор обратим, и . Лемма доказана. Лемма 2. Пусть выполнено условие С2. Тогда оператор - линейный ограниченный, и справедлива оценка Доказательство. Представим оператор в виде суммы , , и найдем оценки норм для каждого из операторов и . Для произвольного справедливо представление . Отсюда следует справедливость неравенства . Для произвольного имеем . Следовательно, . Аналогичные рассуждения позволяют получить оценку : Лемма доказана. 2. Основной результат работы сформулируем в следующем утверждении. Теорема. Пусть выполнены условия С1, С2 и . (4) Тогда уравнение (1) имеет единственное решение в пространстве для любого . Доказательство. Будем рассматривать уравнение (1) в операторном виде (2). Благодаря обратимости оператора уравнение (2) эквивалентно уравнению . (5) В силу условия (4) справедливо неравенство . Теперь утверждение теоремы следует из обратимости оператора Теорема доказана. Следствие 1. Если в условиях теоремы и выполнено условие , то уравнение (1) имеет единственное решение в пространстве для любого . Доказательство состоит в непосредственной проверке условий теоремы. Замечание. Отметим, что в условиях следствия 1 функции и необязательно являются суммируемыми с квадратом, как показывает пример следующего уравнения: Следствие 2. Пусть ,, и выполнено условие . Тогда уравнение (1) имеет единственное решение в пространстве для любого . Отметим, что выполнение требуемого неравенства в следствии 2 зависит в том числе и от величин «запаздывания» и . Утверждение теоремы может применяться для исследования на разрешимость широкого класса квазилинейных сингулярных краевых задач с линейным сингулярным оператором . Так, например, разрешимость задачи Коши для уравнения (6) при и элементарно следует из доказанной теоремы, если учесть, что функция обладает тем же свойством, что и . Напомним, что уравнение (6) возникает в нелинейной теории поля при изучении взаимодействия элементарных частиц [5].