Метод построения неэлементарных производственных функций Кобба – Дугласа

Аннотация


Актуальным научным направлением в машинном обучении является разработка новых интерпретируемых математических моделей, а также методов и программ для их построения. Хорошими интерпретационными свойствами обладают многие известные регрессионные модели, например, линейные и степенные (производственные функции Кобба – Дугласа). Ранее автором были разработаны неэлементарные линейные регрессии, задача построения которых была сведена к задаче частично-булевого линейного программирования.На основе неэлементарных линейных регрессий в данной работе впервые предложены неэлементарные производственные функции Кобба – Дугласа, включающие в себя не только объясняющие переменные в степенях, но и все возможные их парные комбинации, преобразованные с помощью бинарных операций min и max. Выполнена линеаризация предложенных моделей, позволяющая применять для их построения таким же образом сформулированную задачу частично-булевого линейного программирования, что и для неэлементарных линейных регрессий. В результате ее решения автоматически определяется модель оптимальной структуры. Достоинством такой формулировки является то, что решение задачи может быть получено быстрее, чем при использовании переборных процедур, а также то, что знаки оценок построенной модели гарантированно будут согласованы с содержательным смыслом факторов. При этом контролировать требования к структуре модели можно с помощью линейных ограничений на бинарные переменные. В частности, задачу можно использовать для выбора оптимальных структур традиционных элементарных производственных функций Кобба – Дугласа.Решена задача моделирования валового регионального продукта Томской области. В качестве объясняющих переменных выбраны следующие: среднедушевые денежные доходы населения, инвестиции в основной капитал, затраты на инновационную деятельность организаций, среднегодовая численность занятых, стоимость основных фондов, внутренние затраты на научные исследования и разработки. В качестве решателя задачи частично-булевого линейного программирования был выбран пакет LPSolve. В результате решения этой задачи была выбрана оптимальная структура неэлементарной производственной функции Кобба – Дугласа, содержащая все шесть объясняющих переменных в трех регрессорах. Коэффициент детерминации построенной модели оказался равным 0,997. Все коэффициенты регрессии оказались значимы по t-критерию Стьюдента, а их знаки удовлетворяют содержательному смыслу факторов. Дана интерпретация построенной модели.

Полный текст

В настоящее время для выявления статистической зависимости между исследуемыми переменными активно применяются методы регрессионного анализа [1; 2]. Построенная в результате его применения регрессионная модель может быть использована как для прогнозирования значений зависимой переменной, так и для объяснения характера влияния на последнюю независимых переменных. Регрессионный анализ широко используется в различных областях человеческой деятельности. Его приложения в экономике можно найти, например, в работах [3–6]: в [3] построена регрессионная модель валового внутреннего продукта Саудовской Аравии, в [4] исследуется влияние структуры капитала на результаты деятельности компаний в России, а в [5] – взаимосвязь между урожайностью кукурузы и размером ферм в Северном Китае. Приложение регрессионного анализа в геологии можно найти в работе [6], в которой исследуется скорость инфильтрации почвы в зависимости от ее свойств. В работе [7] регрессионный анализ применен для решения технической задачи исследования возможных размеров сверхзвукового транспортного самолета на основе существующих сверхзвуковых конструкций. Решение медицинской задачи с помощью регрессионного анализа можно найти в статье [8], в которой исследуется связь между артериальной гипертензией и исходом у пациентов с пневмонией, вызванной коронавирусной инфекцией COVID-19.В экономике зависимости между выпуском продукции и факторами производства принято называть производственными функциями (ПФ). На сегодняшний день существует множество известных ПФ [9; 10]: линейная, Леонтьева, Кобба – Дугласа [11; 12], Аллена, с постоянной эластичностью замены факторов CES (Constant Elasticity of Substitutions), с линейной эластичностью замены факторов LES (Linear Elasticity of Substitutions), Солоу, многорежимная, линейного программирования, Джири, логарифмическая, Сато, Лу – Флетчера, Лиу – Хильдебранда, Кадияла, Бруно, Сато – Гофмана и др. Вместе с тем продолжается процесс поиска новых форм связи между переменными. К их числу относится класс так называемых кусочно-линейных регрессий [13–17], образованных из ПФ Леонтьева. Оценивание этих моделей в работах [13–17] производится с помощью метода наименьших модулей. Параллельно в статьях [18–21] развивались алгоритмы оценивания подобных регрессий с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Сначала в [18] был предложен алгоритм МНК-оценивания ПФ Леонтьева с двумя объясняющими переменными. А в [19] впервые была введена неэлементарная линейная регрессия (НЛР), в которую помимо объясняющих переменных входят преобразованные с помощью бинарных операций min или max все возможные комбинации их пар. Под бинарной операцией min (max) понимается математическая функция, принимающая два аргумента и возвращающая их минимум (максимум). Затем в [20] были предложены две стратегии построения НЛР. После чего в [21] состав НЛР был расширен, и она стала включать в себя и операцию min, и операцию max, а задача ее построения была формализована в виде задачи частично-булевого линейного программирования (ЧБЛП). Регулируя в этой задаче ограничения на бинарные переменные, можно контролировать математическую форму НЛР, а именно количество входящих в нее регрессоров, их типы и состав объясняющих переменных. Достоинством предложенного в [21] метода также является то, что знаки коэффициентов при переменных в полученной НЛР согласуются со знаками их коэффициентов корреляции с зависимой переменной, что делает модель вполне интерпретируемой. Стоит заметить, что проблема построения интерпретируемых моделей [22–24] машинного обучения является весьма актуальной.Построенная в [21] вполне интерпретируемая НЛР позволила выявить новые закономерности функционирования железнодорожного транспорта в Иркутской области, недоступные при использовании линейной регрессии. Известно, что ПФ Кобба – Дугласа [11; 12] так же, как и линейная регрессия, довольно просто интерпретируется. Поэтому целью данной работы является разработка неэлементарной ПФ Кобба – Дугласа и сведение задачи ее построения с помощью МНК к задаче ЧБЛП.

Об авторах

М. П. Базилевский

Иркутский государственный университет путей сообщения

Список литературы

  1. Gunst R.F., Mason R.L. Regression analysis and its application: a data-oriented approach. – CRC Press. – 2018.
  2. Montgomery D.C., Peck E.A., Vining G.G. Introduction to linear regression analysis. – John Wiley and Sons. – 2021.
  3. Amirat A., Zaidi M. Estimating GDP growth in Saudi Arabia under the government’s vision 2030: a knowledge-based economy approach // Journal of the Knowledge Economy. 2020. – Vol. 11, № 3. – P. 1145–1170. DOI: https://doi.org/10.1007/s13132-019-00596-2
  4. Company performance and optimal capital structure: evidence of transition economy (Russia) / V. Spitsin, D. Vukovic, S. Anokhin, L. Spitsina // Journal of Economic Studies. – 2020. – Vol. 48, № 2. – P. 313–332. DOI: https://doi.org/10.1108/JES-09-2019-0444
  5. Sheng Y., Ding J., Huang J. The relationship between farm size and productivity in agriculture: Evidence from maize production in Northern China // American Journal of Agricultural Economics. – 2019. – Vol. 101, № 3. – P. 790–806. DOI: https://doi.org/10.1093/ajae/aay104
  6. Estimation of infiltration rate from soil properties using regression model for cultivated land / G.T. Patle, T.T. Sikar, K.S. Rawat, S.K. Singh // Geology, Ecology, and Landscapes. – 2019. – Vol. 3, № 1. – P. 1–13. DOI: https://doi.org/10.1080/24749508.2018.1481633
  7. Joiner K.F., Zahra J., Rehman O. Conceptual sizing of next supersonic passenger aircraft from regression of the limited existing designs // MATEC Web of Conferences. EDP Sciences. – 2018. – Vol. 198. – P. 05001. DOI: https://doi.org/10.1051/matecconf/201819805001
  8. Hypertension is associated with increased mortality and severity of disease in COVID-19 pneumonia: a systematic review, meta-analysis and meta-regression / R. Pranata, M.A. Lim, I. Huang, S.B. Raharjo, A.A. Lukito // Journal of the renin-angiotensin-aldosterone system: JRAAS. – 2020. – Vol. 21, № 2. DOI: https://doi.org/10.1177/1470320320926899
  9. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. – М.: Финансы и статистика, 1986.
  10. Хацкевич Г.А., Проневич А.Ф., Чайковский М.В. Двухфакторные производственные функции с заданной предельной нормой замещения // Экономическая наука сегодня. – 2019. – № 10. – С. 169–181.
  11. The effect of gross domestic product and population growth on CO2 emissions in Indonesia: An application of the ant colony optimisation algorithm and Cobb-Douglas model / S. Sukono, W. Albra, T. Zulham, I. Majid, J. Saputra, B. Subartini, F. Thalia // International Journal of Energy Economics and Policy. – 2019. – Vol. 9, № 4. – P. 313. DOI: https://doi.org/ 10.32479/ijeep.8011
  12. Dritsaki C., Stamatiou P. Cobb-Douglas production function: The case of Poland’s economy // International Conference on Applied Economics. Springer, Cham, 2018. – P. 465–483. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-02194-8_31
  13. Носков С.И., Лоншаков Р.В. Идентификация параметров кусочно-линейной регрессии // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. – 2008. – № 6. – С. 63–64.
  14. Носков С.И., Хоняков А.А. Программный комплекс построения некоторых типов кусочно-линейных регрессий // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. – 2019. – № 3 (4). – С. 47–55.
  15. Носков С.И., Хоняков А.А. Применение функции риска для моделирования экономических систем // Южно-Сибирский научный вестник. – 2020. – № 5 (33). – С. 85–92.
  16. Носков С.И. Построение кусочно-линейной регрессии с интервальной неопределенностью в данных для зависимой переменной // Вестник кибернетики. – 2022. – № 2 (46). – С. 61–65.
  17. Носков С.И. Построение кусочно-линейной авторегрессионной модели произвольного порядка // Вестник Югорского государственного университета. – 2022. – № 2 (65). – С. 89–94.
  18. Базилевский М.П. МНК-оценивание параметров специфицированных на основе функций Леонтьева двухфакторных моделей регрессии // Южно-Сибирский научный вестник. – 2019. – № 2 (26). – С. 66–70.
  19. Базилевский М.П. Оценивание линейно-неэлементарных регрессионных моделей с помощью метода наименьших квадратов // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. – 2020. – Т. 8, № 4 (31).
  20. Базилевский М.П. Отбор информативных операций при построении линейно-неэлементарных регрессионных моделей // International Journal of Open Information Technologies. – 2021. – Т. 9, № 5. – С. 30–35.
  21. Базилевский М.П. Метод построения неэлементарных линейных регрессий на основе аппарата математического программирования // Проблемы управления. – 2022. – № 4. – С. 3–14. DOI: https://doi.org/10.25728/pu.2022.4.1
  22. Molnar C. Interpretable machine learning. – Lulu.com, 2020.
  23. Doshi-Velez F., Kim B. Towards a rigorous science of interpretable machine learning // arXiv preprint arXiv:1702.08608. – 2017. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1702.08608
  24. Miller T. Explanation in artificial intelligence: Insights from the social sciences // Artificial intelligence. – 2019. – Vol. 267. – P. 1–38. DOI: https://doi.org/10.1016/j.artint.2018.07.007
  25. Базилевский М.П. Построение вполне интерпретируемых линейных регрессионных моделей с помощью метода последовательного повышения абсолютных вкладов переменных в общую детерминацию // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. – 2022. – № 2. – С. 5–16. DOI: https://doi.org/10.17308/sait/1995-5499/2022/2/5-16

Статистика

Просмотры

Аннотация - 72

PDF (Russian) - 45

Ссылки

  • Ссылки не определены.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах