Аннотация

Аннотация

Описаны некоторые свойства однопараметрического семейства сингулярных интегральных операторов, которые являются обобщением сингулярного оператора Чезаро. Получены оценки снизу для коэффициента сюръективности оператора, являющегося суммой тождественного оператора и обобщенного оператора Чезаро. Показана коммутативность операторов данного класса. Описана область изменения коэффициентов линейной комбинации обобщенных операторов Чезаро, при которых соответствующий оператор является сюръективным.

Полный текст

Исследуемые в данной статье свойства сингулярных интегральных операторов определяются равенством , (1) где - пространство измеримых, суммируемых по Лебегу с квадратом функций , - действительный параметр. При исследовании краевых задач для таких дифференциальных уравнений, как уравнения Эйлера, Ванье-Штарка, Шредингера, возникает необходимость изучать различные свойства «главной части» соответствующего линейного уравнения [1]. Для перечисленных типов уравнений главная часть имеет вид суммы тождественного оператора и линейной комбинации операторов вида (1), т.е. оператор вида . (2) Как известно [1], многие вопросы, связанные с краевыми задачами, определяются свойствами главной части соответствующего линейного оператора. В этой связи актуальным является вопрос об исследовании свойств операторов (1) и (2). В настоящей работе получены некоторые свойства операторов (1). На основе этих положений доказаны новые утверждения для операторов вида (2). В частности, описана область изменения параметров , при которых оператор вида (2) является сюръективным. Операторы вида (1) будем называть обобщенными операторами Чезаро. Это название обусловлено тем фактом, что частный случай оператора (1), а именно - оператор , известен в зарубежной литературе как оператор Чезаро [2]. Отметим, что в отечественной литературе он носит название оператор Харди-Литлвуда [3, 4]. В работе [3] показана ограниченность оператора Чезаро как оператора, действующего в пространстве измеримых, суммируемых со степенью функций, а также описан спектр оператора Далее будем рассматривать пространство как гильбертово пространство комплеснозначных функций , со скалярным произведением Сопряженный с оператор имеет вид (3) Известно [5], что если , то оператор ограничен. Теорема 1. Пусть . Для произвольного элемента справедливы соотношения: , . Доказательство. Для произвольного элемента имеем: где Преобразуем интегралы в правой части, используя формулу интегрирования по частям. При этом в условной записи подстановки границ воспользуемся тем фактом, что Поскольку , то Доказательство второго соотношения повторяет доказательство первого, с тем лишь отличием, что при подстановке пределов интегрирования соответствующие слагаемые равны нулю. Из утверждения теоремы 1 следует, что если рассматривать оператор на пространстве действительнозначных функций, то операторы и являются положительными. Теорема 2. Пусть . Для произвольного элемента справедливы соотношения: , . Доказательство. Для произвольного элемента , с учетом утверждения теоремы 1, имеем: Второе соотношение доказывается аналогично. Теорема 3. Пусть . Для произвольных и справедливы соотношения: Доказательство. С учетом утверждения теоремы 2 имеем: Доказательство второго утверждения повторяет доказательство первого. Соотношения, полученные в теореме 3, позволяют построить оценки для коэффициента сюръективности и модуля инъективности оператора . Напомним [6], что коэффициент сюръективности линейного ограниченного оператора , где , - банаховы пространства, определяется равенством , где - сопряженный оператор. Коэффициент сюръективности имеет очень важное значение при описании свойств линейного оператора, а именно: его положительность обеспечивает сюръективность оператора. Под модулем инъективности будем понимать число , определенное равенством . Если ядро оператора тривиально. Непосредственно из теоремы 3 следуют утверждения. Следствие 1. Справедливы неравенства: , . Следствие 2. Пусть и - комплексный параметр такой, что . Тогда оператор сюръективен и справедлива оценка . Теорема 4. Пусть и различны. Тогда для любого справедливы соотношения: 1) ; 2) ; 3) Доказательство. Покажем справедливость первого утверждения. Отсюда непосредственно следует коммутативность операторов и Используем соотношения 1 и 2 для доказательства третьего соотношения. Имеем: , Складывая полученные два равенства, с учетом коммутативности операторов и получаем соотношение 3. Теорема доказана. Свойства операторов, описанные в теореме 4, имеют различные приложения. Применим теорему 4 для доказательства условий сюръективности оператора . Для этого нам понадобится вспомогательное утверждение. Лемма 1. Пусть - банаховы пространства и - линейные ограниченные операторы, тогда для коэффициента сюръективности оператора справедлива оценка Доказательство. Для произвольных справедливы неравенства . Тогда для любого имеем . Таким образом, для произвольного ненулевого справедливо неравенство Переходя в полученном неравенстве к точной нижней грани по всем ненулевым получим требуемое. Теорема 5. Пусть и таковы, что выполнено неравенство . (4) Тогда оператор сюръективен. Кроме того, справедлива оценка , (5) где (6) здесь - главное значение корня. Доказательство. Для оператора справедливо представление , (7) где пара чисел - решение системы Действительно, Представление (7) и утверждение леммы 1 позволяет получить оценку . (8) При этом условия (4) гарантируют выполнение неравенств и . Иными словами, в условиях теоремы правая часть неравенства (8) строго положительна. Следовательно, , т.е. сюръективен. Использование оценок для и , полученных в следствии 2, позволяет построить оценку (5) для . Теорема доказана. Отметим, что в силу того что частные случаи оператора представляют собой главные части уравнений Эйлера и Ваннье-Штарка, оценки коэффициента сюръективности могут быть использованы при формулировке условий разрешимости краевых задач для отмеченных ранее уравнений.