Рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, которые могут служить основой для современного моделирования в различных областях науки, техники, экономики, в том числе при исследовании нейронных сетей и машинного обучения. Эти уравнения описывают широкий класс процессов, где скорость изменения некоторой величины зависит не только от значений в текущий момент времени, но и от значений в прошлом и будущем.Целью работы является получение точных условий на параметры уравнения, при выполнении которых уравнение имеет решение при любой суммируемой правой части, что отражает существование моделируемого объекта при разумно большом классе внешних воздействий.Показано, что для установления факта всюду разрешимости функционально- дифференциального уравнения первого порядка достаточно исследовать только три краевых задачи: периодическую краевую задачу, задачу Коши и задачу с краевым условием на правом конце.В терминах значений норм положительной и отрицательной частей функционального оператора получены необходимые и достаточные условия того, что линейное функционально-дифференциальное уравнение первого порядка является всюду разрешимым. Если эти условия на нормы не выполнены, то найдется такой оператор с данными нормами положительной и отрицательной частей, что уравнение не будет иметь решений при некоторых суммируемых правых частях.Разработанные методы исследования опираются на аппарат теории функционально-дифференциальных уравнений и могут быть применены для изучения других классов функциональных уравнений, в частности, для уравнений высших порядков.Полученные результаты могут быть использованы для анализа и моделирования различных динамических систем, где присутствуют запаздывания и (или) опережения. Эти запаздывания и опережения могут описываться наиболее общими функциональными операторами, включающими и положительную, и отрицательную части, что соответствует рассмотрению систем и с положительной, и с отрицательной обратной связью. Это позволяет более точно описывать и прогнозировать поведение таких систем.

нейтральное уравнение, запаздывание, экспоненциальная оценка, фундаментальное решение, функция Коши.