Full Text

Введение. Потенциальная электростатическая энергия электрических зарядов определяется как . При энергия стремится к бесконечности, что нехорошо. Возможные попытки спасти положение рассуждениями о невозможности достижения в связи с конечными размерами заряженных объектов, не продуктивны, поскольку считается, что, например, у электронов и позитронов размеров нет [1]. Цель исследования: повышение корректности электростатических расчетов, исключающей возможность получения недостоверных результатов в виде бесконечно большой энергии. Актуальность работы обусловлена значительным повышением роли электростатической энергии в связи с началом массового производства ионисторов, используемых, в частности, в электромобилях, и необходимостью в связи с этим развития теоретического обеспечения [2-10]. Понятие о запасаемой энергии Определение 1. Полная запасаемая энергия Ее - это энергия системы или объекта, равная максимальной работе, которую система или объект может совершить, если ей или ему предоставить такую возможность. Замечание 1. Система или объект с нулевой полной запасаемой энергией не может свершить никакую работу. Замечание 2. Система из двух разноименно заряженных сфер имеет нулевую полную запасаемую электростатическую энергию при совмещении их центров. Последнее возможно, если сферы являются взаимно проникающими, например, несплошными [11, 12]. Кроме того, заряды не должны перемещаться по поверхностям сфер. Замечание 3. Система из двух одноименно заряженных сфер имеет нулевую полную запасаемую электростатическую энергию при бесконечно большом расстоянии между сферами. Потенциальная энергия пружины, энергия конденсатора [13, 14], энергия соленоида [15], энергия покоя , , , (1) и другие виды энергии удовлетворяют определению 1. Кинетическая энергия не включена в приведенный выше список не случайно. Для нее дело обстоит несколько сложнее, поскольку скорость зависит от произвольного выбора системы отсчета, в результате чего формульное значение энергии может сколь угодно (произвольно) возрастать без совершения какой-либо работы. Полная запасаемая кинетическая энергия системы двух тел [16-18] определяется как При (2) Определение 2. Условная реализуемая запасаемая энергия Еr - это часть полной запасаемой энергии системы или объекта, равная работе, которую система или объект может совершить, ограниченная условием, исключающим возможность совершения системой или объектом максимальной работы, которую система или объект гипотетически может совершить. Определение 3. Условная нереализуемая запасаемая энергия Еn - это часть полной запасаемой энергии системы или объекта, равная работе, которую система или объект не может совершить, ограниченная условием, исключающим возможность совершения системой или объектом максимальной работы, которую система или объект гипотетически может совершить. Из определений 1-3 следует: Еr + Еn = Еe. (3) Потенциальная гравитационная энергия тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли , удовлетворяет определению 2. Потенциальная электростатическая энергия одноименных зарядов удовлетворяет определению 1. Потенциальная электростатическая энергия разноименных зарядов не удовлетворяет обоим определениям, поскольку такую работу сама система совершить не может. Теорема 1. Запасаемая энергия всегда положительна. Доказательство. Совершаемая системой работа равна уменьшению энергии системы (не обязательно потенциальной): . Теорема доказана. Пусть далее . Разноименные заряды Теорема 2. Условная реализуемая запасаемая электростатическая энергия двух взаимно не проникающих разноименно заряженных сфер определяется по формуле , где r - расстояние между центрами сфер, - радиусы сфер. Доказательство. Поскольку сферы взаимно не проникающие, наибольшая работа, которую система может совершить, - это сблизить сферы до соприкосновения, т.е. до расстояния между центрами равного . . Теорема доказана. Следствие 2.1. При , т.е. при соприкосновении сфер условная реализуемая запасаемая электростатическая энергия равна нулю. Теорема 3. Полная запасаемая электростатическая энергия двух разноименно заряженных сфер . (4) Доказательство. Работа, совершаемая электростатическими силами при соединении бесконечно удаленных одноименно заряженных частиц в однородную сферу радиуса (и ), по абсолютной величине равна энергии электростатического поля сферы: , (5) . (6) Знак «-» указывает на возрастание запасаемой энергии. Другими словами, работу совершают сторонние силы. Работа, совершаемая электростатическими силами при соединении сфер из бесконечности до расстояния r между ними, определяется как . Энергия поля системы из двух сфер, центры которых совмещены, состоит из двух частей. Энергия поля во внешнем пространстве по отношению к сфере радиуса . (7) Дифференциал энергии поля в пространстве между сферами . где D - электрическое смещение, dV - элементарный объем. Энергия в пространстве между сферами . Энергия поля системы из двух сфер, центры которых совмещены, . Замечание 4. Пусть , . , , , . Это решение показывает, что , причем при . Замечание 5. При , что согласуется с (5), (6) и (7). Замечание 6. При . Замечание 7. При . Замечание 8. При . (8) Очевидно, что искомая полная запасаемая электростатическая энергия определяется как следующая разность [19, 20]: . Теорема доказана. Следствие 3.1. При . (9) Следствие 3.2. При , т.е. при соприкосновении сфер полная запасаемая электростатическая энергия двух разноименно заряженных сфер равна условной нереализуемой запасаемой электростатической энергии: . (10) Это вытекает из (3) и следствия 2.1. Следствие 3.3. Действительно, . Следствие 3.4. При . (11) Следствие 3.5. При . (12) Следствие 3.6. При . (13) Эта энергия равна работе, совершаемой электростатическими силами при сближении двух идентичных разноименно заряженных сфер из бесконечности до нулевого расстояния между их центрами. При бесконечном расстоянии между зарядами полная запасаемая электростатическая энергия двух разноименно заряженных сфер максимальна, в отличие от потенциальной энергии, которая бездоказательно принимается равной нулю. Следствие 3.7. При , в отличие от потенциальной энергии, которая принимает бесконечно большое значение, что не имеет никакого смысла и прямо указывает на несправедливость формулы. Следствие 3.8. . (14) Следствие 3.9. При . (15) Одноименные заряды Теорема 4. Полная запасаемая электростатическая энергия двух одноименно заряженных разделенных сфер определяется как . (16) Она совпадает с потенциальной энергией одноименных зарядов вне пространства шаров. Доказательство тривиально. Следствие 4.1. При , т.е. при соприкосновении сфер полная запасаемая электростатическая энергия двух одноименно заряженных сфер определяется как . Следствие 4.2. При . (Совпадает с (14)) Следствие 4.3. При . (Совпадает с (15)) Теорема 5. Полная запасаемая электростатическая энергия двух одноименно заряженных сфер при нулевом расстоянии между их центрами определяется как . (17) (Совпадает с (7)) Доказательство. Применительно к рассматриваемому случаю аналоги выражений, полученных при доказательстве теоремы 3, принимают вид: , . Замечание 9. . Замечание 10. При , что согласуется с (5), (6) и (7). Замечание 11. При . Замечание 12. При . (Совпадает с (8)). Очевидно, что искомая полная запасаемая электростатическая энергия двух одноименно заряженных сфер при нулевом расстоянии между их центрами определяется как следующая разность: . Теорема доказана. Следствие 5.1. При . (Совпадает с (13)) Эта энергия равна работе, совершаемой электростатическими силами при удалении двух идентичных одноименно заряженных сфер от нулевого расстояния между их центрами до бесконечности. При нулевом расстоянии между центрами зарядов полная запасаемая электростатическая энергия двух одноименно заряженных сфер максимальна, но конечна, в отличие от потенциальной энергии, которая принимает бесконечно большое значение. Следствие 5.2. Условная нереализуемая запасаемая энергия двух разноименно заряженных сфер . (Совпадает с (10)). Это вытекает из (3) Следствие 5.3. При . (Совпадает с (11)). Любая комбинация зарядов Теорема 6. Энергия поля системы из двух заряженных сфер, одна из которых полностью находится внутри другой, есть величина постоянная, т.е. не зависит от местоположения внутренней сферы. Доказательство. Внутри внешней сферы напряженность поля, созданного ее зарядами, равна нулю. Следовательно, сила взаимодействия между сферами равна нулю. Поэтому работа по любому перемещению внутренней сферы во внутреннем пространстве внешней сферы равна нулю. Соответственно равно нулю изменение энергии поля системы из двух сфер. Теорема доказана. Следствие 6.1. Энергия поля системы из двух заряженных сфер при расстоянии между их центрами, равном , такая же, как при совмещении центров. Выводы. Энергетика разноименных зарядов имеет различия и сходства с энергетикой одноименных зарядов. Минимальная энергия поля одноименных идентичных зарядов равна максимальной энергия поля разноименных зарядов, . Максимальная энергия поля одноименных идентичных зарядов вдвое превышает максимальную энергию поля разноименных зарядов, . В то же время работа электростатического поля по сближению разноименных идентичных зарядов из бесконечности до совмещения их центров равна работе поля по противоположному разнесению одноименных зарядов, . Для одноименных зарядов вне их внутреннего пространства полная запасаемая электростатическая энергия совпадает с потенциальной энергией. Однако полная запасаемая электростатическая энергия при совмещении центров одноименно заряженных сфер вдвое превышает потенциальную энергию соприкасающихся сфер: Строго говоря, под потенциальной энергией понимают величину , где С - аддитивная постоянная, которая принята равной нулю, что оправданно для одноименных зарядов и совершенно бездоказательно обобщено на разноименные заряды, что не дает представления о запасенной энергии в системе разноименных зарядов. Если теперь уже не бездоказательно для разноименных зарядов принять , т (18) то потенциальная энергия разноименных зарядов превратится в полную запасаемую электростатическую энергиию (4), что поднимет ее смысловой статус до уровня выражений (1), (2), (16) и (17). Аддитивная постоянная (18) представляет собой полную запасаемую электростатическую энергию двух одноименно заряженных сфер при нулевом расстоянии между их центрами (17). Полученная формула для полной запасаемой электростатической энергии разноименных зарядов может использоваться в качестве формулы для их потенциальной энергии. Главным недостатком существующей формулы потенциальной энергии является бесконечно большое возрастание энергии при . Этого недостатка лишены полученные формулы для запасаемой электростатической энергии.

About the authors

I. P Popov

Kurgan State University

References

Statistics

Views

Abstract - 21

PDF (Russian) - 9

Refbacks

• There are currently no refbacks.