Full Text

Введение. Создание электростанций малой и средней мощности на базе авиационных газотурбинных установок (ГТУ) является одним из важных направлений деятельности отечественных предприятий авиационного двигателестроения. Качество вырабатываемой такими электростанциями электроэнергии в значительной степени зависит от того, насколько успешно производится управление частотой вращения ГТУ при разнообразных возмущающих воздействиях со стороны электрической сети при сбросах и набросах электрической нагрузки [1]. Поскольку ГТУ является существенно нелинейным объектом управления, характеристики возмущающих воздействий по-разному влияют на динамику ГТУ при холостом ходе, при номинальном режиме и при частичных нагрузках. Поэтому системы управления ГТУ с учетом этого обстоятельства обычно строятся с нелинейными регуляторами, имеющими так называемую «табличную настройку», призванную компенсировать нелинейности объектов управления. Еще большие возможности компенсации не только нелинейностей, но и различных нестабильностей параметров может дать адаптивное управление ГТУ. Но применение адаптивного управления требует проведения серьезных исследований с целью оценки его возможностей и ограничений при управлении различными режимами ГТУ [2-12]. Основным методом исследования при этом ввиду необходимости охватить широкий спектр режимных ситуаций является математическое моделирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Пермского края в рамках научного проекта № 19-48-590012. Модель газотурбинной установки. ГТУ является структурно сложным объектом управления. Кроме того, ГТУ может нормально функционировать только при наличии системы автоматического управления (САУ), что дополнительно повышает размерность исследуемой системы. При моделировании, особенно на первых этапах исследования, следует учесть только наиболее существенные для данной задачи факторы. Поэтому модель ГТУ должна включать в себя все основные нелинейности, компенсировать которые и призвано адаптивное управление. Рассмотрим модель ГТУ, ее структура показана на рис. 1. На рисунке обозначено: СТ - свободная турбина, ТК - турбокомпрессор, НБ - нелинейный блок, nCТ - частота вращения свободной турбины, nТК - частота вращения турбокомпрессора, GТ - расход топлива, NЕ - располагаемая мощность свободной турбины, NГ - мощность электрогенератора. nCТ НБ1 НБ2 NГ (-) nТК NЕ GТ ТК СТ Рис. 1. Структурная схема нелинейной модели ГТУ Турбокомпрессор моделируется апериодическим звеном. Свободная турбина в отличие от традиционного подхода [13-15] в нашем случае упрощенно представлена идеальным интегрирующим звеном. Такое упрощение допустимо, поскольку свободная турбина обладает относительно большой постоянной времени, и поэтому в режиме стабилизации при малых отклонениях nCТ она ведет себя как интегрирующее звено. По этой же причине коэффициент СТ k1 рассматривается как постоянный, на самом деле он зависит от nCТ, но в режиме стабилизации этим тоже можно пренебречь. Наконец, вместо разности моментов на рис. 1 показаны мощности, это тоже объясняется тем, что в режиме стабилизации при малых изменениях nCТ мощности будут пропорциональны моментам ( ). Рассмотрим нелинейности. На рис. 1 их два вида: 1) нелинейные зависимости, представленные НБ. НБ1 отражает зависимость мощности свободной турбины от nТК. НБ2 отражает зависимость установившегося значения nТК от GТ; 2) зависимость постоянной времени турбокомпрессора от nТК: . Здесь этой зависимостью в отличие от k1 пренебречь нельзя, так как nТК при работе ГТУ меняется в широких пределах. Модель ГТУ, показанная на рис. 1, является упрощенной, но вполне достаточной для первого этапа модельных экспериментов. В этой модели, например, дополнительно пренебрегаем динамикой дозатора газа, обратным влиянием СТ на ТК, опережающим приращением мощности на СТ. Как отмечено выше ГТУ будет работоспособной только при наличии САУ, которая является совокупностью объекта управления и управляющего устройства. На рис. 2 показана упрощенная схема замкнутой САУ, регулирующей nCТ. На самом деле в реальных САУ много контуров регулирования, но для нашего рассмотрения важен этот контур, поскольку nCТ определяет частоту вращения электрогенератора, а следовательно, прямо влияет на качество вырабатываемой электроэнергии. ГТУ (-) NГ nCТ GТ nCТзад РСТ РГ Рис. 2. Структурная схема модели САУ ГТУ На рис. 2 обозначено: ГТУ - модель ГТУ по рис. 1, РСТ - регулятор свободной турбины, РГ - регулятор газа, nCТзад - сигнал задания частоты вращения свободной турбины nCТ. Наличие двух регуляторов на рис. 2 объясняется следующим обстоятельством: РСТ - это один из нескольких регуляторов, которые замыкаются на дозатор газа через РГ. Логика специального селектора определяет, какой именно регулятор будет замкнут в данном случае на РГ. В режиме стабилизации nCТ основным регулятором является РСТ. Поэтому на первом этапе рассмотрения остальными регуляторами можно пренебречь и рассматривать структуру на рис. 2 как базовую. Далее обсудим, как можно построить адаптивное управление для САУ ГТУ, изображенной на рис. 2. Адаптивное управление с эталонной моделью. В работе [16] рассматривается адаптивное управление электромеханическими системами с упругими связями. Модель электропривода оказывается структурно подобна модели ГТУ, представленной на рис. 1. В модели электропривода, приведенной в работе [16], тоже на выходе стоит идеальное интегрирующее звено (моделирует вал электродвигателя), а перед ним - апериодическое звено (моделирует электрическую часть двигателя). Поэтому возникает желание предположить, что адаптивные алгоритмы, рассмотренные в работе [16], могут быть работоспособны и при работе с ГТУ. Это предположение нашло свое подтверждение, о чем свидетельствуют результаты, ранее опубликованные в [4]. Но остаются и некоторые проблемы. Для их изучения проведем экспериментальные исследования на моделях. Рассмотрим вариант с эталонной моделью. На рис. 3 показана структура адаптивного управления с эталонной моделью, с сигнальной и параметрической настройками [16], здесь буквами М обозначена эталонная модель. Рис. 3. Структурная схема с эталонной моделью с параметрической и сигнальной настройка На первом этапе проще реализовать сигнальное воздействие z, оно подается на вход САУ и корректирует ее поведение, чтобы приблизить это поведение к поведению эталонной модели. Поэтому рассмотрим далее только сигнальное воздействие. Для сигнальной адаптации на основе прямого (второго) метода Ляпунова можно записать [16]: (1) где . Матрица Р является решением матричного уравнения (уравнение Сильвестра)]: , (2) где матрицу Q рекомендуется выбирать диагональной (>0). Матрицы A и B описывают модель, представленную на рис. 2, в пространстве состояний. Размерность этих матриц будет равняться для рассматриваемого случая четырем. Эта размерность определяется числом единичных интеграторов в схеме переменных состояния на рис. 2 (блок РСТ может быть записан через единственный интегратор). Вектор e - четырехмерный вектор ошибок, т.е. разностей между выходами единичных интеграторов модели, представленной на рис. 2, и эталонной модели. Условие отрицательной определенности функции Ляпунова относительно ошибки e выполняется, если значение параметра h выбрать как (3) чем гарантируется . Эталонную модель выбираем структурно соответствующую модели, представленной на рис. 1 и 2, но с постоянными параметрами, линеаризация производится в точке номинального режима 2,5 МВт. Коэффициенты регуляторов РСТ и РГ подобраны так, что переходный процесс по частоте соответствует требованиям стандарта на качество электроэнергии, вырабатываемой генератором. Настройка регуляторов близка к так называемой настройке на «симметричный оптимум» [17, 18]. Расчет матриц выполним для следующих значений параметров: k1 = 0,092, T = 0,5, k2 = 22,235, k3 = 1,25, T3 = 0,8, k4 = 4,44, T4 = 0,4, T5 = 0,1: , тогда решение уравнения (2) для единичной матрицы Q дает: и рассчитанные по (1) коэффициенты усиления: . На рис. 4 показано, как формируется сигнальное воздействие на основании сигналов ошибки (рассогласований) между моделью САУ ГТУ и эталонной моделью. h sign 0,5000 38,1269 -35,7390 -399,7866 e1 e2 e3 e4 z Рис. 4. Формирование сигнального воздействия Результаты экспериментов. Моделирование показало, что улучшение качества регулирования получается незначительным. На рис. 5 показаны переходные процессы по nCТ при сбросе мощности генератора с 2,5 до 2 МВт. При h = 10 000 переходный процесс получается ближе к эталонной модели, чем при h = 500. Однако переходные процессы по остальным переменным сопровождаются сильными колебаниями вокруг желаемой траектории. Такие колебания, являясь допустимыми для электропривода, могут оказаться недопустимыми для ГТУ, для их устранения функция sign может быть заменена сигмоидальной [19, 20]. Переходные процессы, показанные на рис. 5, получены для модели ГТУ с нелинейностями только типа 2 ( ), нелинейности 1-го типа отключены, при их подключении ситуация еще более ухудшается. Причиной этого видится то, что схема, показанная на рис. 4, пытается устранить все 4 ошибки за счет одного сигнального воздействия z, поэтому, например, вторая переменная настраивается в обоих случая лучше, это вызвано тем, что на нее сигнальное воздействие поступает раньше, чем на (рис. 6). nСТ, об/мин 5560 5550 5540 5530 5520 5510 5500 5490 5480 5470 t, с nСТ, об/мин 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5560 5550 5540 5530 5520 5510 5500 5490 5480 5470 14 15 16 17 18 19 20 21 22 t, с а б Рис. 5. Переходный процесс по nСТ: а - h = 500, б - h = 10 000; 1 - эталонная модель, 2 - САУ ГТУ без адаптивного управления, 3 - с адаптивным управлением nТК, об/мин 9500 9000 8500 8000 7500 7000 6500 t, с nТК, об/мин 14 16 18 20 22 14 16 18 20 22 t, с 9500 9000 8500 8000 7500 7000 6500 а б Рис. 6. Переходный процесс по nТК: а - h = 500, б - h = 10 000; 1 - эталонная модель, 2 - САУ ГТУ без адаптивного управления, 3 - САУ ГТУ с адаптивным управлением Если оставить для схемы на рис. 4 только один сигнал ошибки e1, тогда для первой переменной nCТ получаем почти полное совпадение с эталонной моделью даже при учете всех нелинейностей в модели САУ ГТУ (рис. 7), однако при этом другие переменные вообще никак не настраиваются. nСТ, об/мин t, с nТК, об/мин t, с 5560 5550 5540 5530 5520 5510 5500 5490 5480 5470 14 15 16 17 18 19 20 9500 9000 8500 8000 7500 7000 6500 14 15 16 17 18 19 20 а б Рис. 7. Переходный процесс по nСТ и nТК при одном сигнале ошибки e1, h = 500: а - nСТ, б - nТК; 1 - эталонная модель, 2 - САУ ГТУ без адаптивного управления, 3 - САУ ГТУ с адаптивным управлением Объяснить эти результаты, по-видимому, можно тем обстоятельством, что матрица Q была выбрана единичная, и поэтому лучше настраиваются переменные, расположенные ближе к месту сигнального воздействия. Если варьировать матрицу Q, можно постараться найти компромисс между качеством настройки переменных. При этом случай, показанный на рис. 7, может рассматриваться как крайний, когда настройка проводится только по одной переменной. Чтобы проверить такое утверждение и исключить различные влияющие факторы, возьмем модель простейшей динамической системы 2-го порядка и проведем исследование на ней. Динамическая модель второго порядка. Для проверки изберем модель системы, показанную на рис. 8. Регулятор здесь самый простой - пропорциональный - Kr. Два звена этой модели аналогичны звеньям модели на рис. 1, но здесь нет явно заданных нелинейностей. Нелинейности будут имитироваться изменением коэффициента Kd. За эталонную модель принимается модель, показанная на рис. 8, с неизменными коэффициентами. x1 f (-) x2 xзад Рис. 8. Динамическая система второго порядка При этом для эталонной модели примем, что Kd = 1. Для модели настраиваемой системы этот коэффициент будет задаваться экспериментатором для проверки адаптивного управления. На рис. 8 показаны: f - возмущающее воздействие, x1 и x2 - переменные, по аналогии с моделью САУ ГТУ будем считать, что они имеют размерность: обороты в минуту (об/мин). Возьмем коэффициент регулятора тогда матрицы , для единичной матрицы Q по уравнению (1) получаем следующие коэффициенты для формирования сигнального воздействия: (0,5000 2,5500). Зададим Kd = 5. Эксперименты показали, что при варьировании Kd наибольшая ошибка проявляется вблизи точного значения (значения Kd эталонной модели) (рис. 9). Моделирование выполнялось при h = 100, шаг интегрирования дифференциальных уравнений модели dt = 0,00001. При этом наиболее точный результат дает самый простой метод Эйлера при решении дифференциальных уравнений модели. Более сложные методы увеличивают ошибку. На графиках показана ε - максимальная абсолютная ошибка между аналогичными переходными процессами динамической системы второго порядка (см. рис. 8) и эталонной модели (об/мин). ε, об/мин Kd а 0 5 10 15 20 25 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 б Рис. 9. Зависимость ошибки от отклонения параметра модели: а - метод Эйлера, б - метод Рунге-Кутта, шаг расчета - dt = 0,00001 с Попытка выявить причину, почему вблизи совпадения моделей ошибка нарастает, позволила сделать вывод, что причиной этого может быть слишком большой коэффициент h, при его уменьшении ошибка вблизи точного значения уменьшается. Иными словами, сигнальное воздействие слишком сильно начинает «раскачивать» систему. На рис. 10 показаны результаты, подтвердившие это предположение. ε, об/мин Kd а б 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0 Рис. 10. Зависимость ошибки от отклонения параметра модели: а - h = 10, б - h = 100, шаг расчета - dt = 0,00001 с t, с t, с nТК, об/мин nСТ, об/мин 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 а б Рис. 11. Переходный процесс по nСТ и nТК при первой матрице Q: а - nСТ, б - nТК; 1 - эталонная модель, 2 - САУ ГТУ без адаптивного управления, 3 - САУ ГТУ с адаптивным управлением Наконец, варьирование коэффициентов матрицы Q подтвердило предположение о том, что за счет ее выбора можно улучшить одну регулируемую переменную за счет другой. На рис. 11 показан переходный процесс по nСТ и nТК при матрице , на рис. 12 - при матрице В обоих случаях h = 100. t, с nТК, об/мин nСТ, об/мин 0 0,5 1 1,5 2 2,5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 3 3,5 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 0,5 1 1,5 2 2,5 t, с а б а t, сек Рис. 12. Переходный процесс по nСТ и nТК при второй матрице Q: а - nСТ, б - nТК; 1 - эталонная модель, 2 - САУ ГТУ без адаптивного управления, 3 - САУ ГТУ с адаптивным управлением Выводы. Использование динамической модели второго порядка позволило за счет неучета второстепенных факторов исследовать влияние параметров адаптивного управления на качество переходных процессов. Получены следующие результаты при варьировании величин Kd , h, dt и метода решения дифференциальных уравнений: 1. Метод Эйлера может обеспечивать меньшую ошибку, чем метод Рунге-Кутта и методы более высоких порядков. 2. При малых отклонениях параметров и больших h наблюдается увеличение ошибки регулирования в несколько раз более существенное, чем при больших отклонениях параметров. 3. При малых h регулирование лучше вблизи малых отклонений параметров, но хуже - при больших отклонениях параметров. С ростом h уменьшается наклон линии (улучшается «жесткость» регулирования), но не вблизи точного значения параметра. 4. В матрице Q важно соотношение, а не абсолютные величины элементов матрицы. При одинаковом соотношении элементов матрицы результаты совпадают. Увеличивая первый элемент матрицы Q, приближаемся к системе, замкнутой только по первой переменной. 5. Соответствующим выбором элементов Q, как и простым выбором коэффициентов сигнального воздействия, достигается в определенной мере улучшение x1 за счет x2 и наоборот. 6. Имеется некоторый оптимум в выборе элементов матрицы Q, который обеспечивает некоторое наилучшее соотношение ошибок по x1 и x2. Это соотношение и его особенности предполагается в дальнейшем исследовать. 7. Подобным же образом возможно исследовать оптимальные значения по вариациям h, dt и методам решения дифференциальных уравнений, вслед за этим результаты предполагается перенести на модели САУ ГТУ для дальнейшего изучения.

About the authors

B. V Kavalerov

Perm National Research Polytechnic University

I. R Ziyatdinov

Perm National Research Polytechnic University

Sh. D Basargin

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 28

PDF (Russian) - 11

Refbacks

• There are currently no refbacks.