Full Text

Введение. При исследовании поведения электрических систем (ЭС) очень большую роль играет математическое моделирование электромеханических и электромагнитных динамических процессов, протекающих в таких системах. Эти процессы очень разнообразны, и их характер зависит от множества факторов, например, от состава элементов электрической системы, конфигурации этой системы, рассматриваемой режимной ситуации. Математическое моделирование приходит на помощь и в тех случаях, когда провести эксперименты на реальном объекте затруднительно, например, при исследовании разнообразных аварийных режимов ЭС. В этом случае благодаря моделированию сам эксперимент становится компьютерным, выполняется на ЭВМ, что значительно сокращает труд исследователя. Но математическое описание и вслед за этим компьютерное моделирование многоэлементных ЭС разнообразной конфигурации являются также непростыми задачами. Безусловно, исследователь может воспользоваться одним из имеющихся на рынке пакетов математического моделирования. Современные средства визуального моделирования, как правило, поддерживают язык функциональных блоков, из которых экспериментатор составляет разнообразные схемы ЭС, в качестве широко известного примера можно привести специализированную библиотеку системы динамического моделирования Simulink (язык компьютерных вычислений MatLab). Однако для того, чтобы проводить полноценные научные исследования, необходимо иметь четкое представление о том, каким образом выполнено математическое описание того или иного элемента ЭС, как организовано их взаимодействие между собой, не говоря уже о принятых при этом допущениях. Поэтому в настоящей статье ставится и решается задача получения такого математического описания элементов ЭС, которое, во-первых, даст возможность объединить эти элементы в единую систему для совместного моделирования, а, во-вторых, будет основано на четком отображении реальной физики процессов, протекающих в реальной трехфазной электрической системе с учетом несимметрии отдельных фаз. Математическое описание рассматривается как основа для создания оригинальных программных комплексов поддержки профильных научных исследований. Материалы статьи используют ранее полученные результаты, представленные в [1, 2]. Моделирование электрических машин. Очевидно, что в ЭС наиболее сложным структурным элементом являются вращающиеся электрические машины по причине вращения их роторов и взаимного перемещения их обмоток. Кроме этого все основные элементы ЭС представляются в сложной многокоординатной (комплексной) форме записи. Это вызвано тем, что электрические переменные - токи и напряжения - являются векторами, обладающими модулем и фазой, а следовательно, одного числа для их описания недостаточно. Комплексные координаты традиционно используются при описании процессов в теоретических основах электротехники (широко известный символический метод [3]). Однако в теории электрических машин представление электрических переменных в комплексной форме определяется выбором осей отсчета. Выбор тех или иных осей отсчета определяется удобством исследователя. В.А. Веников [4] называет «оси отсчета» более удачным термином, чем «оси координат». Напомним наиболее распространенные оси отсчета для моделирования вращающихся электрических машин: а) неподвижные трехфазные оси отсчета a, b, c, их иногда называют «естественными», поскольку они непосредственно соотносятся с реальными фазами электрической машины. Поэтому эти оси дают возможность представить переменные электрических машин в «естественном» трехфазном виде. Однако уравнения получаются громоздкими [4] из-за того, что для представления вектора на плоскости достаточно только двух координат. Три координаты не нужны. Поэтому в теории электрических машин широко применяются преобразованные двухфазные оси, которые моделируют реальные трехфазные электрические машины; б) неподвижные оси α, β, при этом напряжения и токи имеют одинаковую частоту, равную частоте тока статора. Этот подход неудобен при рассмотрении процессов в синхронных генераторах, которые управляются со стороны ротора (обмотка возбуждения расположена на роторе); в) оси d, q, зафиксированные на роторе электрической машины, наиболее распространены при исследовании процессов в системах, содержащих синхронные генераторы. В этой системе осей отсчета записываются широко известные уравнения Парка-Горева, которые в настоящее время общеприняты для моделирования синхронных машин; г) оси x, y, вращающиеся с синхронной скоростью магнитного поля машины. Эти оси используются в основном для моделирования асинхронных двигателей. Объясняется это тем, что асинхронный двигатель получает питание от обмоток статора синхронного генератора, поэтому синхронный генератор и определяет синхронную скорость магнитного поля машины. Как видим, разные электрические машины традиционно моделируют в разных осях отсчета. Поэтому в ЭС, где одновременно работают и асинхронные двигатели, и синхронные машины, приходится делать выбор в пользу какой-то одной из этих систем осей (d, q или x, y). Ввиду того, что синхронный генератор является питающим, задающим элементом ЭС [5, 6], предпочтение обычно отдается осям d, q [7, 4, 8]. Этот подход является традиционным. В то же время очевидная универсальность естественных фазных осей отсчета a, b, c заставила нас ранее рассмотреть возможность описания элементов в этих осях [1, 2] применительно к моделированию структурно-сложных ЭС. В данной статье обсуждаются возможности и ограничения применения осей a, b, c и излагаются результаты, полученные ранее [1, 2]. Тем более, что в последнее время ряд авторов вновь обращается к трехфазным осям при описании электрических машин [9, 10]. Математическое описание электрической машины в фазных осях. Преимущества описания синхронных генераторов в осях d, q хорошо известны, это и сокращение вычислительных затрат, вычислительных ошибок на решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, и возможности лучшего понимания физики процессов за счет рассмотрения их со стороны вращающегося ротора. Но современные возможности вычислительной техники резко снижают значимость первой причины, а понимание физики процессов может только выиграть от альтернативного рассмотрения одного и того же явления с точки зрения разных систем отсчета. Так, уже в работе 1961 г. [11] предлагается использовать переменные коэффициенты и трехфазные оси отсчета, при этом подчеркивается, что уравнения Парка-Горева (т.е. уравнения в осях d, q) могут успешно применяться только в тех режимах, при которых не нарушается симметрия фаз электрогенератора. Вот только неполный перечень таких режимов: исследование переходных процессов электрических машин с нарушенной электрической симметрией; исследование переходных процессов при продольной и/или поперечной несимметрии сети; исследование динамических режимов электрических машин с полупроводниковыми возбудителями; различные аварийные режимы. Последнее обстоятельство объясняется тем, что возникающие несимметричные режимы работы ЭС являются, как правило, анормальными или аварийными, например, двухфазные и однофазные короткие замыкания. При этом при каждом случае несимметрии появляются свои выражения для коэффициентов уравнений Парка-Горева (d, q оси), из-за чего теряется главное преимущество осей d, q - их общность. Но, с другой стороны, разработка алгоритмов моделирования электрических машин в фазных координатах имеет хорошо известные сложности [12]: периодический характер коэффициентов дифференциальных уравнений и связанная с этим необходимость уменьшения шага численного интегрирования; большее, чем в преобразованной форме, число уравнений; устоявшиеся методы определения параметров электрических машин именно в d, q представлении; связанные с этим очевидные трудности алгоритмизации. Однако современная компьютерная техника снимает первые две сложности. При этом остальные сложности могут быть преодолены. Поэтому можно сказать, что в настоящее время повсеместное использование духфазных осей объясняется главным образом традицией, в том числе не в последнюю очередь традицией преподавания по существующим учебникам. Рассмотрим моделирование в осях a, b, c на примере синхронного электрогенератора (СГ). Уравнения в фазных осях и в абсолютных единицах для СГ могут быть записаны следующим образом: (1) Выражения для расчета потокосцеплений: (2) где Ψa, Ψb, Ψc - потокосцепления статора по a, b, c осям, ΨD, ΨQ - потокосцепления демпферных контуров по продольной и поперечной осям, Ia, Ib, Ic - токи статора по a, b, c осям, ID, IQ - токи демпферных контуров по продольной и поперечной осям, w0 - угловая частота вращения поля статора, w - угловая частота вращения ротора, d - внутренний угол машины (угол нагрузки), g - угол поворота ротора, М, L - взаимоиндуктиности и индуктивности соответствующих обмоток, MT - момент турбины, MЭМ - электромагнитный момент СГ. Эквивалентирование ротора по каждой оси одним демпферным контуром оказывается вполне достаточным для анализа электромеханических процессов при скольжениях 0-0,1. При более точном моделировании приходится использовать несколько контуров (три-пять контуров по каждой оси), их параметры определяются частотными методами [13]. Следует объяснить, почему для моделирования демпферных контуров используются две оси: продольная и поперечная. Это вызвано тем, что это именно эквивалентные контуры, т.е. их на самом деле в генераторе нет, но эти два контура моделируют реальную ситуацию с демпфированием в машине. Например, в турбогенераторе, как правило, вообще нет каких-либо демпферных обмоток. Там роль демпферных токов выполняют вихревые токи в массиве ротора. Такое представление демпферных свойств синхронного генератора довольно широко применяется, например, в [14, 15]. Примем допущение о полной симметрии статора и синусоидальности наводимых ЭДС холостого хода в статоре. При рассмотрении СГ в трехфазных координатах параметры взаимоиндукции и самоиндукции становятся периодическими функциями угла поворота ротора . Эти функции представлены во многих книгах [16]. Для того, чтобы получить описание модели в векторно-матричном виде, рассмотрим, как меняются эти периодические параметры [16]. В случае полной симметрии статора СГ индуктивность обмотки возбуждения Lf и индуктивности обеих демпферных обмоток LD и LQ в системе (2) постоянны (при неучете насыщения). Так как обмотка возбуждения и продольная демпферная обмотка неподвижны друг относительно друга, то неизменна взаимная индуктивность МfD. Взаимные индуктивности между поперечной демпферной обмоткой и обмотками, расположенными по продольной оси ротора, отсутствуют: МfD = MDQ = 0. Все остальные индуктивности машины в общем случае зависят от положения ротора, т.е. от угла . Поскольку наводимые в статоре ЭДС считаются синусоидальными, и это практически достигается в современных синхронных машинах, то закон изменения взаимных индуктивностей между обмоткой возбуждения и каждой фазной обмоткой статора (например, для фазы a) примет следующий вид: (3) Далее считаем, что при совпадении магнитной оси фазной обмотки с осью d ротора приведенные к статору взаимные индуктивности между двумя любыми обмотками, расположенными по этой оси, одинаковы и составляют Мd. Например, для взаимной индуктивности между обмоткой фазы a и продольной демпферной обмоткой (4) Для поперечной демпферной обмотки и обмотки фазы а (5) где Мq - взаимная индуктивность при совпадении осей поперечных обмоток. Для фаз b, с в формулы (3)-(5) следует вместо g записать или соответственно. Теперь рассмотрим фазные обмотки СГ. Их изменения происходят из-за явнополюсности ротора при его вращении гармонически с периодом p. Поэтому для фазы а имеем: , (6) и для взаимной индуктивности между обмотками фаз а и b: (7) где l2 и m2 - амплитуды вторых гармоник. Для синхронных машин в настоящее время установилось представление в паспортах параметров через индуктивные сопротивления по осям d и q (xd, xq). Поэтому необходимы выражения, чтобы рассчитать параметры СГ в осях a, b, c через параметры той же машины, но в осях d, q. Вывод этих соотношений содержится в [16]. В установившемся режиме при протекании по статору токов нулевой последовательности Ia = Ib = Ic = Im потокосцепление фазы с учетом (6) и (7) будет следующим: (8) поэтому индуктивность нулевой последовательности будет определяться как (9) Из (9) следует, что L0 изменяется с двойной частотой относительно своего среднего значения (l0 + 2m0). Но эти изменения очень малы [16] и ими пренебрегают: (10) В результате выражение (9) упрощается: (11) Равенство (11) справедливо, если индукция в воздушном зазоре распределена строго синусоидально (принято как допущение). В этом случае вращение ротора не влияет на L0. Точно так же находится потокосцепление фазной обмотки при протекании установившихся токов прямой последовательности: . Потокосцепление и индуктивность будут равны: , (12) (13) При токах: поперечная синхронная индуктивность (14) Из совместного решения (11), (13), (14) находим: В результате по этим выражениям можно записать переменные индуктивности СГ по ее паспортным данным, выраженным в d, q осях. Тем самым снимается важное ограничение на моделирование СГ в трехфазных осях. Решение дифференциальных уравнений (1) требует обращения матрицы индуктивностей на каждом шаге расчета, но и сами эти индуктивности периодически изменяются. Теперь на примере СГ получим обобщенную форму записи для различных элементов ЭС в осях a,b,c за счет представления уравнений (1) и (2) в векторно-матричной форме записи. Такое представление даст возможность объединять эти модели элементов в единую сложную модель для совместного исполнения [17, 18, 6, 2]. Для этого запишем уравнения синхронной машины относительно производных статорных токов: (15) Запишем также уравнения синхронной машины относительно производных роторных токов: (16) Составим новую систему на основе (15) и (16) в следующем виде: (17) где индексами s, r обозначены блоки матриц, размером 3×3, составленные из роторных и статорных параметров. Так как блочная матрица Xr состоит из постоянных элементов, то ее производная - нулевая матрица. Преобразуем (17): (18) Обозначим клетки обратных матриц символом и получим: (19) затем сформируем вот такое уравнение относительно производных статорных токов: (20) Или, введя новую обобщенную форму записи [15], (21) где матрицы имеют следующий размер: матрица А - размер 3×3, матрица B - размер 3×6, вектор Н размер 3×1, вектор I - размер 6×1. Матрицы A и B содержат производные изменения параметров во времени. В такой единой форме (21) были получены описания всех основных структурных элементов ЭС, не только электрических машин, но и линий связи, трансформаторов, активно-индуктивной нагрузки и др. [2]. Теперь эти элементы возможно легко соединять между собой для совместного моделирования, подобно тому, как это делается при представлении моделей элементов в осях d, q [18, 19]. Методику объединения моделей отдельных элементов в модель ЭС, ранее описанную в [2], планируется подробно рассмотреть в следующей статье. Для удобной алгоритмизации вместо аналитических расчетов блочных матриц в выражении (19) возможно воспользоваться другим удобным приемом [20,12] на основе следующего преобразования: . (22) Для этого заранее получают выражения для матриц преобразования координат П, П-1, которые позволят избавиться от необходимости обращать матрицы индуктивных сопротивлений на каждом шаге расчета. Для этого, представляя матрицу Xdq в следующем виде: Xdq = в соответствии с её структурой формируют матрицу сопряжения координат П в следующем виде: , где 1 - единичная матрица, G - матрица преобразования координат: Поскольку матрица П - квазидиагональная, то Результаты моделирования. На основе представленных соотношений созданы компьютерные программы для моделирования элементов электрических систем в естественной системе фазных осей a, b, c. Результаты моделирования показали полное совпадение с результатами моделирования в осях d, q. Вместе с тем моделирование в трехфазных осях подтвердило и все предполагаемые преимущества такого представления моделей, например, при исследовании несимметричных режимов работы. Рассмотрим моделирование в трехфазных осях удаленных несимметричных коротких замыканий, которые часто имеют место на практике. с Ua,Ub, Uc, В 15000 10000 5000 0 -5000 -10000 -15000 0,0001 0,02 0,04 0,06 Рис. 1. Процесс однофазного короткого замыкания фазы а с Ua,Ub, Uc, В 15000 10000 5000 0 -5000 -10000 -15000 0,002 0,012 0,022 0,032 0,042 Рис. 2. Процесс короткого замыкания между фазами b и c Полученные результаты качественно полностью согласуются с данными, представленными в [20] и [12]. На рис. 1 и 2 представлены графики переходных процессов при несимметричных коротких замыканиях в нагрузке СГ. Несимметричные короткие замыкания задавались трехфазной (в осях a, b, c) моделью статической нагрузки в форме (21). При двухфазном коротком замыкании момент может в 1,3-1,4 раза превысить момент при трехфазном коротком замыкании из-за искажения синусоидальной формы момента и увеличения его пикового значения [21]. Как показало моделирование, еще более значительный момент возникает при отключении короткого замыкания и восстановлении связи генератора с ЭС. Выводы. В статье на примере синхронного генератора рассмотрено математическое описание электрической машины в естественной трехфазной системе координат. Показано, что такие модели получены и апробированы уже довольно давно [20, 11], но до сих пор и во многом по традиции используется почти исключительно математическое моделирование в преобразованной двухфазной системе координат [7]. Это объясняется удобством алгоритмизации при компьютерном моделировании и увеличением наглядности за счет упрощений [7, 4]. Тем не менее, трехфазное рассмотрение и моделирование электрических машин и других элементов ЭС имеет и свои преимущества, особенно при исследованиях несимметричных режимов работы и несимметрии в электрических машинах. Рассмотрено математическое представление такого описания в единой общей форме записи в векторно-матричном виде, подобно ранее рассматриваемому в [19] для описания d, q. Показана работоспособность такой формы математического описания при моделировании несимметричных режимов работы элементов электрических систем. Создание программных комплексов на базе этого описания предоставляет возможность моделировать структурно-сложные электрические системы при различных возмущениях [2]. Поэтому исследование этого вопроса представляется весьма актуальным. Тем более, что в последние годы отдельные авторы начинают проводить исследования в сходном направлении, вводя свои собственные унифицированные формы записи уравнений элементов [16] и во многом повторяя результаты, ранее полученные нами в [1] и [2]. В последующих работах авторы предполагают рассмотреть моделирование взаимодействия отдельных элементов ЭС (электрогенераторы, электродвигатели, элементы электрической нагрузки, линии электропередачи и др.) в рамках единой ЭС при представлении всех элементов в естественной трехфазной системе координат a, b, c, что дает возможность учитывать и исследовать несимметричные режимы в характерных точках произвольной конфигурации ЭС.

About the authors

B. V Kavalerov

Perm National Research Polytechnic University

V. V Koshelev

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 20

Refbacks

• There are currently no refbacks.