Full Text

Введение. Для управления сложными динамическими системами и решения других задач управления необходима математическая модель (ММ) объекта управления (ОУ). Такой динамической системой является система автоматического управления авиационного турбореактивного двухконтурного двигателя (САУ ТРДД). Наличие адекватной ММ САУ ТРДД создает предпосылки для решения не только задач управления, но и позволяет обеспечить информационную избыточность и, следовательно, отказоустойчивость САУ, т.е. способность выполнять свои функции и после появления неисправностей [1]. Идентификация математической модели САУ ТРДД является основным этапом анализа ММ, который кроме идентификации включает оценивание точности идентификации и определение вероятностных характеристик измерительных и системных шумов [2, 3, 4]. Проводился анализ математической модели современной САУ ТРДД на основе измерительной информации, полученной в результате летных испытаний. Компрессор низкого давления Вал ротора низкого давления Турбина низкого давления Сопло Камера сгорания Турбина высокого давления Компрессор высокого давления Вал ротора высокого давления Вентилятор Рис. 1. Схема двухвального двухконтурного ТРДД Поведение САУ ТРДД в режиме нормального функционирования описывается линейной, дискретной, стохастической моделью [1, 3, 5, 6]: , (1) где - вектор состояния, - вектор управляющего воздействия, - вектор шума возмущения, - вектор измерения, - вектор шума измерения, , - частота вращения вала ротора низкого и высокого давления, - расход топлива; - угол входных направляющих аппаратов; - давление газа за компрессором; - температура газа за турбинами; - переходные матрицы коэффициентов динамической модели, H, D, H0 - матрицы коэффициентов модели измерений, Измерительные и системные шумы представляют собой центрированные гауссовские последовательности с нулевым математическим ожиданием и ковариационными матрицами [7, 8]: , , где R и Q - неотрицательно определенные дисперсионные матрицы шума измерения и возмущения соответственно; - функция Кронекера, . В САУ ТРДД предусмотрено измерение векторов состояния x(k), выхода z(k) и управления u(k). Каждое из уравнений модели (1), представляет собой уравнение множественной линейной регрессии [9, 10]: , k = 1, n, (2) где y(k) - отклик, контролируемая случайная переменная выхода, линейно зависящая от (m+1) неизвестных коэффициентов Случайность отклика обусловлена наличием ошибки - регрессоры, контролируемые неслучайные переменные входа. Уравнение (2) в матричной форме имеет вид [9]: , (3) где Y - вектор отклика размера n, состоящий из измеренных значений сигналов выхода; X - матрица регрессоров размера (n x m), состоящая из измеренных значений сигналов входа; - вектор неизвестных коэффициентов модели размера m; e - вектор ошибок размера n. Анализ математической модели САУ ТРДД проводился на основе методов регрессионного и дисперсионного анализа. Задача линейного регрессионного анализа заключается в определении оптимальных оценок коэффициентов модели (2), а также в статистическом анализе оцененной модели и ошибки e(k), при этом полагается, что [9]: 1) где - дисперсия ошибки; 2) , , где - неслучайная величина; 3) матрица регрессоров - матрица полного ранга. Поскольку (m+1) столбцов матрицы X линейно независимы, rank[x] = m + 1. Тогда симметричная матрица имеет такой же ранг, и для неё существует обратная матрица . Для идентификации математической модели САУ ТРДД использовался матричный алгоритм метода наименьших квадратов (МНК) [11, 12]: , , (4) который является единственным решением нормальной системы уравнений Гаусса: (5) и представляет собой линейную функцию от результатов наблюдений . Система (5) получена в результате оптимизации функции потерь [13]: min, где - оцененные или предсказанные значения отклика, , k = 1, n; - ошибки оценки отклика или остатки. В матричной форме функция потерь [13] имеет вид: min, где - оцененные или предсказанные значения отклика; - вектор ошибок оценки отклика или вектор остатков размера n. В матричной форме , . 0 (6) МНК-оценки (4) при изложенных выше ограничительных условиях имеют следующие свойства [12]: 1. Несмещенность; 2. Дисперсионная матрица вектора имеет вид: . Таким образом, в соответствии с теоремой Гаусса-Маркова дисперсией i-го коэффициента служит i-й диагональный элемент этой матрицы; 3. Дисперсия оценки меньше дисперсии любой другой несмещенной оценки, т.е. МНК-оценка - это линейная несмещенная оценка с минимальной дисперсией. Входные и выходные переменные модели (1) имеют численные значения, отличающиеся на несколько порядков, что вызывает ошибки вычисления при реализации алгоритма МНК (4). Для уменьшения этих ошибок проводится центрирование модели (1), в результате которого получаем модель в отклонениях [1, 2, 8]: Проводилась рекуррентная идентификация в движущемся окне в соответствии с центрированным алгоритмом МНК: , , (7) где (8) . Частота опроса сигналов датчиков САУ ТРДД равна 50 Гц, число опросов - 5000 на крейсерском режиме и 1600 на одном из переходных режимов работы ТРДД. Для определения оценок коэффициентов постоянного смещения , , , используется уравнение средних [14, 15]: ; , j=1, 4, (9) где - средние значения сигналов выхода и входа соответственно; . После подстановки оценок коэффициентов (8) и (9) в (6) получим оцененную математическую модель САУ ТРДД: , j = 1, 4 где . Идентификация математической модели САУ ТРДД проводилась по измерениям сигналов датчиков САУ, полученных во время летных испытаний. Рассматривались как стационарные, так и переходные режимы работы двигателя. Точность идентификации оценивалась при помощи методов дисперсионного анализа, который заключается в определении сумм квадратов или дисперсий и их сравнении. Определялись общая (полная) дисперсия , дисперсия, обусловленная регрессией и дисперсия остатков , которые образуют уравнение дисперсий [7, 16]: . Чтобы оценить долю дисперсии, обусловленную регрессией, в общей дисперсии, определялся коэффициент множественной детерминации для каждого сигнала выхода САУ ТРДД, который сравнивает эти дисперсии: , (10) Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем он ближе к единице, тем точнее реализована математическая модель сигнала выхода. Идентификация считается удовлетворительной, если ≥ 0,7 [6]. Дисперсию остатков называют необъясненной, так как она обусловлена помехами. С её помощью можно определить стандартную ошибку оценивания коэффициентов модели. Действительно, уравнение множественной регрессии [7, 9]: . (11) Вектор ошибок оценки отклика: , откуда . (12) Сравнивая (11) и (12), логично предположить, что ошибка является оценкой помехи e (оценки измерительных и системных шумов). Поэтому стандартная ошибка определялась для каждого уравнения математической модели по формуле [16]: , (13) Следует отметить, что оценка (13) смещенная, так как при вычислении ошибки возникают связи, число которых равно числу оцениваемых коэффициентов модели. Эти связи необходимо учитывать при малых выборках (n ≤ 100) измерений для устранения смещения. В этом случае формула (13) принимает вид: , Также определялось фактическое смещение оценок выхода математической модели САУ ТРДД - абсолютное и относительное [16, 17, 18]: ; %. Требование по точности МНК-оценок сигналов выхода САУ ТРДД находится в противоречии с требованием по времени их запаздывания ∆t, которое не должно превышать 2 с. Для достижения приемлемой точности идентификации и времени запаздывания МНК-оценок проводилась оптимизация ширины движущегося окна. Рассматривались три варианта ширины окна: S = 200, 100 и 500 отсчетов, что соответствует 1 с, 2 с и 10 с. Ширина перекрытия окон - 100 отсчетов. Результаты моделирования алгоритма идентификации представлены в виде таблиц и графиков. Параметры ТРДД указаны в процентах от максимальных значений. В табл. 1 представлены результаты оптимизации ширины движущегося окна, смещение МНК-оценок и стандартные ошибки на одном из стационарных (крейсерском) режиме работы двигателя. Таблица 1 Результаты оптимизации ширины движущегося окна, смещения МНК-оценок и стандартные ошибки на стационарном режиме Оценка качества идентификации Сигнал датчика и ширина движущегося окна

About the authors

N. G Lamanova

Perm National Research Polytechnic University

A. S Pleshivich

Perm National Research Polytechnic University

I. N Gribkov

Perm National Research Polytechnic University; JCS «UEC-Aviadvigatel»

A. I Fatykov

Perm National Research Polytechnic University; JCS «UEC-Aviadvigatel»

References

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 54

Refbacks

• There are currently no refbacks.