Full Text

Введение. Управление потоками электрической энергии с развитием силовой электроники посредством широтно-импульсной модуляции (ШИМ) нашло широкое применение в различных областях техники и, в частности, для управления электродвигателями. Качество ШИМ существенно зависит от частоты следования импульсов. Однако увеличение частоты модуляции ведет к возрастанию динамических потерь в электронных ключах. Большие частоты модуляции применяются в электрических преобразователях меньшей мощности. Мощности преобразователей электрической энергии, реализуемых на полностью управляемых электронных ключах, неуклонно растут. Так мощность единичных преобразователей частоты, используемых в системах электродвижения судов, в настоящее время достигает 5 МВт и более. Повышение качества модуляции напряжения на нагрузке ведет к снижению потерь мощности и уменьшению виброшумовых характеристик электроприводов. Поэтому повышение качества модуляции является актуальной задачей. Проблеме качества ШИМ с момента начала ее использования в силовой преобразовательной технике уделялось огромное внимание [1-9]. Разработаны различные методы ШИМ [2-4]. Наиболее известными методами ШИМ являются классический, модифицированный классический и векторный [3]. Сравнению методов ШИМ посвящено большое количество работ [10-17], которые основаны на компьютерном моделировании. Ввиду импульсного характера функций моделирование требует существенных затрат машинного времени. Получить окончательный вывод, какой метод лучше, путем компьютерного моделирования невозможно. Аналитический подход к исследованию ШИМ продвигается в работах авторов [16-18], в которых используется спектральный подход к оценке качества модуляции напряжения. Имеются работы, в которых сделаны шаги в направлении синтеза оптимальной ШИМ по критериям коэффициента гармоник напряжения [5-7, 19, 20]. В данной работе решается задача аналитического синтеза алгоритма оптимальной двухфазной модуляции, основанного на критерии локальной дисперсии тока нагрузки, вычисляемого на периоде ШИМ. Основной элемент преобразовательной техники полумост, состоящий из двух последовательно соединенных ключей. Под двухфазной модуляцией понимается модуляция двумя полумостами A и B, образующих электронно-ключевой мост (рис. 1). M uAB A Ud +Ud 0 VHA L N jN = 0 B R VLA VHB VLB ic jB jA Рис. 1. Электронно-ключевая схема двухфазной модуляции Питание двухфазной электронно-ключевой цепи осуществляется от источника постоянного напряжения Ud. Ключи полумостов, подключенные своими выводами к положительному потенциалу источника напряжения, называются верхними VHA и VHB, а ключи, подключенные выводами, соединенными с отрицательным потенциалом источника напряжения, называются нижними VLA и VLB. Общий потенциал нижних ключей и источника питания принимается равным нулю. Общий потенциал верхних ключей и источника питания принимается равным напряжению источника питания Ud. Нагрузка представляет собой L,R-фильтр низкой частоты. Термины и определения. Под ШИМ в данной работе понимается процесс аппроксимации импульсами напряжения желаемого гладкого напряжения, которое необходимо для формирования тока нагрузки. Импульсная функция - периодическая булева функция, принимающая значение 0 или 1. Модулированная функция - импульсная функция, которая получается в процессе модуляции. Модулирующая функция - гладкая непрерывная функция, к которой должна быть приближена импульсная функция в процессе модуляции. Ошибка модуляции по току - разность между токами, порождаемыми модулированной и модулирующей функциями напряжений. Локальная дисперсия тока - среднее значение квадрата ошибки модуляции на периоде импульсной функции. Оптимальная ШИМ - это ШИМ, позволяющая получить минимум локальной дисперсии тока. Под модулированной функцией напряжения понимается отношение модулированного напряжения к напряжению источника питания Ud. Под модулирующей функцией напряжения понимается отношение модулирующего напряжения к напряжению источника питания Ud. Коммутационная функция полумоста - импульсная функция, 1 которой соответствует включенному состоянию верхнего ключа, 0 - выключенному. Под потенциалом полумоста X = A, B понимается потенциал его средней точки. Отношение модулированных потенциалов мостов к напряжению источника питания - модулированная функция потенциалов полумостов. Отношение модулирующих потенциалов мостов к напряжению источника питания - модулированная функция потенциалов полумостов. Базовое значение тока - Iб = Ud/R. Относительный ток - отношение тока к базовому значению. Относительный ток помечается верхним индексом *. Управление полумостами осуществляется так, что включен либо верхний, либо нижний ключ. Для описания управления полумостом X = A, B необходимо задать коммутационную функцию cX, графическое представление которой приведено на рис. 2. Формальная запись коммутационных функций полумостов X = A,B: , (1) где 1(x) - единичная функция аргумента x; j - пилообразная функция относительного времени t = t/T0, j = t - floor(t); floor(t) - дробная часть числа t; T0 - период модуляции; aX - относительное время от начала интервала ШИМ до момента включения верхних ключей полумостов X; DaX - коэффициент смещения импульса относительно центра интервала широтно-импульсной модуляции; gX - скважность коммутационной функции полумоста X. Значению cX = 1 соответствует включенное состояние верхнего ключа полумоста X, а значению cX = 0 - включенное состояние нижнего ключа. 00,5 1,0 cX DaX aX gX j yX(1/2) yX(j) 1 DyX Рис. 2. График периодической импульсной функции со сдвигом импульса относительно начала интервала модуляции вправо Из рис. 2 следует, что переменные aX, характеризующие положение импульсов cX на интервале модуляции, можно записать в следующем виде: . Четыре параметра коммутационных функции aX, gX, (X = A, B) определяют положение импульсов управления на интервале ШИМ, далее рассматриваются как управляющие переменные, позволяющие сформировать потенциалы узлов A и B (см. рис. 1). Число полумостов играет важную роль в обеспечении качества модуляции. Каждый полумост имеет две степени свободы в формировании импульсов напряжения. Два полумоста имеют четыре степени свободы. В мостовой схеме (см. рис. 1) необходимо сформировать заданное напряжение между средними точками полумостов. Это уменьшает число степеней свободы до трех. Поэтому далее рассматривается алгоритм оптимальной ШИМ моста по критерию дисперсии тока в нагрузке, использующий три степени свободы. Ток в нагрузке формируется методом ШИМ потенциалов средних точек полумостов A и B. Желаемый ток нагрузки формируется модулирующим напряжением на нагрузке. Связь скважности импульсной функции с модулирующей функцией потенциала полумоста. Модулированный потенциал узла X = A, B электронно-ключевой цепи, изображенной на рис. 1, обозначим как jX = cX × Ud. Тогда модулирующая функция потенциала узла X = A, B будет являться коммутационной функцией полумоста. Пусть модулирующий (желаемый) потенциал полумоста GX(j). Тогда модулирующая функция потенциала полумоста: . Положим, что модулирующая функция потенциала полумоста является гладкой функцией времени. Тогда ее можно представить двумя первыми слагаемыми ряда Тейлора: , где gX(1/2) - значение модулирующей функции потенциала полумоста X в середине интервала модуляции при j = 1/2; DgX = gX¢(1/2) - приращение модулирующей функции линейного напряжения на периоде широтно-импульсной модуляции; gX¢(1/2) - производная модулирующий функции потенциала полумоста по относительному времени j в середине интервала при j = 1/2. Принцип ШИМ заключается в поддержании равенства нулю среднего значения ошибки модуляции на периоде ШИМ: . Из данного равенства следует, что . Если модулирующая функция зависит от относительного времени t, то полагается, что , где значение t берется в середине интервала модуляции. Ток нагрузки, порождаемый модулирующей функцией напряжения. Пусть модулирующее (желаемое) напряжение на нагрузке GAB(j) задано, как функция относительного времени jÎ [0, 1]. Модулирующая функция линейного напряжения на нагрузке , (2) где gA, gB - скважности импульсов полумостов. Положим, что модулирующая функция линейного напряжения gAB(j) является гладкой функцией времени. Тогда ее можно представить в виде двумя первыми слагаемыми ряда Тейлора: , где gAB - значение модулирующей функции линейного напряжения в середине интервала модуляции при t = ½, gAB = gAB(1/2); DgAB - приращение модулирующей функции линейного напряжения на периоде широтно-импульсной модуляции, DgAB = gAB¢(1/2); gAB¢(1/2) - производная модулирующий функции линейного напряжения по относительному времени j в середине интервала при j = 1/2. Дифференциальное уравнение, определяющее динамическое поведение относительного значения тока j(j), порождаемого функцией линейного модулирующего напряжения (2), можно представить в следующем виде: , где e - отношение периода ШИМ T0 к постоянной времени нагрузки T = L/R, e = T0/T; j - относительное время, jÎ [0,1]. Для нахождения решения данного уравнения необходимо задать начальное значение тока j(0). Функция j(j) необходима для нахождения локальной дисперсии тока, величина которой не зависит от j(0). Поэтому будем полагать, что j(0) = 0. Решение данного уравнения при j(0) = 0 примет вид: . (3) Ток нагрузки, порождаемый модулированной функцией напряжения. Модулированные потенциалы узлов A и B схемы определяются очевидными выражениями: ; . Модулированное линейное напряжение между двумя средними точками полумостов A и B: , (4) где cAB - модулированная функция напряжения между узлами A и B, cAB = cA(aA, gA) - cB(aB, gB). Тогда относительное значение тока i(j), порождаемого модулированной функцией напряжения при gA > gВ, , при gA > gВ будет являться решением дифференциального уравнения: . Для нахождения решения данного уравнения необходимо задать начальное значение тока i(0). Функция i(j) необходима для нахождения локальной дисперсии тока, величина которой не зависит от i(0). Поэтому будем полагать, что i(0) = 0. Решение данного уравнения при i(0) = 0 может быть представлено в виде составной функции: (5) Локальная дисперсия тока нагрузки. Графики токов, порождаемых модулирующей функцией gAB(j) и модулированной функцией cAB, представлены на рис. 3. Для оптимизации алгоритма ШИМ необходимо найти выражение локальной дисперсии тока в нагрузке между двумя полумостами на интервале широтно-импульсной модуляции: , (6) Если в выражение дисперсии тока в нагрузке (6) подставить токи, определенные выражениями (3) и (5), и выполнить интегрирование, то получим дисперсию токов как функцию управляющих переменных gX, DaX и параметра e, характеризующего фильтрующие свойства нагрузки. Выражение локальной дисперсии имеет достаточно громоздкий вид, поэтому здесь не приводится. Заметим, что параметр e достаточно мал. Поэтому дисперсия тока (6) может быть представлена в следующем виде: . (7) e= 0,05; DgAB = 0,2; aA = 0,2; aB = 0,35; gAB = 0,35 0 0,5 1,0 j 0 cA j cA, cB, cAB 1,0 ig*(j) aA aB gB gA а б gAB DgAB cB 0,006 0,012 0,018 ic*(j) cAB ig*(j), ic*(j) Рис. 3. Графики: а - коммутационных функций cA, cB; б - токов, порождаемых модулирующими функциями gAB и модулированной функцией cAB Данному представлению дисперсии тока соответствует разложение в ряд Маклорена с погрешностью до значений O(DaA3) и O(DaB3): , (8) где gA > gB; gAB = gA - gB. Погрешность формулы (8) при e < 1 не превышает 3 %. Представление локальной дисперсии межфазного тока в виде (8) позволяет упростить связь фильтрующих свойств нагрузки (параметр e) и параметров, определяющих управление ШИМ: gAB, gA, DgAB, DaA, DaB . Это обстоятельство существенно упрощает синтез оптимального управления. Заметим, что модулирующая функция напряжения gAB связана с модулирующими функциями потенциалов полумостов соотношением: , где gA, gB - некоторые фазные модулирующие функции, удовлетворяющие соотношению: gA + gB = 0. Тогда из соотношений (2) следует: ; . (9) Модулирующие функции потенциалов ключей полумостов запишем в следующем виде: ; , (10) где g0 - нулевая потенциальная функция, являющаяся свободной переменной. Переменная - функция предмодуляции. Из выражений для токов (3) и (5) следует, что дисперсия тока (6) не зависит от переменных gA и gB, и функция предмодуляции g0 может быть принята равной нулю, а модулирующие функции потенциалов полумостов: ; , (11) Будем полагать, что DaA +DaB = 0 и DaA - DaB = DaAB. Тогда коэффициенты смещения импульсов полумостов: . Из приведенных соотношений следует, что локальная дисперсия относительного тока (8) будет функцией переменных gAB, DgAB, DaAB: (12) Графический вид зависимости дисперсии тока в нагрузке от переменной DaAB, характеризующей положение импульсов на периоде ШИМ, приведен на рис. 4. Из вида функции (12) следует, что экстремальные точки дисперсии тока, определенной формулой (12), не будут зависеть от параметров выходного фильтра моста. e = 0,05; gAB =0,4 0,3 0 -0,15 0,15 DaAB DAB ×103 DgAB = -0,3 0,2 0,1 DaA DgAB =0,3 Рис. 4. Графики зависимости дисперсии тока в нагрузке от переменных, характеризующих положение импульса на периоде широтно-импульсной модуляции Алгоритм оптимальной двухфазной модуляции. Выражение дисперсии тока (12) используется в качестве критерия для формирования оптимального алгоритма ШИМ по параметру DaAB. Минимум дисперсии тока (12) по переменной DaAB достигается при . Приближенное выражение для определения оптимального коэффициента смещения импульсов модулированного напряжения можно найти по формуле: . (13) Погрешность данной формулы при DgAB < 0,48 не превышает 1 %. Коэффициенты смещения импульсов полумостов имеют вид: ; . (14) Наиболее распространенный алгоритм формирования ШИМ использует центрально-симметричное расположение импульсов на интервале модуляции, что соответствует DaAB = 0. В этом случае дисперсия тока в нагрузке определяется выражением: . (15) Если частота модуляции f ® ¥, то DgAB = 0 и тогда дисперсия тока в нагрузке . (16) Эффективность оптимизации ШИМ путем смешения импульсов оценим для наиболее распространенного случая - синусоидальной модуляции напряжения на нагрузке. Будем полагать, что модулирующая функция линейного напряжения , (17) где a - амплитуда модулирующей функции, a Î [0, 1]; f* - относительная частота ШИМ, f* = T1/T0; T1 - период модулирующей функции; T0 - период ШИМ. Тогда приращение модулирующей функции линейного напряжения на интервале ШИМ . Определим среднее значение дисперсии тока (12) на периоде модулирующей функции: . (18) Среднюю дисперсию токов в нагрузке при центрально-симметричном расположении импульсов на интервале модуляции будем использовать в качестве базового значения: . Эффективность оптимизации дисперсии тока с учетом приращения моделирующей функции можно оценить отношением средних дисперсий токов в нагрузке: , где Da¢AB - коэффициенты смещения импульсов относительно центра интервала модуляции, определенные формулой (13), Da¢AB = 2×DaA = -2×DaB; f* - относительная частота ШИМ. Отношение Z показывает в относительных единицах, как повлияет на дисперсию тока учет приращения моделирующей функции DgAB на периоде широтно-импульсной модуляции. Графики, показывающие, во сколько раз уменьшится интегральная дисперсия тока, если учитывать приращения моделирующей функции на периоде ШИМ при различных амплитудах модулирующего напряжения, приведены на рис. 5. f * Z 0 а = 1,0 0,5 10 20 30 40 50 60 1,0 0,8 0,5 Рис. 5. Графики, показывающие во сколько раз уменьшится интегральная дисперсия тока, если учитывать приращения моделирующей функции на периоде широтно-импульсной модуляции при различных амплитудах модулирующего напряжения Из данных графиков следует, что наиболее эффективен учет приращения моделирующей функции на периоде ШИМ при малой частоте модуляции и при большой амплитуде моделирующей функции. Для расчета коэффициента смещения импульсов DaAB может быть использована простая формула: . (19) Коэффициенты смещения импульсов полумостов: ; . (20) Можно показать, что при использовании алгоритма модуляции с коэффициентом смещения импульсов на величину, определенную выражением (13), среднее значение локальной дисперсии тока (21) на полупериоде синусоидальной модулирующей функции gAB определяется как (21) Погрешность данной формулы при f* > 10 не превышает 2,5 %. Выводы. Из результатов исследований двухфазной мостовой схемы следует, что при относительной частоте модуляции f* < 40 учет приращения моделирующей функции на периоде ШИМ приводит к существенному уменьшению дисперсии тока в нагрузке. При f* > 40 оптимизация по критерию дисперсии тока в нагрузке становится неэффективной. В этом случае оптимальный алгоритм ШИМ становится близким к центрально-симметричной ШИМ. Двухфазная ШИМ является базовым элементом для определения дисперсии тока в нагрузке, порождаемого многофазной ШИМ. Используя подход, сформулированный в данной статье, можно получить аналогичный алгоритм оптимальной ШИМ для многофазных мостов по критерию дисперсии тока. При этом нулевая потенциальная функция полумостов будет отличной от нуля. При этом формальное описание оптимального алгоритма ШИМ будет проще наиболее распространенной векторной ШИМ, а дисперсия порождаемого им тока - меньше.

About the authors

I. V Belousov

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping

V. F Samoseiko

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping

References

Statistics

Views

Abstract - 71

PDF (Russian) - 41

Refbacks

• There are currently no refbacks.