Abstract

Abstract

Рассматривается использование адаптивного фильтра (АФ) для линейного предсказания двух видов сигнала. В качестве АФ применяется адаптивный RLS -фильтр. Решение задачи линейного предсказания двух видов сигнала с использованием RLS -фильтра смоделировано на ЦВМ. Приводятся результаты моделирования. Оценены среднеквадратические значения ошибок предсказания для двух видов сигнала.

Full Text

Рассматривается АФ, использующий образцовый сигнал. Общая структура такого АФ показана на рис. 1 [1]. Рис. 1. Общая структура АФ Входной дискретный сигнал обрабатывается дискретным фильтром, в результате чего получается выходной сигнал . Этот выходной сигнал сравнивается с образцовым сигналом , разность между ними образует сигнал ошибки . Здесь – интервал дискретности измерений сигнала . Задача АФ – минимизировать ошибку воспроизведения образцового сигнала. С этой целью блок адаптации после обработки каждого отсчета анализирует сигнал ошибки и дополнительные данные, поступающие из фильтра, используя результаты этого анализа для подстройки параметров (коэффициентов) фильтра. В статье используется адаптивный алгоритм RLS (Recursive Least Square, рекурсивный метод наименьших квадратов). Вывод формул, описывающих алгоритм RLS, производится на основе уравнений оптимальной фильтрации сигнала. Возможны различные подходы к решению задачи оптимальной фильтрации. Детерминированный подход приводит к алгоритму RLS. Пусть входной дискретный сигнал обрабатывается дискретным нерекурсивным фильтром порядка N с коэффициентами . Выходной сигнал фильтра [1, 2] . (1) Кроме того, имеется образцовый сигнал . Ошибка воспроизведения образцового сигнала . (2) Перепишем (2) в матричном виде. Для этого обозначим вектор-столбец коэффициентов фильтра как w, а вектор – столбец содержимого линии задержки фильтра на k-m шаге как : , . С учетом этих обозначений (2) принимает следующий вид: (3) Сформулируем детерминированную оптимизационную задачу: мы хотим отыскать такие коэффициенты фильтра , чтобы суммарная квадратичная ошибка воспроизведения образцового сигнала была минимальной [1]: . (4) Адаптивный алгоритм RLS определяется по формулам [1]: ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) (9) где – вектор коэффициентов фильтра на -м шаге; – вектор–столбец коэффициентов усиления на -м шаге; – обратная корреляционная матрица сигнала на -м шаге. Рассмотрим применение АФ RLS для линейного предсказания сигнала (рис.2) [1]. Рис. 2. Линейное предсказание с помощью АФ Для решения задачи линейного предсказания с помощью АФ (см. рис. 2) будем использовать пакет Filter Design, входящий в поставку MatLab 7.0. АФ реализованы в виде объектов MatLab. Для создания объекта АФ служит функция adaptfilt. При её вызове необходимо указать требуемый алгоритм адаптивной фильтрации – для этого после имени функции ставится точка и указывается соответствующий идентификатор метода (конструктора): ha=adaptfilt.algorithm(…). Набор входных параметров функции зависит от реализуемого алгоритма. Адаптивному RLS-фильтру соответствует следующий вызов конструктора объекта [1]: ha=adaptfilt.rls (l), где l – целочисленный параметр, с помощью которого задается длина фильтра. Обработка сигнала АФ осуществляется с помощью функции filter [1]: [y,e]=filter(ha,x,d). Здесь ha – объект АФ; x – входной сигнал; d – образцовый сигнал; y – выходной сигнал; e – сигнал ошибки фильтрации. Рассмотрим задачу предсказания для случая, когда наблюдаемый сигнал имеет вид , (10) где . (11) Здесь – сигнал, предсказанные значения которого нужно определить; – нормальный дискретный белый шум, имеющий среднеквадратичное значение ; A – амплитуда гармонических колебаний; – частота гармонических колебаний, Гц. Создадим объект RLS-фильтра. Имеем [1] ha=adaptfilt.rls (N), здесь N – длина RLS-фильтра. Теперь реализуем собственно фильтрацию RLS-фильтром, используя для этого функцию filter. Имеем следующий оператор программы на языке MatLab 7.0 [1]: [y,e]=filter(ha,x(1:end-1), x(2:end)), здесь y[i] – предсказанное значение сигнала х[i]; e[i] – ошибка предсказания сигнала x[i], которая определяется в виде . (12) Нас интересует ошибка предсказания сигнала s[i], которая имеет вид . (13) Решение задачи линейного предсказания с использованием адаптивного RLS-фильтра было смоделировано на ЦВМ. Предполагалось, что А = 1; ; ; ; N = 7; . Результаты моделирования приведены на рис. 3,4. Рис. 3. Графики , , –––––– – – – – – – – – Рис. 4. График На рис. 3 показаны графики , , . На рис. 4 приведен график . Из рис. 4 видно, что имеет место начальный переходный процесс АФ, т.е. процесс устанавливается только спустя некоторое время . Параметр m = 20 характеризует длительность переходного процесса, измеряемую дискретным временем i, i = 1,2,… При устанавливается стационарный режим работы АФ. Введем в рассмотрение массив вида , (14) где . (15) Обозначим через оценку среднеквадратичного значения ошибки предсказания . Величина определяется по формуле . (16) Было получено значение . Реализуем теперь с помощью RLS-фильтра линейное предсказание сигнала, сформированного с помощью авторегрессионной модели. Согласно авторегрессионной модели сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума через «чисто рекурсивный» фильтр n-го порядка. Имеем [1] , (17) где – коэффициенты авторегрессионной модели. Было выполнено моделирование работы RLS-фильтра с целью предсказания сигнала x[k], определяемого формулой (17). Предполагалось, что Результаты моделирования приведены на рис. 5, 6. Рис. 5. Графики , , –––––– – – – – – – – – Рис. 6. График На рис. 5 показаны графики , , . На рис. 6 приведен график . Из рис. 6 видно, что имеет место начальный переходной процесс АФ, после чего устанавливается стационарный режим работы АФ, т.е. процесс устанавливается только спустя время . Параметр характеризует длительность переходного процесса, измеряемую дискретным временем i, i = 1,2,… Введем в рассмотрение массив вида , (18) где . (19) Обозначим через оценку среднеквадратичного значения ошибки предсказания . Величина определяется по формуле . Было получено значение . Таким образом, в статье выполнено предсказание с помощью адаптивного RLS-фильтра для двух видов сигнала и оценены среднеквадратические значения ошибок предсказания для этих двух видов сигналов .