Full Text

Введение. Под измерительной информационной системой понимается комплекс, объединяющий объект, систему датчиков и устройство обработки информации [1-3]. Голономной является система, у которой существующие связи между различными ее показателями могут быть отображены геометрически, в виде явной или неявной функции. Голономные системы широко используются в различных отраслях техники и технологий. Как отмечено в работе [4], связи, наложенные на показатели системы, могут быть выражены аналитически в виде неравенств или равенств. Связи в виде равенств называют удерживающими, а в виде неравенств - неудерживающими. Анализ соответствующей технической литературы показывает, что голономное свойство присуще в основном мехатронным системам, которые, как изложено в [5], способны изменить свою ориентацию в своей координатой системе без изменения своей позиции в пространстве. В работе [6] рассмотрены вопросы стабилизации положения голономной механической системы на основе построения нелинейных регуляторов интегрального и интегро-дифференциального типов. Показана необходимость включения в их структуру нелинейных функций для определения условия нелокальной стабилизации. Как отмечается в работе [7, 8], ограничительные условия, применяемые в голономных системах, уменьшают степень свободы системы. Формально голономное ограничение определяется в виде функции ограничения на пространстве конфигурации системы. При этом функция ограничения может изменяться во времени. В измерительно-информационных системах для решения задач повышения надежности и точности как отдельных частей, так и всей системы возможно введение избыточности в виде дополнительных голономных связей, формирующих некоторую простую задачу (контрольный тест), результат которой заранее известен [9, 10]. При этом высокая степень «перемешивания» основной и контрольной задач указывает на полноту проводимого контроля. Таким образом, введение избыточных переменных, связанных с основными переменными некоторым известным соотношением, позволяет применить к системе некоторые контрольные условия. Согласно [11, 12], развитие электромеханики, микроэлектроники и информационных технологий привело к развитию голономных мехатронных систем, основная функция которых заключается в целенаправленном механическом движении, управляемом сигналом, формируемым путем обработки текущей измерительной информации. При этом актуально создание таких мехатронных систем, в которых возможно уменьшение количества исполнительных устройств и сокращение объема измерительной информации, требуемой для формирования сигнала управления [13-16]. Вышеизложенное подтверждает актуальность задачи разработки новых методов оптимизации голономных информационных и мехатронных систем различного назначения с использованием элементов теории классического и неклассического вариационного исчисления. 2. Предлагаемый метод. Для пояснения предлагаемого метода воспользуемся основными положениями задачи определения условного максимума функционала, характеризуемой в качестве задачи неклассического вариационного исчисления. Указанная задача математически формулируется следующим образом: требуется определить функцию связи (или управления) y(x), обеспечивающей [17] (1) при условии наличия голономной связи в виде (2) при y(x) V. (3) Отметим, что индекс max везде в настоящей статье обозначает неизменную максимальную величину соответствующего показателя. Для решения задачи (1), (2) используется метод, аналогичный методу неопределенных множителей Лагранжа. Составляется функционал Лагранжа: (4) где λ - множитель Лагранжа. Согласно [17], доказано, что если функция y0(x) является решением задачи (1), (2), то найдется такое значение λ, при котором y0(x) обеспечивает безусловный экстремум функционала Лагранжа (4). Применительно к голономным системам примем следующее упрощающее условие: (5) С учетом выражений (1) и (5) функционал Лагранжа перепишем в следующем виде: (6) Рассмотрим задачу обеспечения конкретного типа экстремума функционала F1. Согласно классическим рекомендациям, если функционал (1) при решении y0(x) достигает минимума, то для достижения максимума достаточно исследовать функционал: (7) где Однако при этом одна и та же система вряд ли оптимальна как по F1, так и по F2. Следовательно, актуально найти такие возможности режима работы системы, когда один и тот же критерий оптимальности позволит решать задачу как на минимум, так и на максимум. Первую задачу исследования сформулируем следующим образом: следует определить, существует ли функция yg(x), инверсная к функции y(x), удовлетворяющей условию (5), которая может быть представлена в виде инверсии функции y0(x), т.е. (8) где Следующая теорема отвечает на вышеуказанный вопрос. Теорема 1: в оптимизационных задачах типа (6) в виде задачи Лагранжа применительно к голономным системам функция связи (голономности), являющаяся одновременно решением задачи оптимизации, имеет инверсную функцию в виде (8), также отвечающую условию (5). Доказательство: с учетом выражений (5) и (8) получим: (8) Из (8) получим: (9) Из выражения (9) имеем: (10) С учетом (5) и (10) получим: (11) Следовательно, искомая инверсная функция существует и имеет вид: (12) или (13) где Таким образом, теорему 1 можно считать доказанной. Вторую исследуемую задачу сформулируем следующим образом: следует определить возможность инверсного решения оптимизационной задачи Лагранжа с использованием линеаризированного критерия (функционала) оптимальности применительно к голономных системам в виде (6), при котором в отличие от исходного решения, обеспечивающего минимум (максимум) целевого функционала, достигается его максимум (минимум). На этот вопрос отвечает следующая теорема: Теорема 2: в оптимизационных задачах типа (6) в виде задачи Лагранжа применительно к голономным системам функция связи (голономности), являющаяся одновременно решением задачи оптимизации, приводящая к минимуму (максимуму) функционала Лагранжа, может быть заменена на инверсную функцию связи, приводящую к максимуму (минимуму) этого функционала в том случае, если указанный функционал может быть линеаризован в отношении искомой функции. Доказательство: допустим, что решение y0(x) приводит функционал (6) к минимуму. В этом случае справедлива следующая запись: (14) Осуществим замену y0(x) на функцию yg(x), определяемую по выражению (13). В этом случае выражение (14) может быть записано как (15) По условию теоремы 2 f0 является линейной в отношении . Следовательно, выражение (15) может быть записано как (16) где Из (16) получим: 17) Обозначив выражение (17) перепишем как (18) Таким образом, замена функции связи y0(x), обеспечивающей минимум (максимум) целевого функционала, на дуальную функцию yg(x) позволяет решать задачу на максимум (минимум) функционала: (19) Следовательно, дуальная функция yg(x) является решением задачи (18) на максимум (минимум). Таким образом, теорема 2 доказана. 3. Модельное исследование. Рассмотрим некоторую систему атмосферных спектральных измерений в ограниченном интервале длин волн (0-λмах). Считаем, что осуществляются аэрозольные измерения и в интервале (0-λмах), где нет спектральных линий поглощения газов. Отметим, что рассматриваемый здесь пример может иметь прямое военно-прикладное значение, имея в виду случай распространения противником зараженных аэрозолей. С учетом вышеизложенного о пропускании атмосферы согласно закону Бугера-Бера вычислим по формуле (20) где - оптическая толщина аэрозоля; λ - длина волны. При единичном входном сигнале из-за малости интервала (0-λмах) сигнал на выходе фотометрического измерителя определим как (21) Введем на рассмотрение мультипликативный показатель: (22) где В (22) li является элементом множества (23) где li = li-1 + Δλ = const, (24) где можно назвать монохроматическим показателем чистоты атмосферы. Также рассмотрим интегральный полихроматический показатель (25) Потребуем выполнения следующего ограничительного условия: (26) С учетом выражений (21), (22) и (26) составим функционал Лагранжа: (27) где γ - множитель Лагранжа. Таким образом, следует определить такую оптимальную функцию при которой F1 достигает экстремума. Согласно [17-20], решение f(λ)opt, приводящее F1 к экстремуму, должно удовлетворять условию: (28) Из (28) получим: (29) Из (29) находим: (30) Из выражений (26) и (30) получим: (31) Из (31) находим: (32) Из (32) имеем: (33) (34) С учетом (29) и (34) получаем: (35) Очевидно, что при решении (35) целевой функционал (27) достигает минимума, так как вторая производная интегранта в (27) по f(x) является положительной величиной. В соответствии с условием теоремы 2 покажем, что инверсное решение (36) привело бы целевой функционал к максимуму. При малых значениях f(λ) может быть представлен в линеаризованном виде, т.е. (37) Целевой функционал (27) перепишем как (38) Таким образом, следует показать, что решение (39) является оптимальным и приводит целевой функционал к максимальному значению. Имеем: (40) Из (40) получаем: F2 = C2 - F1, (41) где Таким образом, инверсное решение (36) оптимизирует систему по целевому функционалу (41) и, следовательно, функционал F2 при решении (36) достигает максимума. Выводы. Свойство голономности различных информационных и мехатронных систем позволяет осуществить оптимизацию этих систем, приводя задачу оптимизации к виду задачи Лагранжа, где оптимизируемый функционал является суммой целевого интегрального функционала и интеграла функции голономной связи, умноженной на множитель Лагранжа. Показано, что если искомая функция голономной связи, на которую наложено интегральное ограничение, обеспечивает минимум (максимум) целевого функционала, то всегда существует такая функция, дуальная к исходной функции связи, при которой обеспечивается максимум (минимум) того же функционала.

About the authors

H. H Asadov

National Aerospace Agency

S. N Abdullayev

Azerbaijan State University of Oil and Industry

U. H Tarverdiyeva

Scientific-industrial Center «OZONE»

References

Statistics

Views

Abstract - 42

PDF (Russian) - 22

Refbacks

• There are currently no refbacks.