Полный текст

Введение. Окрестностное моделирование применяется для исследования и изучения пространственно-распределенных систем [1-3]. Динамика окрестностных моделей выражается в изменении состояний модели с течением времени [4-5]. В работе рассмотрены линейные и билинейные дискретные динамические окрестностные модели [6-13]. Приведенные два простейших класса окрестностных моделей в работе исследуются на устойчивость по критерию Ляпунова с помощью разработанной в блоке программирования математического пакета Mathcad программы. 1. Линейная и билинейная окрестностные модели. Линейные окрестностные системы являются простейшим классом окрестностного моделирования, с которого началась разработка окрестностных моделей. Далее изучались нелинейные системы, простейшим случаем которых являются билинейные окрестностные модели. Далее в (1) и (2) покажем формулы линейной и билинейной окрестностных моделей соответственно: (1) где - матрицы-параметры, - состояния модели, - входы модели, - количество узлов модели. (2) где - блочное умножение. Основное отличие линейной от билинейной окрестностной модели в том, что в линейном случае отсутствует блочное умножение. 2. Параметрическая идентификация окрестностных моделей. Параметрическая идентификация заключается в нахождении параметров заданной окрестностной модели. Для параметрической идентификации окрестностных моделей необходимо решить переопределенную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида для -го узла [14-18], где: где - входные данные модели для k-й строчки обучающей выборки; - состояния -го узла модели для k-й строчки обучающей выборки; - коэффициенты функции пересчета состояний модели; - количество реализаций всех , в некоторый текущий момент времени и в следующий момент времени , В билинейном случае матрицы изменяются, в них добавляются произведения состояний модели на входы и соответствующие им коэффициенты. 3. Условие устойчивости дискретных окрестностных моделей. Устойчивость - способность системы стремиться из различных начальных состояний к некоторому равновесному состоянию. Исследование устойчивости дискретных динамических окрестностных моделей по Ляпунову сводится к изучению расположения корней характеристического уравнения замкнутой динамической дискретной системы относительно единичной окружности. Покажем характеристическое уравнение дискретной системы: (3) где n - порядок системы, - коэффициенты характеристического уравнения, x - собственные числа, [19-20]. Чтобы динамическая дискретная окрестностная модель была устойчивой по критерию Ляпунова, необходимо составить матрицы для каждого узла окрестностной модели, найти собственные числа характеристического уравнения. Если собственные числа характеристического уравнения каждого узла по модулю меньше единицы, то данная система будет устойчива по критерию Ляпунова. 4. Программа для построения и исследования окрестностных моделей. В данной работе описывается программа для построения и исследования дискретных динамических окрестностных моделей на устойчивость, которая была выполнена в блоке программирования математического пакета Mathcad. На рисунке представлена блок-схема алгоритма программы, на которой показана последовательность выполнения шагов. С помощью данной программы можно проводить параметрическую идентификацию и проверять на устойчивость два класса окрестностных моделей, а именно линейные и билинейные динамические окрестностные модели. Для того чтобы проверить на устойчивость линейную или билинейную динамическую окрестностную модель, вначале необходимо прописать в программе путь из файла Excel формата .xlsx к рассматриваемой окрестностной модели, который задан в качестве переменной Path. Зададим циклы по номеру узлов i и номеру координат вектора состояния j. Далее считываем из файла Excel матрицы D и F, для этого существует команда определяющая границы матриц, которые необходимо использовать для дальнейших вычислений. Рис. Блок-схема алгоритма программы Вычисляем вектор-столбец Х для всех параметров каждого узла по формуле Затем производим разбиение вектор-столбца Х на части по формулам (2) и (3), т.е. выделяем матрицы a, b, c, e. Отличие в проверке на устойчивость линейной динамической окрестностной модели от билинейной окрестностной модели в том, что в линейном случае отсутствует блочное умножение, т.е. составляем матрицы из вектора Х. Блочная часть «e» в линейном случае обнуляется. В данной программе блоки - это условия блочного умножения, которые выполняются только для билинейной окрестностной модели. Системы уравнений дискретных линейных и билинейных динамических окрестностных моделей с пятью узлами в общем виде имеют вид (31) и (32). Присваиваем чтобы сохранить исходную матрицу «c» для дальнейшего вычисления собственных чисел матрицы Якоби для каждого узла. Для нахождения точек равновесия линейной или билинейной окрестностной модели необходимо приравнять систему к нулю. В программе Mathcad производим замену Далее упрощаем формулы (2) и (3) следующим образом: 1. Вводим переменную где V - вектор управлений, a, b - матрицы. 2. Вводим переменную M, которая содержит все семь блоков каждой матрицы представленной в виде где i - номер узла. 3. Вводим промежуточную матрицу где - число. Затем матрице P присваивается следующее значение: Для нахождения точек равновесия вычислим матрицу K, которая в линейном и билинейном случае будет следующей: Найдем точки равновесия q для каждого узла путем решения формулы и сохраним результаты в файле Excel, используя следующий синтаксис который означает, что для каждого узла переменная Z сохраняется в файле Excel по заданному пути Path и записывается в лист «xi». Функция в блоке программирования Mathcad обозначает название листа в файле Excel, где запись - это лист «xi». Чтобы проверить модели на устойчивость, необходимо найти собственные числа для каждой точки равновесия линейной и билинейной динамических окрестностных моделей с помощью встроенной в Mathcad функции где - матрица Якоби для каждого узла i. Согласно критерию Ляпунова для проверки устойчивости дискретных динамических окрестностных моделей система устойчива, если собственные числа для каждого узла будут по модулю меньше единицы. Выводы. Таким образом, рассмотрены линейные и билинейные окрестностные модели, выполнена их параметрическая идентификация. Произведено исследование линейных и билинейных дискретных динамических окрестностных моделей на устойчивость по критерию Ляпунова. Была реализована программа в Mathcad для параметрической идентификации и проверки окрестностных моделей на устойчивость. Данная программа позволяет разрабатывать и исследовать линейные и билинейные окрестностные модели. С помощью представленной программы можно проводить изучение свойств пространственно-распределенных объектов и процессов сложных производственных систем. В дальнейшем планируются рассмотрение вопроса управления динамическими окрестностными моделями и его программная реализация.

Об авторах

И. А Седых

Липецкий государственный технический университет

А. М Сметанникова

Липецкий государственный технический университет

Список литературы

Статистика

Просмотры

Аннотация - 20

PDF (Russian) - 15

Ссылки

• Ссылки не определены.