Full Text

Введение Процесс производства значительной части полимерных изделий и конструкций содержит этап охлаждения материала, сопровождающийся его кристаллизацией. Технологические и остаточные напряжения, формирующиеся вследствие температурной и деформационной неоднородностей, могут приводить к снижению эксплуатационных качеств изделий и даже их разрушению еще на стадии изготовления. Поэтому актуальной является проблема описания термомеханических процессов в полимерных материалах в условиях фазового перехода. Модели поведения таких сред должны включать определяющие соотношения, единым образом описывающие связь тензоров напряжений и деформаций в широком интервале температур, включающем диапазон фазовых превращений. Для реальных процессов и изделий решение задач описания закономерностей формирования полей технологических напряжений возможно только численными методами. Поэтому важное значение приобретает построение удобного в реализации численного алгоритма решения краевой задачи термомеханики кристаллизующейся полимерной среды. Хорошо известны модели поведения отверждающихся полимерных материалов, предложенные в разное время в работах [1-3]. Общая черта этих моделей - стремление получить возможность простой оценки остаточных напряжений. Ряд авторов при построении моделей термомеханического поведения для кристаллизующегося полимера предполагает упругое поведение материала и малость деформаций. Например, в работе [4], в рамках указанных предположений, с использованием феноменологического подхода разработана система определяющих уравнений, описывающих термомеханическое поведение аморфно-кристаллических полимеров. В работах [5-9] моделирование термомеханического поведения полимера проведено с учетом больших деформаций. При этом многие из предлагаемых моделей поведения полимера основаны на упруговязкопластическом подходе [7-10], разработаны для конкретных полимерных материалов [5, 10] или определенных видов напряженно-деформированного состояния. Например, в работе [6] разработана модель описания механического поведения полимера в диапазоне температур, включающем процессы стеклования, для случаев одноосного нагружения и плоского напряженного состояния. В [8] рассматривается развитие упруговязкопластической теории для моделирования зависимости отклика аморфных полимеров от скорости деформирования и температуры с учетом больших деформаций. В последнее время интерес к вопросам описания деформационного поведения полимеров при фазовых превращениях вызван все более широким использованием их в качестве материалов с памятью формы, поскольку в основном эффекты памяти формы в полимерах связаны с фазовыми или релаксационными переходами. Различным аспектам деформационного поведения полимеров, связанным с исследованием эффектов памяти формы, посвящено большое число публикаций [11-15]. Большинство предлагаемых в них моделей используют гипотезу о малости деформаций и предназначены для описания поведения полимера в достаточно узком температурном диапазоне и моделирования конкретного механизма памяти формы и не могут описывать другие термомеханические эффекты. В настоящей работе рассматривается построение феноменологических определяющих соотношения для кристаллизующегося полимера с учетом больших деформаций, непрерывным образом отражающих связь тензоров напряжений и деформаций в широком диапазоне изменения температур. Соотношения основаны на представлении среды в виде композиции расплавленного и полностью закристаллизованного материала с учетом истории непрерывного зарождения и деформирования новой фазы в интервале температур фазовых превращений. Также в работе рассматривается модельная задача о зарождении раковин в кристаллизующейся среде, демонстрирующая возможности применения предлагаемых определяющих соотношений. 1. Постановка краевой термомеханической задачи для кристаллизующегося полимера. В предположении, что технологические напряжения не влияют на температуру и протекание процесса кристаллизации, возможно разделение задачи на две самостоятельные задачи: 1) теплокинетическая задача - задача по определению полей распределения температуры и степени кристаллизации; 2) краевая задача по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) затвердевающей системы. Интенсивное тепловыделение при кристаллизации и теплоотдача в окружающую среду, низкая теплопроводность полимерных материалов, зависимость процесса кристаллизации от температуры приводят в процессе изготовления изделий из полимеров к существенно неоднородным полям температуры и степени кристаллизации. Прогнозирование температурного и конверсионного полей в ходе процесса может быть осуществлено в рамках известной теплокинетической модели, согласно которой постановка задачи включает: - нестационарное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами (1) - уравнение кинетики неизотермической кристаллизации [16, 17] (2) - начальные условия , (3) - граничные условия по температуре, где - удельная теплоемкость; - плотность материала; - коэффициент теплопроводности; - температура; - время; - радиус-вектор произвольной точки тела; - скорость выделения тепла в ходе протекания реакции кристаллизации; - тепловой эффект реакции кристаллизации; - степень кристаллизации материала, которая в ходе процесса принимает значения в пределах от нуля до некоторого предельного значения, зависящего от температуры и представляющего собой равновесную степень кристаллизации ; - универсальная газовая постоянная; - температура плавления; - макрокинетические константы, определяемые экспериментально; - область затвердевающего полимера. Уравнения (1) и (2) образуют связанную систему уравнений и решаются совместно. Результатом решения теплокинетической задачи являются пространственно-временные поля распределения температуры и степени кристаллизации, с учетом которых решается задача определения НДС изделия. Для постановки краевой задачи относительно НДС затвердевающей системы необходимы физические соотношения, которые в силу специфики задачи непрерывным образом отражают связь тензоров напряжений и деформаций в широком диапазоне изменения температур. Эти соотношения были получены с учетом больших деформаций в рамках следующих гипотез и положений: - кристаллизующаяся полимерная система в каждый момент времени в каждой точке системы рассматривается как смесь расплава полимера и полностью закристаллизовавшегося продукта, относительная доля которых в общем объеме характеризуется величиной степени кристаллизации ; - материал в процессе превращения и дальнейшего деформирования остается макроизотропным; - для описания механического поведения расплава полимера и закристаллизовавшегося полимера примем упругий закон. Для описания поведения среды при конечных деформациях будем использовать понятия начальной (соответствующей моменту времени ) и текущей (соответствующей моменту времени ) конфигураций [18]. Пусть начальная конфигурация определяется радиусом-вектором , а текущая конфигурация - радиусом-вектором , где - обобщенные координаты. Пусть в момент времени закристаллизовалась доля полимера, характеризуемая приращением степени кристаллизации . Градиент места из конфигурации, в которой появилась доля кристаллической фазы , в текущую конфигурацию может быть записан следующим образом [18]: (4) где - градиент места из конфигурации, соответствующей моменту времени , в конфигурацию, соответствующую моменту времени . Для градиента места из конфигурации, соответствующей моменту времени и кристаллизации доли полимера, характеризуемой приращением степени кристаллизации , в текущую конфигурацию справедливо следующее выражение: Рассмотрим п-й дискретный шаг по превращению : . Учитывая, что , ,…, , выразим все градиенты места через градиент места, связывающий начальную и текущую конфигурации: , ,….., (5) где - градиент места из начальной конфигурации в конфигурацию, соответствующую приращению степени кристаллизации . Для получения определяющих соотношений необходимо записать выражение для упругого потенциала системы [19], зависящего от тензора меры деформаций Коши-Грина. Упругий потенциал кристаллизующейся системы может быть представлен в виде суммы упругого потенциала для аморфной фазы и упругого потенциала для кристаллической фазы , (6) где - доля потенциала, которую привносит в общий потенциал часть кристаллической фазы, соответствующая приращению степени кристаллизации ; - тензор меры деформаций Коши-Грина [19], соответствующий деформированию от начального до текущего момента времени; - тензор меры деформаций Коши-Грина, соответствующий деформированию от момента времени до текущего момента времени. После осуществления предельного перехода в соотношении (6) по степени кристаллизации выражение для упругого потенциала можно записать в виде (7) Используя в качестве упругого потенциала двухконстантный потенциал Пенга-Ландела [20], выражение связи тензора Пиолы-Кирхгофа второго рода с тензором меры деформаций Коши-Грина записываем следующим образом: (8) где , , - механические характеристики аморфной и закристаллизовавшейся части материала соответственно; - первый и третий главные инварианты тензора второго ранга; - метрический тензор. Вариационная постановка краевой квазистатической задачи термомеханики кристаллизующейся среды может быть получена с использованием процедуры Бубнова-Галеркина [20] и в случае отсутствия внешних силовых воздействий принимает вид , (9) где - тензор деформаций Коши-Грина; - начальный объем тела. К достоинствам рассматриваемой постановки стоит отнести то, что она сформулирована в исходной конфигурации, что существенно упрощает построение численного алгоритма расчета. При этом полагается нелинейность геометрических соотношений, обусловленная необходимостью учета больших деформаций. Сложность получения решения задачи в форме (9) обусловлена как нелинейностью постановки, так и проблемами, связанными с необходимостью учета возникающих температурных и структурных деформаций. При решении модельной задачи будем полагать, что зарождение полости в материале происходит при достижении объемной деформации в окрестности рассматриваемой точки некоторого предельного значения. Для придания поведению рассматриваемого тела большей реалистичности предположим, что предельная величина деформации разрушения несколько варьируется по объему. Разрушение будем моделировать занижением в окрестности рассматриваемой точки модуля кристаллической фазы. С учетом неосесимметричного характера зарождения полостей решение механической задачи будет рассматриваться в декартовой системе координат для случая плоского деформированного состояния. В данном случае компоненты тензоров и конкретизируются следующим образом: , , где , , , ; - компоненты тензора деформаций, отражающие переход из промежуточной конфигурации (соответствующей времени ) в текущую конфигурацию (соответствующую времени t). 2. Выполнение процедуры линеаризации исходной постановки с учетом структурных и температурных деформаций Рассматриваемый в данной работе алгоритм предполагает линеаризацию постановки (9), что позволяет свести процедуру получения решения исходной нелинейной задачи к решению последовательности линейных упругих краевых задач в рамках теории малых деформаций. Линеаризация геометрических соотношений может быть выполнена путем разложения исходного движения тела на совокупность малых движений, вызываемых малыми приращениями внешних воздействий. Согласно идее наложения малых деформаций на конечные [21, 22], движение тела из начальной конфигурации в конечную представимо в виде суперпозиции движений тела через промежуточные конфигурации. Таким образом, перемещения тела в произвольный момент времени представимы в виде суммы накопленных и малых перемещений, описывающих переход из промежуточной конфигурации в конечную. Рассмотрим движение тела, приводящее его к моменту времени из начальной недеформированной конфигурации в конфигурацию , через промежуточную конфигурацию . Положение некоторой точки в начальной конфигурации определим радиусом-вектором , в конфигурациях и радиусом-векторами и соответственно. Пусть и - векторы перемещений, переводящие тело из конфигурации в и из в соответственно. Каждый из этих векторов является функцией обобщенных координат . Предполагается, что конфигурация близка к конечной и, соответственно, перемещения малы. В конфигурациях , введем обычным образом локальные основные и сопряженные базисы где и - контравариантные компоненты метрического тензора в начальной и промежуточной конфигурациях соответственно. Операторы Гамильтона в конфигурациях и определены следующим образом: Тогда тензоры-градиенты места, описывающие переход из начальной конфигурации в промежуточную, из промежуточной в конечную и из начальной в конечную, могут быть записаны в виде Градиент места может быть представлен через тензоры и следующим образом: С учетом этого тензор меры деформаций Коши-Грина записывается в виде Тензор меры деформаций Коши-Грина , описывающий переход из в , с учетом малости может быть преобразован к виду , где - тензор малых деформаций. Тензор деформации Коши-Грина, описывающий переход из начальной конфигурации в конечную, записывается в форме и может быть представлен в виде где - вектор перемещений из начальной конфигурации в промежуточную; u - вектор малых перемещений из промежуточной в конечную, операторы Гамильтона определены относительно исходной и промежуточной конфигураций, тензор соответствует деформациям, возникающим при переходе из начальной конфигурации в промежуточную, - из промежуточной в конечную. Для плоского деформированного состояния в декартовой системе координат операторы Гамильтона записываются следующим образом: , где - компоненты векторов и u соответственно, . Окончательно для плоского деформированного состояния в декартовой системе координат линеаризованные геометрические соотношения имеют вид Процедура линеаризации физических соотношений состоит в разложении соотношения (8) в ряд Тейлора с учетом только линейных слагаемых. В результате линеаризованные физические соотношения, определяющие компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа второго рода принимают вид (10) где, например, , Величины - приращения компонент тензора деформаций Коши-Грина на рассматриваемом шаге. При построении физических соотношений в случае использования нелинейных уравнений состояния существенным является вопрос учета температурных деформаций материала. Ряд авторов [23, 24] предлагают использовать введение линейного слагаемого, зависящего от приращения температуры, аналогично тому, как это принято в случае использования линейных соотношений. В работе [25] используется подход, основанный на линеаризации физических соотношений и предположении о малости температурных деформаций на рассматриваемом переходе. Очевидно, данная методика обладает большей общностью, хотя сразу стоит отметить существенные сложности реализации, связанные с необходимостью выделения упругой механической составляющей кинематики процесса. В настоящей работе рассматривается вопрос построения численного алгоритма решения задач определенного класса (определения технологических напряжений в ходе процесса получения полимерных изделий), в которых деформации, являясь значительными по величине, все-таки остаются умеренными (порядка 10 %). С учетом ограниченности деформаций в рассматриваемом процессе линеаризованные физические соотношения в матричном виде могут быть записаны следующим образом: где - тензор суммы малых температурных и структурных деформаций, возникающих при переходе из промежуточной конфигурации в конечную; - для аморфной фазы; - для кристаллической фазы; - коэффициенты температурного расширения для аморфной и кристаллической фаз соответственно; - коэффициент структурной усадки; - единичный тензор; тензор описывает переход из конфигурации, соответствующей моменту времени τ, в промежуточную; , - тензоры четвертого ранга «касательных жесткостей» аморфной и кристаллической фаз, компоненты которых зависят от и . С учетом выполненных процедур линеаризации выражение (9) может быть преобразовано к виду (11) Таким образом, определение эволюции поля перемещений с течением времени сводится к решению последовательности линеаризованных задач относительно приращения вектора перемещений на временных шагах. 3. Разработка и реализация численных процедур решения поставленных краевых задач Получение решения краевых задач механики для тел сложной пространственной конфигурации невозможно без использования численных методик. Среди существующих численных подходов в настоящее время наиболее широко применяется метод конечных элементов [26], который и был выбран для построения дискретного аналога рассматриваемой задачи. Применение конечно-элементного подхода к аппроксимации геометрических и физических соотношений приводит к получению линейных алгебраических соотношений, которые могут быть представлены в матричной форме [26]: , где - вектор узловых неизвестных (приращений перемещений на рассматриваемом шаге); - матрица градиентов элемента; - вектор приращения температурных и структурных деформаций; , - матрицы «касательных» жесткостей аморфной и кристаллической фаз материала. Последнее соотношение может быть преобразовано к виду , где . В матричной форме соотношение (8) можно записать как , где означает суммирование по элементам; - локальная матрица жесткости элемента; , - локальные векторы узловых сил, обусловленные наличием накопленных напряжений, температурными и структурными деформациями: , , . В результате сборки глобальной системы для всего ансамбля конечных элементов получим , (12) где - глобальная матрица системы, обладающая симметрией и зависящая от вектора накопленных перемещений ; - глобальные векторы «фиктивных» усилий, обусловленные накопленными к рассматриваемому шагу напряжениями и возникающими на рассматриваемом переходе температурными и структурными деформациями. Таким образом, получаем последовательность линейных задач, сформулированных относительно приращений узловых перемещений. Оператор левой части соотношения (12) требует переопределения на каждом шаге, что обусловливает существенную вычислительную нагрузку при решении задач большой размерности. Для случая решения двумерных задач рассматривается построение конечно-элементного алгебраического аналога с использованием трехузлового конечного элемента с линейной аппроксимацией узловых неизвестных, в качестве которых приняты приращения перемещений. Все соотношения получены в базисе исходной конфигурации. 4. Решение модельной задачи описания эволюции дефекта типа раковины в кристаллизующемся полимерном цилиндре Рассматривается задача о протекании процесса кристаллизации и формировании дефекта типа раковины в полимерном цилиндре. Изначально материал цилиндра (полиэтилен) имеет температуру 430 К, что превышает температуру плавления. Цилиндр диаметром 0,2 м охлаждается по внешнему контуру водой, температура которой составляла 293 К. При решении теплокинетической задачи на границе тела задаются условия конвективного теплообмена. Коэффициент теплоотдачи на поверхности принимается равным 550 Вт/(м2×К). В процессе охлаждения в материале протекают процессы кристаллизации, сопровождающиеся выделением тепла. Краевая задача нестационарной теплопроводности решалась методом конечных элементов. Для решения задачи кинетики кристаллизации использовался разностный метод Рунге-Кутты [27]. Учитывалась зависимость тепломеханических свойств от температуры. Значения теплофизических и механических параметров, зависимость удельной теплоемкости, коэффициента теплопроводности и плотности полиэтилена от температуры взяты из литературных источников [28-30]. При решении задачи определения НДС конструкции задавались кинематические граничные условия, гарантирующие отсутствие смещений тела как абсолютно жесткого. Эволюция полей температуры и степени кристаллизации представлена на рис. 1. Закономерности эволюции раковины в цилиндре иллюстрируются рис. 2. а б в Рис. 1. Распределение температуры и степени кристаллизации для моментов времени: а - 7800 с; б - 22800 с; в - 37800 с Fig. 1. Distribution of temperature and crystallization degree for time instants: а - 7800 s; b - 22800 s; c - 37800 s а б в г Рис. 2. Образование раковины для моментов времени: а - 16550 с; б - 17550 с; в - 18300с; г - 19550 с Fig. 2. Formation of the shell for time instants: а - 16550 s; b - 17550 s; c - 18300 s; d - 19550 s Заключение Таким образом, выполнена формулировка двумерных наследственных краевых задач нелинейной термомеханики кристаллизующихся полимерных материалов в рамках теории конечных деформаций. Предложен и реализован метод линеаризации исходной постановки с учетом структурных и температурных деформаций. Разработан и реализован численный алгоритм решения поставленной плоской краевой задачи с целью исследования особенностей эволюции напряженно-деформированного состояния в полимерной конструкции. Получено численное решение модельной задачи о формировании дефекта типа раковины в кристаллизующейся полимерной пластине.

About the authors

R G Kulikov

Perm National Research Polytechnic University

T G Kulikova

Perm National Research Polytechnic University

O Yu Smetannikov

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 227

PDF (Russian) - 69