Full Text

Введение Описание процесса кристаллизации в рамках решения прикладных задач, а также численная реализация новых определяющих соотношений является одной из актуальных проблем механики кристаллизирующегося тела [1, 2 и др.]. При этом на настоящий момент актуальными остаются вопросы математического описания процесса кристаллизации, а именно перехода материала из жидкого состояния в твердое, а также численная реализация данных моделей. Развитие теорий описания поведения расплав-твердое тело позволит эффективно моделировать технологический процесс селективного лазерного сплавления [3-7], в том числе и построение определяющих соотношений, позволяющих учесть появление остаточных напряжений [8] в остывающей заготовке. Многие работы в данной области научных исследований базируются на выводе определяющих соотношений и численно-экспериментальных исследованиях возможностей разработанных математических моделей. Например, в [1, 9] подробно рассмотрена проблема описания термомеханического поведения полимерных материалов в условиях релаксационных переходов. Стоит отметить, что моделирование определяющих соотношений для описания процесса кристаллизации с релаксационными переходами имеет широкое практическое применение: машиностроение [10], механика полимерных материалов [11], авиапромышленность [7, 12], металлургия [13-15], формирование заданной микроструктуры [16-18], изготовление функциональных материалов [19-22] и др. Часто формирование материала сопровождается затвердеванием расплава, когда в жидкой среде зарождаются зерна с кристаллической структурой, а фазовые переходы приводят к изменению многих механических, теплофизических характеристик, что, в свою очередь, сказывается на напряженно-деформированном состоянии детали, как общем, так и локальном. При этом данная работа посвящена построению математической модели, позволяющей описать термомеханические процессы, протекающие в конструкции, в широком температурном диапазоне. На основе методологии ряда работ [8, 23-25] об исследовании поведения характеристик полимерных материалов в условиях релаксационных переходов была получена аналогия для поведения металлов с учетом смены фаз. Таким образом, в рамках научного исследования рассмотрено применение известных определяющих соотношений вязкоупругого растущего тела [26] для затвердевающего металлического сплава. Рассматривается модельная задача кристаллизации изотропного металлического материала при неравномерном охлаждении тела. Исходное состояние - расплав, описывается как вязкая жидкость. При фазовом переходе часть материала кристаллизуется, новая структура описывается моделью линейно-упругого тела. Исследуемая система представляет собой двухкомпонентную смесь твердой и жидкой доли, объемное содержание каждой определяется степенью кристаллизации. 1. Математическая постановка задачи кристаллизации Общая математическая постановка задачи включает в себя уравнения равновесия, физические и геометрические соотношения, уравнения теплопроводности и степени кристаллизации, а также дополняется начальными и граничными условиями. Одной из важных проблем математического моделирования процессов кристаллизации материалов является вывод определяющих соотношений и постановка краевой задачи механики. Рассмотрим, как меняется упругий потенциал при постепенном затвердевании расплава. Пусть в момент времени произошло последующее изменение степени кристаллизации на величину . Таким образом, суммарная степень приращения будет равна . Объемная часть незакристаллизовавшейся доли материала, пропорциональная , перешла в твердое состояние и с момента времени будет совместно деформироваться с ранее затвердевшей долей материала, пропорциональной . Аналогичные рассуждения проводятся для каждого временного шага. Данный подход подробно описан в работе [26]. Авторами [26] предложен вариант построения феноменологических определяющих соотношений для полимерных материалов, который отражает связь между тензором напряжений и деформаций в широком диапазоне изменения температур непрерывным образом. При этом среда исследования представляется в виде композиции расплавленного и полностью закристаллизованного материала в интервале температур фазовых превращений. В данной работе аналогичные рассуждения применяются к металлическим материалам, которые представляют собой двухкомпонентную смесь твердой и жидкой доли. Осуществляя предельный переход, потенциальная энергия системы принимает вид (1) где - потенциал расплава; - потенциал кристаллической доли; - степень кристаллизации материала, характеризующая текущее объемное содержание каждого компонента на данный момент времени; - тензор полной деформации до момента следующего изменения степени приращения кристаллизации; - тензор полной деформации на предыдущем временном шаге; - время. Предполагается малость деформаций, поэтому можно записать определяющие физические соотношения в виде: где и - компоненты тензора напряжений и деформаций соответственно. Дифференцируя выражение (1), получим связь напряжений с деформациями в системе. Для изотропного тела упругий потенциал может зависеть только от инвариантов тензора деформаций и скоростей деформаций [27]. Приведем покомпонентное представление определяющих соотношений. Физические соотношения для закристаллизовавшейся доли , (2) где - первый инвариант тензора деформаций; - символ Кронекера. Физические соотношения для расплава (3) где - гидростатическое давление; и - коэффициенты вязкости. Подставим зависимости напряжений от деформаций (2)-(3) в продифференцированное соотношение (1) и получим определяющие соотношения системы из двухкомпонентной смеси твердой и жидкой долей в виде (4) Процесс кристаллизации протекает в широком температурном диапазоне и сопровождается структурными изменениями. Стоит заметить, что силовые деформации в выражении (4) не равны полным, а имеют вид , (5) где - полная деформация, - температурная деформация, - деформация, вызванная усадкой. Температурные деформации имеют вид где - коэффициент теплового линейного расширения; - температура в текущий момент времени; - начальная температура. Второе равенство выполняется благодаря тому, что воздействие температур ведет к изменению объема и не меняет формы. Структурная усадка материала вносит вклад в общую деформацию только начиная со времени своего зарождения и остается постоянной: С учетом выражения (5) соотношения (4) представляют собой интегродифференциальные уравнения связи напряжений, деформаций и скоростей деформаций с учетом истории деформирования для твердой доли. Для полной постановки задачи необходимо выбрать функцию, определяющую приращение степени кристаллизации на протяжении всего фазового перехода. В ходе исследования рассматривается интервал времени, за который изделие из расплава полностью кристаллизуется и станет представлять собой упругое тело. Начальную температуру выбираем выше температуры плавления. В дальнейшем время, при котором начинается фазовый переход, будем называть временем плавления , а при котором завершается - временем кристаллизации . Функция, определяющая приращение степени кристаллизации, находится экспериментально, но ввиду нехватки входных данных для модельной задачи зададим значения этой функции приблизительно, исходя из физического смысла. Производная изменения степени кристаллизации по температуре при фазовом переходе выбирается в форме нормального закона распределения Гаусса: (6) где , и - температуры плавления и кристаллизации соответственно; - температура пика приращения степени кристаллизации. Проинтегрировав (6), получим выражение для определения объемной доли затвердевшего материала через функцию Лапласа : (7) где пределы интегрирования Степень кристаллизации меняется от нуля до единицы в интервале от времени плавления до времени кристаллизации. Рассматриваемая задача термомеханики кристаллизующегося материала относится к классу квазистатических задач. Численное решение получается в два этапа: определение поля температур и получение напряженно-деформируемого состояния на его основе. Не учитывается влияние напряженно-деформированного состояния на поле температур в процессе фазового перехода. Температурная задача включает в себя нестационарное уравнение теплопроводности (8) где - удельная теплоемкость среды; - плотность среды; - коэффициент теплопроводности; - плотность внутренних источников в процессе кристаллизации. 2. Результаты численного моделирования одномерной задачи кристаллизации Для демонстрации полученных определяющих соотношений рассматривается задача о неравномерном управляемом остывании стержня с температуры выше точки плавления [28]. Материал стержня - нержавеющая сталь 12Х18Н10Т. Материал первоначально находится в расплавленном состоянии, подвергается фазовому переходу и в конечном состоянии представляет собой полностью закристаллизовавшееся тело. Охлаждение стержня происходит с правой границы. Реализуется одноосное напряженное состояние (рис. 1). y l x 0 z Рис. 1. Расчетная область одномерной задачи кристаллизации Fig. 1. Calculated area of the linear crystallization problem Математическая постановка одноосной краевой задачи термомеханики дополняется начальными и граничными условиями (9) (10) где - начальная температура; f(t) - заданная функция охлаждения. Задача решается с применением численных методов в пакете MatLab. Ввиду нетривиального представления определяющих соотношений сравниваются реализации по методу конечных разностей (МКР) и методу конечных элементов (МКЭ). Поставленная задача термомеханики предполагает определение поля температур, одинаковое для обоих методов. Учтена зависимость теплофизических и механических свойств материала от температуры как следствие от координаты и времени. Для реализации МКР сформировано уравнение относительно перемещения вдоль оси x: (11) Рис. 2. Поле температур (а) и изменение степени кристаллизации (б) в стержне Fig. 2. Temperature field (a) and change of the crystallization degree (b) in the rod Рис. 3. Перемещения (а) и полные деформации (б) стержня Fig. 3. Displacements (a) and total strains (b) of the rod Разностная схема, применяемая для аппроксимации выражения (11), является неявной по пространственной координате. Для решения задачи в перемещениях МКЭ [29] удалось представить определяющие соотношения в форме закона Гука: Введенные замены будут выполнять роль начальных напряжений, а выражение в квадратных скобках является матрицей констант. Оценка модели проводится при сравнении численных решений по МКР и МКЭ для задачи остывания стержня начиная с температуры выше точки плавления. Распределение температуры и степень кристаллизации в стержне на каждом временном слое для двух вариантов численной реализации исследования одинаковые и представлены на рис. 2, а, б соответственно. Результаты по перемещениям и деформациям оказались качественно одинаковыми, наблюдалось сжатие стержня при выполнении граничных условий. В рамках работы проведена оценка сходимости численного решения задачи, ранее описанная в [30]. Расхождение между методами несущественны; на рис. 3 представлены результаты по перемещениям и деформациям на последнем временном слое МКЭ. Следует отметить, что при численной реализации модели МКР возникли сложности в аппроксимации интегро-дифференциального уравнения, выведенного для решения краевой задачи в перемещениях [30]. Картина напряжений оказалась нефизичной. Погрешность вычислений привела к потере устойчивости метода. Поэтому дальнейшие исследования проводятся при использовании только МКЭ. 3. Результаты численной реализации плоской задачи кристаллизации Далее в рамках апробации определяющих соотношений процесса кристаллизации функциональных материалов рассмотрена задача о неравномерном управляемом остывании пластины из нержавеющей стали 12Х18Н10Т начиная с температуры выше точки плавления. Сталь первоначально находится в расплавленном состоянии, подвергается фазовому переходу и в конечном состоянии представляет собой полностью закристаллизовавшееся тело. Реализуется плоское напряженное состояние (рис. 4). x y a b Рис. 4. Расчетная область двумерной задачи кристаллизации Fig. 4. Calculated area of the two-dimensional crystallization problem Математическая постановка двумерной краевой задачи термомеханики дополняется начальными и граничными условиями (12) (13) Остальные наружные поверхности являются свободными: . Двумерная задача решается по аналогии с одномерной, определяющие соотношения приводим к форме закона Гука, только теперь они представляются в матричной форме: . Охлаждение пластины происходит с правого края. При этом рассматривается промежуток времени, за который температура в каждой точке пластины не будет превышать температуры кристаллизации. Задача теплопроводности решается по методу переменных направлений, все физические константы зависят от температуры и как следствие от координат и времени. Поле температур на последнем временном шаге представлено на рис. 5. Рис. 5. Поле температур в пластине на последнем временном шаге Fig. 5. Temperature field in the plate at the last time step В процессе кристаллизации пластина меняла форму, происходило сжатие в обоих направлениях. Перемещения узлов пространственной области тела в начальный и конечный (в десятикратном увеличении) моменты времени представлены на рис. 6. На рис. 7 представлены деформации в пластине, полученные в рамках решения задачи. Наибольшие по модулю значения нормальных деформаций наблюдаются на охлаждаемом крае пластины. Характер деформирования во многом определяется температурным полем. Картины напряжений на последнем временном слое представлены на рис. 8. Значения напряжений не превышают предел пропорциональности для исследуемой стали 12Х18Н10Т. Максимальные значения, как и ожидалось, наблюдаются в заделке. Рис. 6. Конечно-элементная сетка до деформирования (а) и на последнем временном шаге (б) Fig. 6. The finite element mesh of the plate before deformation (a) and at the last time step (b) Рис. 7. Деформации в пластине (а) и (б) Fig. 7. Strains in the plate (a) and (b) Рис. 8. Напряжения в пластине (а) и (б) Fig. 8. Stresses in the plate (a) and (b) Анализ результатов численного моделирования процесса кристаллизации с учетом смены фаз металла в одномерной и двумерной постановках позволяет судить о возможности применения полученных математических моделей для описания процесса лазерного сплавления с учетом явлений коробления, усадки, остаточных деформаций и напряжений. Полученные результаты решения модельных задач кристаллизации описывают процесс формирования свойств затвердевшего материала в упрощенной постановке. В дальнейшем планируется усложнение модели за счет многоуровневого моделирования формируемых термомеханических свойств кристаллизующегося материала, что позволит управлять получаемой микроструктурой материала и в конечном счете его эксплуатационными характеристиками. Заключение В ходе работы удалось получить новые физические соотношения и построить математическую модель на их основе, которая позволяет описать процесс фазового перехода при кристаллизации изотропного металлического материала с учетом температурных деформаций и структурной усадки. Теоретические исследования были проведены на одномерных и двумерных численных моделях. Численная реализация моделируемых процессов осуществлялась МКР и МКЭ в MatLab без использования стандартных функций математического пакета. Все математические операции и методы прописаны программным кодом, который прошел тестирование и отладку. В работе представлены картины напряженно-деформированного состояния для каждого случая. Как итог приведем некоторые результаты решения задачи численного моделирования процесса кристаллизации при неравномерном охлаждении. 1. Построены новые определяющие соотношения, описывающие возникновение и изменение полей напряжений в изотропном металлическом материале при кристаллизации с учетом температурных деформаций и структурной усадки. 2. На основе новых физических соотношений построены математические модели, позволяющие описать процесс фазового перехода в изотропном материале. 3. Осуществлена полная постановка краевой задачи кристаллизации стержня из изотропного металлического материала. 4. Выполнена численная реализация процесса кристаллизации стержня из изотропного материала при неравномерном охлаждении двумя численными методами в пакете MatLab: МКР и МКЭ. 5. Произведена оценка сходимости численного решения задачи о кристаллизации стержня из изотропного материала при неравномерном охлаждении: - выявлена тенденция накопления погрешности численного решения МКР, связанная с упрощенной схемой аппроксимации: при замене дифференциальных операторов конечно-разностными аналогами не учитывалась зависимость физических переменных и степени кристаллизации от координаты. Установлено, что при устранении ошибки решение МКР расходится; - установлено, что численное решение задачи кристаллизации стержня МКЭ сходится и удовлетворяет всем граничным условиям. 6. Реализовано численное моделирование задачи о неравномерном управляемом остывании пластины начиная с температуры выше точки плавления МКЭ: сделана оценка сходимости численного решения, проанализировано деформационное поведение конструкции в процессе усадки, получена конечная геометрия пластины при кристаллизации, сделана оценка полей напряжений и деформаций, установлено выполнение граничных условий во время всего процесса кристаллизации. Разрабатываемые теоретические основы моделей кристаллизующихся тел показали хорошую степень применимости в рамках моделирования технологического процесса селективного лазерного сплавления в части описания процессов взаимодействия расплав-твердое тело и определения коробления тела вследствие появления остаточных напряжений в остывающей заготовке.

About the authors

T S Suhodoeva

Perm National Research Polytechnic University

A A Kamenskikh

Perm National Research Polytechnic University

P V Maksimov

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 150

PDF (Russian) - 55