Full Text

Введение В статье исследуются резонансные свойства стержня, сгорающего с одного конца. Объект исследования относится к широкому кругу колеблющихся одномерных объектов с движущимися границами [1-20, 24-26, 30-32, 34, 35] и нагрузками [27-29, 33]. Такие объекты широко распространены в технике. Это канаты грузоподъёмных установок [2, 10], гибкие звенья передач [1], балки [3, 16], лентопротяжные механизмы [12], конвейеры [14, 16] и т.д. Наличие условий на движущихся границах делает неприемлемыми для решения известные методы математической физики, пригодные для задач с фиксированными границами. Точные решения получены только для волнового уравнения при ограниченном числе законов движения границ [4, 6]. Для решения в основном используются приближённые методы [2, 20]. Сложность получаемых решений объясняет тот факт, что только в ограниченном числе работ приводятся количественные результаты. В основной массе работ вязкоупругие свойства колеблющегося объекта не учитываются. Для описания колебаний использована классическая математическая модель [2, 19]. При решении использовался метод Канторовича-Галёркина [3, 5, 7, 21]. В отличие от асимптотических методов [2, 20] решение имеет модовую структуру, что позволяет анализировать резонансные свойства стержня. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний. С помощью полученного выражения проанализированы явления установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Результаты анализа представлены в виде графиков. Решение произведено в безразмерных переменных, что позволяет использовать полученные количественные результаты для анализа колебаний технических объектов. 1. Постановка задачи Схема объекта изучения изображена на рис. 1. Для модели введены следующие обозначения: ρ - объёмная плотность материала стержня; S - площадь поперечного сечения; E - модуль упругости; μ - коэффициент, характеризующий свойство вязкоупругости материала стержня на основе структурной модели Фойгта; l(t) - длина стержня, находящегося в недеформированном состоянии, в момент времени t. Обозначим - смещение точки стержня с координатой x в момент времени t. Математическая модель, описывающая продольные колебания стержня, имеет вид [2] (1) (2) (3) В настоящее время актуальной является проблема изучения динамических свойств стержней из вязкоупругих материалов [22, 23]. Рассматриваемая модель может быть использована для описания Рис. 1.Схема объекта изучения Fig. 1. Scheme of the studied object колебаний стержня твердого топлива, сгорающего с одного конца. В этом случае P0 - средняя реактивная сила, а составляющая характеризует слабые возмущения гармонического характера, связанные с пульсационной составляющей тяги внутрикамерного процесса. Малый коэффициент А показывает, во сколько раз амплитуда возмущений больше P0; - монотонно возрастающая функция. Закон движения границы примем равномерным: . Здесь - первоначальная длина стержня; - скорость движения границы. Введём безразмерные переменные В результате задача (1)-(3) примет следующий вид: где Здесь - малые параметры. Параметр характеризует малость сил внутреннего трения по сравнению с упругими силами. Параметр характеризует малую скорость движения границы по сравнению со скоростью звука в стержне. Деформации стерня определяются следующим выражением: (4) Чтобы преобразовать граничные условия к однородному виду, введём новую функцию где удовлетворяет уравнению (5) и граничным условиям (6) 2. Решение задачи Решение будем производить с точностью до членов второго порядка малости порядка малости. Для решения задачи (5), (6) будем использовать метод Канторовича-Галеркина [5]. Решение будем искать в виде (7) где (8) Заметим, что функции (8) при и являются собственными формами колебаний. В этом случае метод Канторовича-Галёркина дает точное решение. При увеличении точность уменьшается. Статья посвящена анализу резонансных явлений, наблюдаемых на одной из собственных частот. Амплитуда колебаний на резонансной частоте многократно увеличивается. Амплитуда колебаний на нерезонансных частотах соизмерима с возмущающими воздействиями. При этом нерезонансными членами ряда (7) можно пренебречь и рассматривать решение только на одной резонансной моде. После подстановки члена с порядковым номером п ряда (7) в уравнение (5) получим При наблюдении резонансных явлений , где - функция медленного времени [2], а - усреднённая частота внешнего воздействия. Пренебрегая членом порядка , получим (9) Согласно методу Канторовича-Галёркина, умножим полученное уравнение на и проинтегрируем по в интервале от нуля до . Учитывая (9), с точностью до членов второго порядка малости получим следующее уравнение для определения функций : (10) где Если ввести в уравнение (10) новую функцию (11) где то оно не будет содержать члена с первой производной: (12) Здесь Два линейно независимых решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (12), c точностью до членов второго порядка малости имеют вид где Решение уравнения (12) при нулевых начальных условиях имеет вид Пренебрегая нерезонансными членами, как это сделано в работе [5], получим следующее выражение для амплитуды вынужденных колебаний: (13) Функции, входящие в выражение (13), определяются следующими выражениями: Амплитуда колебаний для деформаций имеет вид (14) Величина показывает, во сколько раз амплитуда колебаний деформаций превосходит интенсивность внешнего возмущения А. 3. Анализ решения С помощью выражения (14) были проанализированы резонансные свойства объекта. В системах с движущимися границами наблюдаются два вида резонансных явлений: установившийся резонанс и прохождение через резонанс. Установившийся резонанс это явление резкого увеличения амплитуды колебаний, когда изменение частоты внешней силы и одной из собственных частот согласованы таким образом, что создаются наилучшие условия для увеличения амплитуды. Установившийся резонанс наблюдается, если т.е. (15) Изменение амплитуды колебаний при этом будет описываться следующим выражением: Явление прохождения через резонанс наблюдается при внешнем возмущении постоянной частоты Это явление резкого увеличения амплитуды в течение конечного промежутка времени, когда мгновенная частота одного из собственных колебаний проходит через значение возмущающей частоты. На рис. 2 представлен процесс увеличения амплитуды колебаний в резонансной области на первой динамической моде при Возмущающая частота подбиралась таким образом, чтобы прохождение через резонанс начиналось при Рис. 2. Процесс увеличения амплитуды колебаний при прохождении через резонанс на первой динамической моде Fig. 2. Increase of the amplitude of fluctuations when passing through the resonance at the first dynamic mode Выражение (14) было численно проанализировано на максимум. На рис. 3 изображена зависимость максимальной амплитуды колебаний при прохождении через резонанс на первой динамической моде от и . Оценим погрешность метода Канторовича-Галёркина. Рассматриваемая задача без учета вязкоупругости в работе [6] была решена точным методом. Там было получено следующее выражение для функции при которой возникает установившийся резонанс: Рис. 3. Зависимость максимальной амплитуды колебаний при прохождении через резонанс на первой динамической моде Fig. 3. Dependence of the maximum amplitude of fluctuations when passing through the resonance at the first dynamic mode Сравнением данного выражения с выражением (15) при различных значениях установлено, что относительная погрешность в равномерном приближении не превосходит 5 % при Заключение Таким образом, в отличие от асимптотических методов, использование метода Канторовича-Галёркина позволило получить решение, имеющее модовую структуру. Это актуально при анализе резонансных свойств объекта. Пренебрежение малыми членами дало возможность получить сравнительно простое выражение для амплитуды колебаний.

About the authors

V N Anisimov

Samara State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 165

PDF (Russian) - 87