Propagation of non-stationary antisymmetric kinematic perturbations from a spherical cavity in Cosserat medium

Abstract


We consider a space filled with a linearly elastic Cosserat medium with a spherical cavity under given nonstationary antisymmetric surface perturbations, which are understood as the corresponding analogue of classical antiplane deformations. The motion of a medium is described by a system of three equations with respect to nonzero components of the displacement vector and potentials of the rotation field, written in a spherical coordinate system with the origin at its center of the cavity. The initial conditions are assumed to be zero. To solve the problem, we use decomposition of functions to Legendre and Gegenbauer polynomials, as well as the Laplace transform in time. As a result, the problem is reduced to independent systems of ordinary differential equations with the Laplace operator for the coefficients of the series. A statement about the structure of the general solution of this system is formulated. Images of the series coefficients are presented in the form of linear combinations of boundary conditions with coefficients - transformants of surface influence functions, the explicit formulas for which include the Bessel functions of a half-integer index. Due to the complexity of these expressions, to determine the originals in the linear approximation, the method of a small parameter is used, which is taken as a coefficient characterizing the relationship between the displacement and rotation fields. Then, taking into account the connection between the Bessel functions and elementary functions, the images are written in the form of linear combinations of exponentials with coefficients - rational functions of the transformation parameter. The further procedure for inverting the Laplace transform is carried out using residues. It is shown that there are three wave fronts corresponding to a shear wave modified with allowance for free rotation and two rotation waves. Examples of calculations for a granular composite of aluminum shot in an epoxy matrix are presented.

Full Text

Введение C развитием современной науки и техники требуется точное знание процессов деформирования материалов с усложненной структурой. Этому требованию отвечают модели упругих моментных сред, к которым, в том числе, относится модель Коссера. Общая теория такой несимметричной теории упругости впервые была разработана братьями Коссера (Э. и Ф. Коссера) [1]. В настоящий момент моментная теория упругости привлекает внимание многих исследователей. В [2] рассмотрена динамическая связанная осесимметричная задача микрополярной теории термоупругости для изотропных слоя, полупространства или пространства. А в работах [3-5] получены решения аналогичных нестационарных осесимметричных задач для однородной изотропной среды псевдокоссера. В статьях [6,7] построены решения двумерных нестационарных задач для упругих моментных полупространств и полуплоскости. В работах [8, 9] исследованы осесимметричные задачи для упругих тел со сферическими границами. В [10, 11] исследованы особенности распространения плоских периодических и уединенных волн. B работе [12] рассматривается задача о распространении поверхностных волн в среде Коссера (случай полупространства), в [13] исследовано распространене нестационарных поверхностных возмущений для полуплоскости, заполненной псевдоконтинуумом Коссера. Континуальная модель слоистой среды изучалась Н.В. Зволинским и К.Н. Шхинек в работе [14]. В статье [15] рассматривается начально-краевая задача для тонкой пластинки с позиций общей трехмерной несимметричной теории упругости. В статье [16] исследуется динамическая задача для микрополярных упругих тел при помощи использования метода собственных значений. В [17] рассматривается динамическая связанная осесимметричная задача микрополярной теории упругости для бесконечной в радиальном направлении изотропной среды. В статье [18] получен ряд новых аналитических решений статических и динамических волновых задач линейной упругой среды Коссера. В цикле работ М.А. Кулеша рассматриваются задачи о распространении объемных продольных и поперечных волн [19]. В статье [20] изучаются одномерные динамические уравнения микрополярных упругих тонких балок со свободным вращением, со стесненным вращением и «малой сдвиговой жесткостью». В том числе рассматриваются свободные колебания балок при шарнирном опирании на концах. В статье [21] динамическая задача моментной теории упругости о трещине конечной длины при нормальной нагрузке на берегах методом интегральных преобразований сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно перемещений и поворотов, которая решается численно. Нелинейные моментные теории упругости рассматриваются в работах [22-26]. В статье [27] рассматриваются поверхностные волны в упругом слоистом полупространстве с периодическим изменением жесткости по глубине. Целью работы является постановка задач о распространении нестационарных антисимметричных кинематических возмущений от сферической полости в среде Коссера. 1. Постановка задачи Рассмотрим однородное изотропное упругое моментное пространство со сферической полостью радиусом занятое средой Коссера [28]. Используем сферическую систему координат где , , , с началом в центре полости и оронормированным базисом . Полагаем, что движение является аналогом рассматриваемой в теории упругости антиплоской деформации - антисимметричным относительно полупрямой , что соответствует следующим полям перемещений и вращения : При этом координаты вектора связаны со скалярным и векторным потенциалами следующим образом: (1) Такое движение среды описывается тремя уравнениями [28]: (2) где Здесь - время; и - упругая постоянная Ламе, плотность и мера инерции среды при вращении (плотность момента инерции); - физические параметры континуума Коссера, характеризующие наличие моментных эффектов; , , и - скорости распространения волн; - оператор Лапласа для скалярной функции. Полагаем, что в начальный момент времени возмущения отсутствуют: (3) а на границе полости заданы кинематические возмущения . (4) Решение начально-краевой задачи (1)-(4) разыскивается в классе ограниченных функций. Выражения для компонент тензоров напряжений и моментных напряжений в силу громоздкости здесь не приводятся, и далее ограничимся нахождением только кинематических параметров среды. Отметим, что частный случай граничных условий (4) соответствует жестко сцепленному с полостью единичного радиуса абсолютно твердому шару, поворачивающемуся вокруг оси по закону . Действительно, при этом вектор поворота и правые части последних двух равенств в (4) имеют вид: Вектор перемещения поверхности шара и правая часть первого равенства в (4) определяются так: . Далее везде будем использовать безразмерные величины (при одинаковом начертании они обозначены штрихами, которые в последующем изложении опущены): где - упругая постоянная Ламе; - скорость распространения волн растяжения-сжатия. В этих величинах кинематические соотношения (1) и граничные условия (4) сохраняют свой вид, а уравнения (2) и начальные условия (3) записываются следующим образом (точками здесь и далее обозначены производные по безразмерному времени ): (5) . (6) 2. Представление решения в виде рядов Потенциалы, перемещения и координаты вектора вращения представляем в виде рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [30]: Подставляя их в (1), получаем (7) При этом уравнения (5) и условия (4), (6) переходят в следующие равенства: (8) (9) (10) Здесь использованы разложения в ряды правых частей условий (4): Соотношения (7)-(10) при каждом вместе с требованием ограниченности образуют независимые начально-краевые задачи. 3. Изображения общего решения Для решения этих задач применяем к ним преобразование Лапласа по времени (S - параметр; индекс «L» обозначает трансформанту). В результате получаем краевые задачи относительно изображений: (11) (12) (13) где (14) Общее решение уравнения (11) имеет вид [31-33] (15) Здесь - постоянные интегрирования; и - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка . Для построения общего решения системы из второго и третьего уравнений (12) используем достаточно просто доказываемое утверждение. Пусть матрица системы обыкновенных дифференциальных уравнений (16) где не зависит от , имеет простой спектр с собственными значениями и собственными векторами . Тогда ее общее решение имеет вид где - фудаментальные системы решений уравнений , а - произвольные постоянные. В свете этого утверждения систему уравнений записываем в матричном виде и приводим ее к канонической форме (16): Далее строим характеристическое уравнение матрицы относительно собственных значений . Как оказывается, оно сопадает с аналогичным уравнением для осесимметричной задачи [30], и его корни определяются так: Соответствующие собственные векторы есть решения систем линейных алгебраических уравнений . Их выбираем так, чтобы имела место линейная независимость и при : (17) Следовательно, в соответствии с (16) общее решение системы уравнений (12) имеет вид Далее, подставляя (15) в (14), с учетом свойств функций Бесселя получаем следующие результаты: (18) Здесь использованы обозначения (19) 4. Изображения решения задачи Поскольку функция Бесселя неограничена в окрестности бесконечно удаленной точки [30], то в силу (15) и (19) таковыми же являются и функции , , . Следовательно, в (18) необходимо положить . Подставляя теперь с учетом этого равенства (18) в (13), получаем алгебраические уравнения относительно постоянных интегрирования: (20) Подставляя их решения в (14), получаем изображения искомых функций: Здесь ,…, - изображения поверхностных функций влияния, которые определяются так: (21) В этих равенствах и далее - алгебраическое дополнение расположенного в i-й строке и j-м столбце элемента матрицы . 5. Линейное приближение решения Получить аналитически оригиналы функций влияния при не представляется возможным. Поэтому используем разложения в степенные ряды по малому параметру , ограничиваясь только линейными слагаемыми. При этом приближенные равенства заменяем точными. Соответствующие равенства для и координат (17) собственных векторов имеют вид: Отсюда с учетом (20) следует, что имеют место следующие асимптотические соотношения: . Их использование с учетом связи модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями [30] позволяет с принятой точностью привести равенства (21) к следующему виду: (22) (23) где (24) где Здесь использованы следующие многочлены [33]: 6. Оригиналы решения Из (22)-(24) следует, что коэффициенты перед экспонентами в изображениях функций влияния являются рациональными функциями параметра s. Анализ степеней числителей и знаменателей показывает, что среди этих функций только три неправильные дроби и . Выделение у них целых частей приводит к таким результатам: (25) Здесь функции с дополнительным индесом « » - правильные дроби. Их оригиналы так же, как и оригиналы остальных коэффициентов перед экспонентами, достаточно просто находятся с помощью вычетов. При этом обращение преобразования Лапласа для функций в (25) приводит к следующим равенствам [29, 34]: где - дельта-функция Дирака. Окончательно оригиналы функций влияния в (23)-(25) в соответствии со свойствами преобразования Лапласа имеют следующий вид ( - единичная функция Хевисайда): где Вычисление оригиналов правильных дробей проводится методами компьютерной математики в среде Maple 18. Для регулярной части одной из функций влияния без громоздких выкладок может быть получен явный вид: 7. Примеры В качестве примера рассмотрим среду в виде композита из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице со следующими физическими характеристиками [2, 32]: ; ; ; ; ; . Скорость находим с помощью формулы, указанной в [35, 36]: Принимая характерный линейный размер, получаем необходимые безразмерные параметры: На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов для регулярных составляющих функций влияния и . Два фронта волн - и - здесь сливаются в один разрыв первого рода в силу того, что для используемой среды имеет место приближенное равенство . Рис. 1. Распределение регулярных составляющих функций влияния Gωrr1r и Gωθθ1r по радиусу в различные моменты времени Fig. 1. Distribution of the regular components of the influence functions Gωrr1r and Gωθθ1r along the radius at different points in time Рис. 2. Зависимость регулярной составляющей функции влияния Gωrr1r и Gωθθ1r от времени при различных значениях радиуса Fig. 2. Dependence of the regular component of the influence function Gωrr1r and Gωθθ1r on time at different values of the radius Заключение В линейном приближении по малому параметру аналитически построены поверхностные функции влияния для перемещения и углов поворота в задаче о распространении нестационарных антисимметричных кинематических возмущений от сферической полости в упругом моментном пространстве. Показано, что имеются три волновых фронта, соответствующие модифицированной с учетом свободного вращения волне сдвига и двум волнам вращения. Предложенный алгоритм решения может быть использован как для построения остальных функций влияния, так и для задач с силовыми возмущениями. С помощью полученных результатов решения при произвольных возмущениях могут быть представлены в квадратурах (в свертках по времени).

About the authors

D. V Tarlakovskii

Scientific Research Institute of Mechanics of the Moscow State University; Moscow Aviation Institute

Van Lam Nguyen

Moscow Aviation Institute

References

  1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - 226 p.
  2. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.
  3. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. - Т. 17, № 2. - С. 184-195.
  4. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осе-симметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера [Электронный ресурс] // Труды МАИ - 2012. - № 53. - URL: www.trudymai.ru/published.php?ID=29267/.
  5. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. - 2013. - T. 5, № 1. - С. 119-125.
  6. Белоносов С.М. Моментная теория упругости. - Владивосток: Дальнаука, 1993. - 148 с.
  7. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. - Днепропетровск: Пороги, 2008. - 196 с.
  8. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела. - Физика твердого тела. - 1964. - Т. 6, вып. 9. - С. 2689-2699.
  9. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц. - Физика твердого тела. - 1960. - Т. 2, вып. 7. - С. 1399-1409.
  10. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями // Акустический журнал. - 1991. - Т. 37, № 3. - С. 477-483.
  11. Ерофеев В.И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикл. механика (Киев). - 1993. - Т. 29, № 4. - С. 18-22.
  12. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О свойствах поверхностных волн в упругой среде Коссера // Математическое моделирование систем и процессов: сб. науч. тр. - Пермь: ПГТУ, 2006. - Вып. 14. - С. 109-113.
  13. Суворов Е.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Плоская задача об ударе твердого тела по полупространству, моделируемому средой Коссера // ПММ. - 2012. - Т. 76, Вып. 5. - С. 850-859.
  14. Зволинский Н.В., Шхинек К.Н. Континуальная модель слоистой среды // Изв. АН СССР. МТТ. - 1984. - № 1. - С. 5-14.
  15. Атоян А.А., Саркисян С.О. Задача динамики тонкой пластинки на основе несимметричной теории упругости. - Изв. АН Армении. Мех. - 2004. - Т. 57, № 2. - С. 18-33.
  16. Kumar Rajneesh, Singh Ranjit, Chadha Т. К. Eigenvalue approach to second dynamic problem of micropolar elastic solid // Indian J. Pure and Appl. Math. 2003. - Vol. 34, № 5. - P. 743-754.
  17. Saxena Hirdeshwar S., Dhaliwal Ranjit S. Application of the eigen-number method to an axisymmetric coupled micropolar thermoelasticity // Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci. - 1990. - T. 38, № l. - P. 7-18.
  18. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости / В.В. Корепанов, М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10, № 5. - С. 77-90.
  19. Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды коссера в случае плоских объемных волн / М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, М.В. Улитин, И.Н. Шардаков // Прикл. мех. и техн. физ. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 196-203.
  20. Birsan Mircea. Thermal stresses in cylindrical Cosserat elastic shells // Eur. J. Mech. A. - 2009. - Vol. 28, № 1. - P. 94-101.
  21. Han S.Y., Narasimhan M.N.L., Kennedy T.C. Dynamic propagation of a finite crack in a micropolar elastic solid // Аста месн. - 1990. - Vol. 85, № 3-4. - P. 179-191.
  22. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Известия РАН. Мех. тверд. тела. - 2008. - № 1. - С. 22-36.
  23. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Механика Коссера для наук о земле // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2, № 4. - С. 44-66.
  24. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика. - 2007. - Т. 48, № 1. - С. 143-150.
  25. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера // Прикл. мех. и техн. физ. - 2005. - Т. 46, № 4. - С. 116-124.
  26. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 416 с.
  27. Muhlhaus H.-B., Triantafyllidis Th. Surface waves in a layered half-space with beding stiffness // Ground Motion and Eng. Seismol. Amsterdam e. a. - 1987. - P. 277-290.
  28. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975 - 872 с.
  29. Волны в сплошных средах / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский, Д.В. Тарлаковский. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.
  30. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. - 832 c.
  31. Lam V. Nguyen, Tarlakovskii D.V. Propagation of Non-stationary Axisymmetric Perturbations from a Spherical Cavity in Cosserat Medium // Advanced Structured Materials. - Vol. 122. Nonlinear Wave Dynamics. - Springer Nature Switzerland AG, 2020. - P. 273-292.
  32. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants. Part II // Arch. Mech. - 1981. - Vol. 33, № 5. - P. 717-737.
  33. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 264 с. Перевод: Gorshkov A.G., Tarlakovskiy D.V. Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 2001. - 289 p.
  34. Ван Дер Поль, Бреммер Х. Операционное исчислние на основе двустороннего преобразования Лапласа. - М.: ИЛ, 1952. - 506 с.
  35. Деев В.М. Системный анализ уравнений пространственной задачи несимметричной теории упругости в перемещениях // Математическое моделирование в естественных науках: тез. докл. 10-й Всерос. конф. молодых ученых. - Пермь, 2001. - С.14.
  36. Герасимов С.И., Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Волновые процессы в сплошных средах. - Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ. - 2012. - 260 с.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 19

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2020 Tarlakovskii D.V., Nguyen V.L.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies