Full Text

Введение Исследование нелинейных процессов внедрения тел различной формы в сжимаемые упругопластические среды традиционно проводится на базе экспериментальных, теоретических и численных методов. Обобщением данных эксперимента являются эмпирические формулы для глубины проникания и силы сопротивления внедрению в зависимости от параметров ударника и мишени - массы тела и его начальной скорости, плотности и прочности среды проникания, коэффициента трения и других [1, 2]. Большинство известных теоретических методов моделирования процессов удара и проникания предполагает снижение размерности исходной трехмерной задачи. На основе выделения системы уравнений одномерного движения вдоль оси проникания получены приближенные решения, отражающие основные закономерности проникания в упругопластическую среду затупленного абсолютно твердого тела [3]. Известны аналитические решения задач о проникании тел вращения в пластический газ в предположении о движении частиц среды по нормали к оси симметрии тела (гипотеза плоских сечений) или по нормали к поверхности ударника [4]. Предложен численный метод расчета глубины проникания в пористые пластические среды в предположении, что частицы грунта движутся по прямым, исходящим из некоторого центра деформации [5]. Решение одномерной автомодельной задачи о косом ударе применялось для оценки нормальных и касательных напряжений на поверхности проникающей в грунт сферы [6]. Решение одномерной задачи о динамическом расширении полости впервые получено в работе [7] и применялось для приближенных оценок напряжений и сил, действующих на ударник [8]. Представленные подходы получили развитие в созданных на их основе численно-аналитических методиках и применялись для исследования процессов нормального и наклонного проникания в грунты, скальные породы, бетоны и металлы [9-14]. Модели, в которых напряжение на элементе контактной поверхности проникающего тела зависит только от его ориентации и не зависит от формы тела в окрестности этого элемента, получили название модели локального взаимодействия. Современные аналитические обзорные работы по проблеме удара и проникания [15-17] свидетельствуют о широком распространении модификаций модели локального взаимодействия (МЛВ). В соответствии с одной из реализаций МЛВ давление в каждой точке боковой поверхности ударника отождествляется с давлением на внутренней поверхности сферической или цилиндрической полости, расширяющейся в безграничной среде от нулевого радиуса до радиуса ударника («Cavity Expansion Model» в зарубежной литературе). Таким образом, решения задач о расширении полости (см., например, [18-23]), имея самостоятельное значение, в то же время применяются для оценки параметров моделей локального взаимодействия. Инженерные методики на базе МЛВ для исследования процессов удара и проникания продолжают совершенствоваться и в настоящее время на основе данных экспериментов и численного моделирования [23-34]. Преимуществом подобного подхода является возможность эффективно решать задачи анализа устойчивости и оптимизации формы тел, проникающих в сопротивляющиеся среды [35-42]. В ряде случаев решение может быть получено в конечном виде в зависимости от параметров процесса, что существенно облегчает анализ основных закономерностей нестационарных процессов удара и проникания жестких тел в нелинейные сжимаемые среды. Ранее была предложена модификация МЛВ [23], которая основана на применении решения задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде при учете нелинейной ударной адиабаты и зависимости сопротивления сдвигу от давления [22]. Постановка задачи предполагает несжимаемость среды за фронтом ударной волны для каждой скорости расширения полости и при линейной зависимости предела текучести от давления допускает аналитическое решение. Проведенные совместные экспериментальные, теоретические и численные исследования процессов нормального внедрения острых конических ударников в сухой песок показали применимость модифицированной МЛВ с погрешностью, не превышающей ошибку эксперимента [43] при прямолинейном движении тел по нормали к свободной поверхности грунтовой среды. В случае наклонного проникания острого конуса в упругопластическую среду силовые и кинематические параметры процесса, полученные в рамках МЛВ, демонстрируют большую ошибку по сравнению с данными компьютерного моделирования в трехмерной постановке [44, 45]. Следствием гипотезы локальности, применяемой в МЛВ, является существование множества тел, обладающих одинаковым сопротивлением при условии, что нормаль в каждой точке элемента боковой поверхности таких тел составляет одинаковый угол с вектором направления движения при равной площади оснований всех тел. В осесимметричной постановке единственным таким телом будет круговой конус, в пространственной постановке это могут быть пирамиды или тела звездообразного поперечного сечения. Проникание таких тел анализировалось в рамках МЛВ в работах [36, 37, 39]. Проводились прямые эксперименты для круговых конусов и тел звездообразного поперечного сечения, проникающих в пластилин и песок [46, 47]. В данной работе сравниваются силы сопротивления внедрению в сжимаемую упругопластическую среду пространственных тел, эквивалентных в рамках МЛВ сопротивлению кругового конуса, полученные численно в трехмерной постановке. 1. Постановка задачи проникания В статье проводится исследование процессов удара и проникания жестких тел по нормали в упругопластическую среду. Математическая модель динамики упругопластической среды Григоряна записывается в прямоугольной декартовой системе координат в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы и импульса и уравнений теории пластического течения с условием пластичности Мизеса-Шлейхера-Боткина: , , (1) , где t - время; - текущая плотность среды; , , , - компоненты вектора скорости, тензора напряжений Коши и девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно; p - давление; H - функция Хевисайда; - производная Яумана; d/dt - полная производная по времени; G - модуль сдвига; sт - предел текучести, зависящий от давления; по повторяющимся индексам производится суммирование. Параметр l = 0 при упругом деформировании и l > 0, если реализуется условие пластичности. Замыкается система дифференциальных уравнений (1) линейной зависимостью давления от объемной деформации e в упругопластической среде (при сжатии): (2) где K - модуль объемного сжатия. Принимается [45, 48] линейная зависимость предела текучести от давления (3) с постоянными коэффициентами и , определяющими соответственно сцепление и внутреннее трение упругопластической среды. В начальный момент времени скорости частиц ударника равны начальной скорости удара V0, напряжения и скорость частиц грунта равны нулю. На контактной границе выполняется условие равенства нормальных компонент векторов скоростей частиц по обе стороны контактной поверхности, касательные напряжения равны нулю. Рассматривается плоскопараллельное движение тел, на плоскости симметрии задаются равными нулю нормальные компоненты вектора скорости и тангенциальные компоненты тензора напряжений. На внешних границах области выполняются условия равенства нулю нормальной и тангенциальной компонент тензора напряжений. Численное решение трехмерной задачи проникания осуществляется с использованием программного продукта LS-Dyna в постановке, аналогичной работам [45, 48]. Для моделирования глубокого (несколько длин проникающего тела) внедрения ударника в грунт решение проводится в постановке FSI (Fluid Structure Interaction). При этом движение жестких ударников рассматривается в приближении недеформируемого твердого тела, в то время как уравнения движения среды решаются на неподвижной эйлеровой сетке. Поведение среды проникания описывается моделью *MAT_SOIL_AND_FOAM, в которой кривая объемной сжимаемости (2) задается в табличном виде, а зависимость квадрата напряжения течения от давления выражается полиномом второй степени. Дискретизация области преграды осуществляется при помощи восьмиузловых гексагональных элементов с одной точкой интегрирования в формулировке ММALE (Multi-material Arbitrary Lagrangian Eulerian Method) с возможностью одновременного присутствия нескольких материалов в одной расчетной ячейке. Область, занимаемая упругопластической средой, представляется в виде прямоугольного параллелепипеда, размеры которого выбраны таким образом, чтобы волны растяжения-сжатия, отраженные от стенок области, не искажали результаты расчетов. Ввиду наличия плоскости симметрии рассматривается половина расчетной области. Ранее была продемонстрирована линейная сходимость результатов численных расчетов проникания конических и пирамидальных тел в упругопластическую среду в зависимости от минимального размера ячейки конечно-элементной сетки [48]. Там же приводятся параметры расчетной сетки, обеспечивающей определение величины силы сопротивления внедрению пространственных ударников в среду с относительной погрешностью не более 10 %. Силовые и кинематические параметры внедрения тел могут также быть получены в рамках МЛВ на основе аналитического решения задачи о расширении сферической полости [23, 41, 43, 45]. Осевая компонента вектора силы сопротивления внедрению тела в сопротивляющуюся среду со скоростью в некотором диапазоне изменения скоростей может быть описана [23] двучленной квадратичной зависимостью , , (4) где - напряжение, действующее на боковую поверхность проникающего тела в направлении нормали; - площадь основания тела; - начальная плотность среды, угол образован направлением движения и внешней нормалью к боковой поверхности тела; , - константы. Расчеты проводились при следующих значениях параметров модели упругопластической среды: ρ0 = 2000 кг/м3, Y = 0,5 МПа, κ = 1, V0 = 150 м/с, K = 320 МПа, G = 160 МПа [16, 19]. Радиус основания кругового конуса R = 1 см, угол полураствора при вершине = 30º, геометрические параметры пирамидальных тел проникания представлены в работе [48]. Значения констант МЛВ (4) = 1, = 200 м/с получены с применением аппроксимации методом наименьших квадратов решений задачи о расширении сферической полости [23] в диапазоне изменения скоростей от 75 до 300 м/с. Упрощенная модель линейно сжимаемой упругопластической среды Мизеса-Шлейхера (1)-(3) принимается для корректной оценки погрешности приближенного подхода к моделированию процессов проникания аналогично работам [44, 45]. В подобной постановке задача о расширении сферической полости имеет аналитическое решение, и модель локального взаимодействия на базе решения этой задачи может быть записана в конечном виде. Как показывают расчеты [45], силы сопротивления прониканию острых конических ударников, полученные в рамках этой МЛВ и в осесимметричных численных расчетах, оказываются близки. Таким образом, наблюдаемые отличия при описании внедрения пространственных тел не будут связаны с ошибками учета свойств среды проникания в МЛВ. Рис. 1. Безразмерные временные зависимости осевых сил сопротивления внедрению конического ударника с постоянными скоростями = 150, 300 и 600 м/с Fig. 1. The dimensionless time dependences of the axial forces of resistance to the introduction of a conical impactor with constant velocities = 150, 300 и 600 m/s На рис. 1 сплошной, штриховой и штрихпунктирной линиями приведены безразмерные временные зависимости осевых сил сопротивления внедрению конического ударника высотой , полученные в трехмерной постановке с применением программного комплекса LS-Dyna, в осесимметричной постановке в рамках пакета программ «Динамика-2» и на основе МЛВ (4) соответственно, , . Время t* соответствует моменту времени, когда тело погрузится в среду на глубину, равную высоте ударника, что приблизительно соответствует достижению максимального значения силы сопротивления внедрению. Расчеты проводились при постоянных скоростях внедрения = 150, 300 и 600 м/с, что при заданных параметрах среды соответствует дозвуковому и сверхзвуковому режимам проникания. Отметим хорошее совпадение результатов расчетов, полученных при использовании различных пакетов программ и МЛВ (4) при выбранных значениях констант. Из рис. 1 видно, что при проникании конического ударника с постоянной скоростью максимальное значение силы сопротивления достигается при 1, далее устанавливается так называемое квазистационарное значение. Рассмотренный процесс проникания с постоянной скоростью моделирует начальную стадию обращенных экспериментов [23, 43]. 2. Результаты численных расчетов проникания пространственных тел с постоянной скоростью Безразмерные временные зависимости осевых сил сопротивления внедрению пространственных пирамидальных тел в упругопластическую среду со скоростью 150 м/с приведены на рис. 2. Кривые 1-4 соответствуют силам сопротивления внедрению четырехгранных пирамид с отношением диагоналей в основании, равным 1, 2, 3 и 6, кривая 5 соответствует трехгранной пирамиде с равносторонним треугольником в основании. Обозначим символами и высоту и площадь основания конуса с углом полураствора при вершине 30º и радиусом основания R = 1 см. Площадь основания всех рассмотренных пирамид равна , однако высоты тел . Наименьшая высота наблюдается для пирамиды с отношением диагоналей в основании, равным 6. Временные зависимости силы сопротивления внедрению пространственных тел и конуса качественно подобны - после достижения максимума изменение силы сопротивления внедрению практически отсутствует. При этом само максимальное значение растет с уменьшением высоты тела. Подобные результаты получены и при скорости проникания 600 м/с. Рис. 2. Безразмерные временные зависимости осевых сил сопротивления внедрению пространственных пирамидальных тел в упругопластическую среду со скоростью 150 м/с Fig. 2. Dimensionless time dependences of axial forces of resistance to the introduction of spatial pyramidal bodies into an elastoplastic medium at a velocity of 150 m/s Также рассматривался процесс проникания тела со звездообразным поперечным сечением. Четырехлучевая звезда образована пересечением под прямым углом двух ромбов с отношением диагоналей, равным 2. Высота такого тела равна высоте четырехугольной пирамиды с отношением диагоналей, равным 3, и составляет . На рис. 3 приведены безразмерные временные зависимости сил сопротивления внедрению со скоростью 150 м/с (рис. 3, а) и 600 м/с (рис. 3, б) тел со звездообразным и ромбовидным сечением (кривые 1 и 2), а также круговых конусов с высотой и (кривые 3 и 4). Для тел равной высоты отличия сил сопротивления внедрению не превосходит 10 % и составляет 25-30 % по сравнению с конусом высотой как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях внедрения. На рис. 4 приведены безразмерные временные зависимости сил сопротивления внедрению круговых конусов со скоростью 150 м/с (рис. 4, а) и 600 м/с (рис. 4, б): кривые 1-5 соответствуют высотам конусов = 0,46; 0,58; 0,72; 0,86 и 1. При дозвуковых скоростях с уменьшением высоты конуса растет отличие максимального и квазистационарного значений силы сопротивления внедрению (темные и светлые кружки на рис. 4), при сверхзвуковых скоростях отличие максимального и квазистационарного значений силы сопротивления не превышает 5 % (косые крестики с интервалами ±5 % на рис. 4). На рис. 5 приведены безразмерные силы сопротивления внедрению ударников в зависимости от высоты, отнесенной к : линии с темными и светлыми кружками соответствуют максимальным и квазистационарным значениям силы сопротивления внедрению конусов со скоростью 150 м/с (см. рис. 4, а), линия с косыми крестиками соответствует средним значениям силы сопротивления на квазистационарной стадии внедрения со скоростью 600 м/с (см. рис. 4, б), темные и светлые ромбы, треугольник и звезда соответствуют максимальным значениям силы сопротивления внедрению четырехгранных пирамид, трехгранной пирамиды и тела со звездообразным поперечным сечением, интервалами 10% показана ошибка трехмерных численных расчетов пространственных тел. Рис. 3. Безразмерные временные зависимости сил сопротивления внедрению со скоростью 150 м/с (а) и 600 м/с (б): кривые 1, 2 соответствуют телам со звездообразным и ромбовидным сечением, кривые 3, 4 - круговым конусам с высотами и Fig. 3. Dimensionless time dependences of the resistance to penetration at a velocity of 150 m/s (a) and 600 m/s (b): curves 1 and 2 correspond to bodies with a star-shaped and diamond-shaped section, curves 3, 4 to circular cones with a heights of and Рис. 4. Безразмерные временные зависимости сил сопротивления внедрению круговых конусов со скоростью 150 м/с (а) и 600 м/с (б): кривые 1-5 соответствуют высотам конусов = 0,46; 0,58; 0,72; 0,86 и 1 Fig. 4. Dimensionless time dependences of the resistance forces on the introduction of circular cones at a velocity of 150 m/s (a) and 600 m/s (b): curves 1-5 correspond to cone heights = 0,46; 0,58; 0,72; 0,86 and 1 Рис. 5. Безразмерные зависимости силы сопротивления внедрению ударников от высоты Fig. 5. Dimensionless dependencies of the resistance force to the introduction of impactors from height Отмечается обратная пропорциональность максимальных значений силы сопротивления внедрению пространственных тел от высоты и их близость к значениям силы сопротивления внедрению конических ударников той же высоты. 3. Результаты численных расчетов проникания пространственных тел по инерции Аналогичные исследования силовых характеристик проводились в случае движения тел заданной массы по инерции. Масса ударников составляла 40 г. На рис. 6 приведены осевые силы сопротивления внедрению конического ударника высотой в зависимости от скорости проникания при начальных скоростях 300, 450 и 600 м/с: сплошная, штриховая и штрихпунктирная линии получены в трехмерной постановке с применением программного комплекса LS-Dyna, в осесимметричной постановке в рамках пакета программ «Динамика-2» и на основе МЛВ (4) соответственно, темные треугольники соответствуют квазистационарным значениям силы сопротивления внедрению конического ударника с постоянными скоростями 150, 300, 450 и 600 м/с. Результаты осесимметричных расчетов получены на подробной сетке, обеспечивающей погрешность не более 3 % [23]. Близость численных результатов, полученных на основе различных программных комплексов, свидетельствует о достаточной дискретизации конечноэлементной сетки в трехмерных расчетах проникания пространственных тел. Отметим также приемлемую точность МЛВ (4) и при расчете изменения скорости острого конического ударника при движении по инерции. На рис. 7 представлены осевые силы сопротивления внедрению пирамидального ударника высотой (отношение диагоналей в основании равно 3) в зависимости от скорости проникания при начальных скоростях 300, 450 и 600 м/с, темные ромбы соответствуют квазистационарным значениям силы сопротивления внедрению этого ударника с постоянными скоростями 150, 300, 450 и 600 м/с, пунктирная линия есть квадратичная аппроксимация вида . Рис. 6. Осевые силы сопротивления внедрению конического ударника высотой в зависимости от текущей скорости проникания Fig. 6. Axial forces of resistance to the introduction of a conical impactor of height depending on the current penetration rate Рис. 7. Осевые силы сопротивления внедрению пирамидального ударника высотой в зависимости от текущей скорости проникания Fig. 7. Axial forces of resistance to the introduction of a pyramidal impactor of height depending on the current penetration rate Для звездообразного ударника проведены аналогичные расчеты, в которых получены качественно и количественно подобные результаты. Важным обобщающим результатом является показанная возможность проводить расчет движения пространственных тел конечной массы на основе близкой к квадратичной зависимости силы сопротивления внедрению от скорости удара, полученной в расчетах квазистационарной стадии проникания с постоянными скоростями. 4. Определение глубины проникания Квадратичная зависимость силы от скорости, полученная в расчетах, позволяет получить зависимость глубины проникания от скорости ударника в конечном виде. Для конического ударника, имеющего высоту , площадь основания и угол полураствора , проникающего с начальной скоростью при справедливости закона проникания в форме Резаля будем иметь , (5) , Числовые значения констант и в (5) могут быть определены по значениям силы сопротивления внедрению на квазистационарной стадии или в рамках МЛВ (4) по формулам , (6) На рис. 8 представлены безразмерные зависимости текущих глубин проникания от скорости внедрения: темными и светлыми точками показаны результаты расчетов в трехмерной постановке проникания круговых конусов высотой и , штрихпунктирные линии соответствуют данным, полученным для тех же конусов в рамках МЛВ (4)-(6), штриховая и пунктирная линии соответствуют глубинам проникания четырехгранной пирамиды и тела со звездообразным поперечным сечением, определенным по формулам (5). Высоты пространственных тел также равны , константы и закона проникания в форме Резаля определены на основе расчетных квазистационарных значений силы сопротивления внедрению с постоянными скоростями. Для ударника со звездообразным поперечным сечением получены значения , , для четырехгранной пирамиды и (соответствующие значения силы сопротивления отмечены ромбами на рис. 7). Рис. 8. Зависимости безразмерной текущей глубины проникания от скорости внедрения ударника Fig. 8. Dependences of the dimensionless current penetration depth on the penetration rate of the impactor Трехмерные расчеты проникания конусов по инерции проводились до момента времени, когда текущая скорость проникания составляла не менее 50 % от начальной скорости удара, расчеты до остановки ударников не проводились. Сопоставление результатов, представленных на рис. 8 показывает, что квадратичная МЛВ (4)-(6) хорошо описывает как начальную, так и развитую стадию движения острых конических ударников в упругопластической среде. Однако для пространственных тел, эквивалентных в рамках МЛВ (4) по силе и глубине проникания конусу высотой наблюдается существенное отличие, пропорциональное отношению высот этих тел . Для пространственных тел одинаковой высоты различия в глубинах проникания не столь существенны. Заключение В работе проведено изучение силовых и кинематических характеристик движения осесимметричных конических и неосесимметричных пространственных тел в сжимаемой упругопластической среде. Приводятся результаты двумерных и трехмерных численных расчетов проникания тел по нормали в упругопластическую среду с дозвуковыми и сверхзвуковыми постоянными скоростями и по инерции. Продемонстрировано увеличение сопротивления внедрению и уменьшение глубины проникания, пропорциональное уменьшению высоты тела, для тел одинаковой высоты различие в форме поперечного сечения не приводит к столь существенным изменениям. Численно показана возможность проведения расчета движения пространственных тел конечной массы на основе квадратичной зависимости силы сопротивления внедрению от скорости удара, полученной в расчетах квазистационарной стадии проникания с постоянными скоростями. Это избавит от необходимости рассчитывать большие области среды проникания, позволив повысить точность расчетов и существенно сократить затраты машинного времени.

About the authors

E Yu Linnik

Research Institute of Mechanics University of Nizhni Novgorod

V L Kotov

Research Institute of Mechanics University of Nizhni Novgorod

A Yu Konstantinov

Research Institute of Mechanics University of Nizhni Novgorod; Bakhirev State Research Institute of Engineering

References

Statistics

Views

Abstract - 215

PDF (Russian) - 239