Full Text

Введение Изучение поведения оболочечных конструкций имеет существенное значение для различных областей промышленности, в том числе строительства и машиностроения: в строительстве такие конструкции зачастую применяются, например, для покрытия большепролетных сооружений. Тороидальные оболочки представляют собой один из наиболее сложных видов оболочечных конструкций [1-3], и характер их поведения под действием различных нагрузок изучен еще недостаточно полно. Некоторые исследования в данной области можно найти в работах [4-33]. Устойчивость тороидальных оболочек при статическом нагружении рассматривается в работах [8-9, 12-17, 22, 25-29], при динамическом нагружении - в исследованиях [20-21, 28-29], а в статьях [4-8, 21] анализируются их колебания. Вопросы оптимизации тороидальных оболочек для решения конкретных практических задач были затронуты в работах [11-12]. Часто для повышения жесткости тороидальные оболочки подкрепляются ребрами жесткости. Исследования таких конструкций можно найти в работах [19-23]. Поведение конструкций при наличии начальных несовершенств рассматривалось в [9, 10, 15-18, 20]. В ряде работ используются уравнения в смешанной форме [18-22], в работах [24-25] учитывается физическая нелинейность, что также представляет большой интерес. Наиболее полные и обширные исследования с учетом множества различных факторов представлены в статьях [5, 9, 20-21, 25]. Так, например, в работе D.H. Bich и D.G. Ninh [20] исследуются трехслойные подкрепленные тороидальные оболочки, имеющие несовершенства. Используется теория оболочек Кармана-Донелла, анализируется устойчивость при динамическом нагружении, вызванном внутренним течением жидкости. Работа А.И. Демидова [25] посвящена определению напряженно-деформированного состояния оболочек произвольной формы на основе теории малых упругопластических деформаций, притом геометрические соотношения приняты в линейной постановке. Приводятся результаты численного расчета тонкой незамкнутой тороидальной оболочки при действии нормальной равномерно распределенной нагрузки, когда внутренний и наружный края оболочки абсолютно жестко заделаны, а боковые стороны закреплены шарнирно. Представлены поля интенсивности касательных напряжений по толщине оболочки, установлено значение нагрузки, при которой возникают первые пластические деформации. Почти во всех рассмотренных работах исследуются тороидальные оболочки, обычно представляющие собой либо полностью замкнутый тор, либо его сегмент, но тоже замкнутый. Исследований, связанных с расчетами панелей тороидальных оболочек, авторам данной статьи найти практически не удалось. Целью данной работы является анализ устойчивости сегмента тонкостенной тороидальной оболочечной конструкции в зависимости от угла наклона относительно вертикальной оси. 1. Теория и методы 1.1. Геометрия тороидальной поверхности Вначале рассмотрим тороидальную поверхность. На рис. 1 представлены необходимые для построения тора параметры, а именно: - угол разворота в плоскости x0z, b - угол разворота в плоскости x0y, - угол отклонения относительно оси 0z, r - малый радиус тора, d - отступ от оси 0z. Системы координат будут описаны далее. Рис. 1. Проекции тороидальной поверхности на плоскости x0z и x0y Fig. 1. Projection of a toroidal surface on the x0z and x0y planes Используя проекции тора на оси 0x, 0y и 0z, можно получить параметрическое задание тороидальной поверхности: (1) Рис. 2. Глобальная и локальная системы координат Fig. 2. Global and local coordinate systems На рис. 2 представлены глобальная (0xyz) и локальная ( и - криволинейные координаты на поверхности, - вектор нормали) системы координат. Используя теорию дифференциальной геометрии [34], нетрудно получить необходимые характеристики поверхности, а именно параметры Ляме (отвечающие за масштабирование) , , (2) а также главные кривизны (отвечающие за геометрию поверхности) , . (3) Полученные выражения для параметров Ляме и главных кривизн будут использованы далее в соотношениях математической модели деформирования оболочечной конструкции. 1.2. Математическая модель Будем рассматривать геометрически нелинейный вариант модели Тимошенко-Рейснера, которая состоит из трех групп соотношений: 1) связь деформаций и перемещений - геометрические соотношения; 2) связь напряжений и деформаций - физические соотношения; 3) функционал полной потенциальной энергии деформации оболочки. 1.2.1. Геометрические соотношения Для начала рассмотрим геометрические соотношения на срединной поверхности. Углы поворота нормали вдоль направлений и соответственно вычисляются так: ; . (4) Связь деформаций через перемещения (относительное удлинение элемента дуги между рассматриваемыми точками): , , (5) где , а - функция, принимающая вид Модель Тимошенко-Рейснера связывает срединный и отстоящие от срединного на слои следующими выражениями: ; ; , (6) где и - углы отклонения волокон от нормали. Деформации для слоя, отстоящего от срединного на тогда будут выражаться соотношениями (7) где , и - функции изменения кривизн и кручения, (8) 1.2.2. Физические соотношения Будем рассматривать задачу в линейно-упругой постановке, тогда физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для изотропного материала принимают вид ; ; ; . (9) где E - модуль упругости, а - коэффициент Пуассона. 1.2.3. Усилия и моменты Проинтегрировав соотношения (9) по в пределах от до , получим усилия и моменты, приходящиеся на единицу длины сечения: ; ; ; (10) ; ; ; (11) ; . (12) На рис. 3 представлены усилия и моменты, приведённые к срединной поверхности. Рис. 3. Усилия и моменты, приведённые к срединной поверхности оболочки Fig. 3. The efforts and moments reduced to a median surface of the shell 1.2.4. Функционал полной потенциальной энергии деформации Функционал полной потенциальной энергии деформации представляет собой разность работ внутренних и внешних сил, который при действии внешней равномерно распределенной нагрузки можно записать в виде (13) Также исходя из условия минимума этого функционала при необходимости можно получить уравнения равновесия. 1.3. Алгоритм исследования 1.3.1. Метод Ритца Поскольку минимум функционала (11) аналитически найти не представляется возможным, применим один из классических методов минимизации - метод Ритца. Минимизирующие функции , , , , будем искать в виде линейной комбинации аппроксимирующих функций: , , , , . Здесь n - количество используемых в разложении базисных функций вдоль каждого направления и . Коэффициенты , , , и являются неизвестными. Для их поиска необходимо найти градиент функционала (13) и приравнять его к нулю. , . (14) Система (14) является системой алгебраических уравнений с неизвестными. 1.3.2. Выбор аппроксимирующих функций Как было сказано ранее, для метода Ритца необходимо иметь систему базисных (аппроксимирующих) функций, которые должны удовлетворять граничным условиям, вытекающим из уравнений равновесия. Вводя область , в которой мы рассматриваем поставленную нами задачу, граничные условия можно записать следующим образом: , (15а) , (15б) , (15в) , (15г) . (15д) Поскольку закрепление контура конструкции было выбрано шарнирно-неподвижное, кроме условий (15в)-(15д), также должны выполняться следующие условия: , (16а) (16б) (16в) В данной работе нами было рассмотрено два базиса: тригонометрический и полиномиальный. Используя тригонометрический бизис, функции перемещений представим в виде , , , , . (17) Для описания полиномиального базиса сначала введём стандартизированные многочлены Лежандра на интервале [35]. Отличие этих многочленов от обычных многочленов Лежандра заключается в том, что на краях интервала они принимают значения . Формула получения стандартизированного полинома Лежандра степени k представлена ниже: , (18) Для перехода от интервала к интервалу можно воспользоваться простой заменой переменных: . Первые пять стандартизированных многочленов Лежандра представлены ниже: ; ; ; ; . На рис. 4, а представлены графики этих функций. а б Рис. 4. Графики аппроксимирующих функций: a - стандартизированные многочлены Лежандра; б - многочнены Fig. 4. Graphs of approximating functions: а - are standardized Legendre polynomials; b - are polynomials Для того чтобы удовлетворить условиям (15а) и (15б), из многочленов (18) построим полиномы [36], которые на концах рассматриваемого промежутка будут принимать нулевые значения. Они будут задаваться формулой . (19) Первые пять разностных многочленов представлены ниже, а их графики показаны на рис. 4, б. ;; ; ; . Для выполнения условий (15г) и (15д), а также условия, накладываемого на первую производную в (16б) и (16в), построим многочлены вида . (20) Первые пять многочленов представлены ниже, а их графики и графики их первой производной показаны на рис. 5. ; ; ; ; . а б Рис. 5. Графики аппроксимирующих функций: a - многочлены ; б - первая производная многочленов Fig. 5. Graphs of approximating functions: а - are polynomials; b - is the first-order derivative of polynomials Наконец, чтобы удовлетворить условиям (15в) и (16а), используя разностные многочлены , построим многочлены вида . (21) Первые пять многочленов представлены ниже, а их графики и графики их второй производной показаны на рис. 6. ; ; ; ; . а б Рис. 6. Графики аппроксимирующих функций: a - многочлены ; б - вторая производная многочленов Fig. 6. Graphs of approximating functions: а - are polynomials; b - is the second-order derivative of polynomials В итоге, введя многочлены , и , функции перемещений можно записать следующим образом: (22) . Стоит отметить, что в зависимости от геометрии оболочки можно брать не все базисные функции. Например, для тороидальной панели в ходе численного эксперимента было выявлено, что рациональнее всего использовать следующие комбинации аппроксимирующих функций: , , , , . Такие выводы были сделаны на основе того, что тороидальная панель обладает симметрией в направлении оси , и значения коэффициентов при «исключенных» элементах оказались близки к нулю. Таким образом, эти функции вносили крайне малый вклад в точность расчета. 1.3.3. Метод Ньютона для решения СНАУ Система (14), полученная в пункте 1.3.1, является нелинейной алгебраической системой от переменных. В общем случае аналитически такая система не решается, поэтому для поиска неизвестных был выбран метод Ньютона для СНАУ. Обозначим за , набор искомых переменных, а за - нулевое приближение. Тогда каждое последующее приближение будет выражаться через предыдущее по формуле , где - это матрица Гессе функционала . Задав необходимую точность , процесс вычисления приближений можно остановить при удовлетворении условия . В данной работе при проведении расчетов рассматривается последовательное нагружение панели, поэтому после нахождения решения системы (14) для нагрузки за нулевое приближение для следующего нагружения принимается решение . Предложенный алгоритм был реализован в среде аналитических вычислений Maple 2017. 2. Расчеты Будем рассматривать панель стальной ( МПа, ) тороидальной оболочки, закрепленную шарнирно-неподвижно, используя два вида аппроксимации: тригонометрическую и полиномиальную. Количество слагаемых в разложениях функций в методе Ритца . Нагрузка - нормально-распределенная, приложенная со стороны выпуклости. Размеры панели следующие: рад, м, толщина м. Большой радиус м, притом при выборе вариантов конструкций этот параметр фиксируется для того, чтобы покрывная площадь рассматриваемого сегмента оболочки оставалась неизменной (173,5 м2). При этом малый радиус r становится переменным и зависит от угла : . Угол отклонения от вертикальной оси берётся различным, в зависимости от рассматриваемого варианта (табл. 1): Таблица 1 Рассматриваемые варианты Table 1 Considered variants Параметр Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 , рад 0 r, м 13 11,75 10,85 10,20 9,73 9,42 9,25 9,19 Вначале рассмотрим подробно вариант 1. На рис. 7 показана полученная зависимость прогиба W от нагрузки q при тригонометрической (рис. 7, а) и полиномиальной (рис. 7, б) аппроксимации. Рис. 7. Графики зависимости прогиба W от нагрузки q в середине (красный) и в четверти (синий) панели при (а) - тригонометрической и (б) - полиномиальной аппроксимации Fig. 7. Stress-strain curve in the middle (red) and in a quarter (blue) of the panel at trigonometric (а) and polynomial (b) approximations На рис. 8 и 9 показаны поля прогибов до и после потери устойчивости, отложенные на тороидальной оболочке. Рис. 8. Поле прогибов до потери устойчивости, отложенное на панели тороидальной оболочки при (а) - тригонометрической и (б) - полиномиальной аппроксимации для варианта 1 Fig. 8. The deflection field before the loss of stability which is effected on the panel of the toroidal shell during trigonometric (a) and polynomial approximations (b) for variant 1 Рис. 9. Поле прогибов после потери устойчивости, отложенное на панели тороидальной оболочки при (а) - тригонометрической и (б) - полиномиальной аппроксимации для варианта 1 Fig. 9. The deflection field after the loss of stability effected on the panel of the toroidal shell at trigonometric (a) and polynomial (b) approximations for variant 1 Для варианта 4 поля прогибов до и после потери устойчиости, отложенные от панели тороидальной панели, представлены на рис. 10 и 11. Рис. 10. Поле прогибов до потери устойчивочти, отложенное на панели тороидальной оболочки при (а) - тригонометрической и (б) - полиномиальной аппроксимации для варианта 4 Fig. 10. The deflection field before the loss of stability which is effected on the panel of the toroidal shell at trigonometric (a) and polynomial (b) approximations for variant 4 Рис. 11. Поле прогибов после потери устойчивости, отложенное на панели тороидальной оболочки при (а) - тригонометрической и (б) - полиномиальной аппроксимации для варианта 4 Fig. 11. The deflection field after the loss of stability which is effected on the panel of the toroidal shell at trigonometric (a) and polynomial (b) approximations for variant 4 Критические нагрузки, полученные для всех рассматриваемых вариантов, а также значения максимальных прогибов представлены в табл. 2. Для большей наглядности, данные из табл. 2 были представлены в виде графиков на рис. 12, и 13. Так как в ряде случаев перед общей потерей устойчивости наблюдалась локальная потеря устойчивости [37], на графиках это показано ветвлением кривой. Таблица 2 Значения критических нагрузок при различных углах Table 2 The values of the critical loads for various angles Параметр Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 , рад 0 Критические нагрузки, МПа Триг. аппрокс. 1 крит. 4,55 4,14 3,83 3,64 3,6 8,66 7,42 3,7 2 крит. 4,75 6,21 9,02 9,3 9,23 - - - Полин. аппрокс. 1 крит. 6,32 6,29 6,11 5,05 4,59 4,1 3,57 3,09 2 крит. 8,6 8,35 7,97 5,37 - - - - Значения максимального прогиба, м Триг. аппрокс. 1.5 МПа 0,1138 0,1029 0,1019 0,1067 0,1141 0,1213 0,1259 0,1278 3 МПа 0,6565 0,5684 0,5158 0,4819 0,4480 0,3969 0,3302 0,2921 1 крит. 1,5735 1,3175 1,0929 0,9715 0,9556 2,3271 1,7049 0,7213 Полин. аппрокс. 1,5 МПа 0,1174 0,1025 0,0984 0,0985 0,0995 0,1002 0,1012 0,1043 3 МПа 0,4568 0,3677 0,3115 0,2752 0,2518 0,2383 0,2351 0,3461 1 крит. 1,0992 0,9835 0,8295 0,5424 0,4400 0,4124 0,4154 1,0150 Рис. 12. Графики критических нагрузок в зависимости от угла при (а) - тригонометрической и (б) - полиномиальной аппроксимации Fig. 12. Graphs of critical loads deflections depending on the angle at trigonometric (a) and polynomial (b) approximations Рис. 13. Графики максимальных прогибов в зависимости от угла : а - красный и оранжевый - тригонометрическая аппроксимация, нагрузки МПа и МПа соответственно, синий и фиолетовый - полиномиальная аппроксимация, нагрузки МПа и МПа соответственно; б - нагрузка при потере устойчивости, красный - тригонометрическая, синий - полиномиальная аппроксимации Fig. 13. Graphs of maximum deflections depending on the angle : а the red and orange colors show the trigonometric approximation, the load is MPa, and MPa respectively, the blue and purple colors show the polynomial approximation, the load is MPa, and MPa respectively; b load with the loss of stability, the red color shows the trigonometric approximation, the blue color shows the polynomial approximation Заключение Из полученных данных можно сделать следующие выводы: - тригонометрическая аппроксимация не всегда может улавливать локальную потерю устойчивости; - с увеличением нагрузки расхождение между разными вариантами аппроксимаций увеличивается (см. рис. 13); - увеличение угла отклонения приводит к уменьшению значения критической нагрузки, что может быть вызвано увеличением площади поверхности самой оболочки; - при увеличении угла величина максимального прогиба уменьшается.

About the authors

P A Bakusov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

A A Semenov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

References

Statistics

Views

Abstract - 571

PDF (Russian) - 167