# Abstract

Thin-walled geometrically irregular objects in the form of orthotropic rectangular plates are considered on the basis of the linear thermoelasticity, they are supported by the ribs symmetric with respect to middle plane. The location of the ribs coincides with the direction of the supersonic gas flow. The continuum model of the thermoelastic system “plate- ribs” was chosen. Singular differential equations of quasi-static and dynamic state of the elastic system contain tangential efforts and transverse force. Tangential efforts occur during heating of the plate. The transverse force caused by a small deflection plates is determined in the standard way via the “forcer” theory. The tangential effort is pre-determined by the solutions of singular differential equations of thermoelasticity for a geometrically irregular plate with given boundary conditions. The solution of the singular differential equations of thermoelasticity of the plate in a supersonic gas flow in quasi-static and dynamic formulation of the objectives sought in the form of sums of double trigonometric series, respectively, with the constant and variable along the time coordinate coefficients. The coefficients - approximating the function of trough - of the ranks are determined using Galerkin method as a solution of the homogeneous algebraic systems or homogeneous systems of differential equations of the second order in the case of a dynamic formulation of the problem. The solution is given in the second approximation. The critical values of the gas flow rate are determined on the basis of the standard methods of analysis of static and dynamic stability of thin-walled structures. Quantitative results are presented in tables illustrating the influence of the geometrical parameters of the “plate-ribs” thermoelastic system, the relative height of the ribs, number of ribs, the ratio of the sides of the plate, temperature, the material anisotropy on the stability of the geometrically irregular plate over the sound of the gas flow.

# Full Text

Геометрически нерегулярные тонкостенные упругие системы, обширный класс которых составляют ребристые оболочки и пластинки, являются элементами различных современных аппаратов специального назначения. Условия эксплуатации таких систем предусматривают совместное воздействие нагрева и высокоскоростного газового потока. Исследованию упругого поведения гладких пластин и оболочек на основе атермической теории посвящено большое число работ, полный перечень которых содержал бы десятки наименований. Ограничимся некоторыми из них [1, 2, 3, 4, 5]. Значительно меньше работ содержат исследования совместного воздействия температуры и сверхзвукового потока на гладкие пластинки и оболочки. Важные для практики результаты в этой области приводятся в работах [6, 7, 8]. Работы, в которых анализируется влияние подкрепляющих пластину или оболочку ребер под действием сверхзвукового потока на базе термической теории в открытой научной литературе отсутствуют. Это связано не с маловажностью проблемы, а прежде всего с чрезвычайной математической сложностью таких задач, решаемых на основе дискретной модели «оболочка-ребра». Разработка континуальных моделей с использованием элементов теории обобщенных функций, основные положения которых содержится в работах [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], позволила сводить решения задач статической и динамической термоупругости ребристых пластин и оболочек к интегрированию систем сингулярных дифференциальных уравнений точными и приближенными методами высшего анализа [19, 20, 21]. 1. В квазистатической постановке задачи сингулярное уравнение термоупругого равновесия ортотропной геометрически нерегулярной пластинки на основе континуальной модели запишется как (1) где - относительная интенсивность поперечной нагрузки, вызванная прогибом пластинки, стандартным образом определяется по «поршневой» теории [22, 23]; - число Маха [6]; - невозмущенная скорость набегающего газового потока; - скорость звука; - функция прогиба; - относительная высота i-го ребра; - ширина i-го ребра; , ( ), ; - обобщенная δ-функция Дирака [24, 25, 26]; - тангенциальные усилия, вызванные нагревом пластинки до постоянной температуры , определяются на основании решения системы сингулярных дифференциальных уравнений (2) При неоднородных краевых условиях при , , при , усилия запишутся в виде , . (3) В уравнениях (2) ( ). Решение уравнения (1), предварительно преобразованного к виду (4) тождественно удовлетворяющего условиям шарнирного закрепления всех четырех сторон термоупругой системы «пластинка-ребра», зададим в виде двойного тригонометрического ряда с постоянными коэффициентами . (5) Коэффициенты ряда (5) на основании процедуры Галеркина [27, 28, 29] определяются как решения однородной алгебраической системы. Из равенства нулю определителя этой системы следуют соотношения для критических значений скоростей. В случае двучленной аппроксимации [6, 7] (6) что соответствует двум полуволнам в направлении потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении, получим , (7) где , , . В случае изотропной гладкой пластинки равенство (7) принимает вид, приведенный в работе [30], в случае ребристой - в работе [31]. Введем в рассмотрение безразмерный параметр , тогда и предельное значение этого параметра запишется как . (8) Результаты расчетов для различных ортотропных материалов и значений геометрических параметров приводятся в табл. 1-3. 2. Анализ устойчивости относительного равновесия термоупругой системы «пластинка-ребра» сводится к интегрированию дифференциального уравнения (9) где - удельный вес; - интенсивность поля тяжести; - параметр демпфирования. Таблица 1 Значения в случае пластинки без ребер ( ) Table 1 Values of for the plate without ribs ( ) АГ-4С СВАМ (I) (II) 1/2 0,4553 0,7630 0,4758 0,7593 0,5554 0,6497 2,2500 1,4496 1 0,5759 1,2800 0,4121 1,1574 0,2250 0,7632 22,2188 2,1689 2 6,7165 2,0500 5,4069 1,4738 0,3093 1,3091 179,859 2,4174 Таблица 2 Значения в случае пластинки с одним ребром ( ) Table 2 Values of for the plate with one rib ( ) АГ-4С СВАМ (I) (II) 1/2 1 0,4478 0,7675 0,4697 0,7629 0,5549 0,6502 2,4468 1,4765 3 2,1771 1,5921 1,6539 1,4868 0,3827 0,7893 71,3531 2,3971 5 51,9107 2,4093 41,8892 2,3861 2,8811 1,4671 1376,86 2,4943 1 1 0,6358 1,3083 0,4607 1,1738 0,2210 0,7684 23,7938 2,1863 3 21,6359 2,3470 17,4501 2,2485 1,1570 1,4142 575,044 2,4837 5 419,504 2,4913 339,332 2,4846 27,2672 1,725 1101,1 2,4991 2 1 7,1965 2,0791 5,7952 1,4966 0,3408 1,3269 192,459 2,4225 3 175,197 2,4763 141,71 2,3855 11,3659 1,7219 4602,46 2,4965 5 3358,15 2,4985 2717,77 2,4935 220,247 1,7485 88154,9 2,4998 Таблица 3 Значения в случае пластинки с тремя ребрами ( ) Table 3 Values of for the plate with three ribs ( ) АГ-4С СВАМ (I) (II) 1/2 1 0,4403 07720 0,4667 0,7647 0,5544 0,6507 2,6437 1,5021 3 4,8096 1,8854 2,7187 1,6619 0,2099 0,8974 140,456 2,4459 5 104,277 2,4534 63,0717 2,4223 6,3175 1,5876 2751,47 2,4971 1 1 0,6958 1,3309 0,5092 1,1898 0,2171 0,7740 25,3687 2,2019 3 42,6959 2,4183 34,488 2,3613 2,5391 1,5477 1127,87 2,4916 5 838,433 2,4956 678,252 2,4923 54,7594 1,7373 22016 2,4995 2 1 7,6765 2,0984 6,1835 1,5184 0,3723 1,3433 205,059 2,4271 3 343,677 2,4878 278,013 2,4393 22,4224 1,7355 9025,06 2,4982 5 6709,57 2,4993 5428,13 2,4967 440,184 1,7492 176130 2,4999 В этом случае решение зададим в виде двойного тригонометрического ряда с переменными по временной координате коэффициентами (10) Коэффициенты ряда (10) во втором приближении определяются как решения системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений (11) Здесь . Подстановками (12) система (11) сводится к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка (13) где , , , . Характеристическое уравнение (14) в случае отсутствия демпфирования примет вид . (15) Из условия , ( ), (16) при котором хотя бы один из четырех корней алгебраического уравнения (15) будет положительным, определим интервал изменения относительной скорости потока газа при котором прогиб термоупругой системы растет: (17) при . При учете демпфирования ( ) возникает вопрос об устойчивости системы (11), которая сведена к одному дифференциальному уравнению (13). На основании критерия Гурвица [32] , , получим (18) Результаты расчетов приведены в табл. 4. Таблица 4 Значения критических скоростей при различных геометрических параметрах и модулей упругости Table 4 Critical speed values at different geometrical parameters and Young's modulus , , , , , , 2 1 2 1 нет 2354 659 612 нет 258 244 382 3 7326 1281 690 3 7832 1255 509 5 101544 13058 2162 5 160685 20362 2897 3 17301 2528 846 3 24014 3278 762 5 299953 37859 5262 5 482571 60598 7927 Окончание табл. 4 , , , , , , 2 1 2 1 нет 2332 644 587 нет 251 228 357 3 7313 1258 661 3 7815 1226 474 5 101529 13027 2109 5 160669 20330 2839 3 17287 2502 812 3 23998 3249 719 5 299939 37831 5208 5 48557 60569 7871 Количественный анализ выявил следующие закономерности влияния геометрических параметров на поведение термоупругой ортотропной системы в потоке газа: 1. Во всех рассмотренных случаях параметр относительной высоты ребра, как и увеличение числа ребер (параметр п), ведут к существенному росту предельной скорости потока: материал АГ-4С 2. С увеличением параметра (что ведет к уменьшению относительной длины ребер) величина относительной скорости потока значительно возрастает: материал АГ-4С Эта тенденция сохраняется и для других ортотропных материалов, а также в случае изотропных [26]. 3. Главная ось упругости, для которой модуль упругости наибольший, должна быть параллельна скорости потока, так как при выполнении этого требования существенно повышается устойчивость геометрически нерегулярной пластинки - увеличивается наименьшее значение скорости потока, при которых прогибы термоупругой системы неограниченно возрастают во времени. 4. Влияние параметра (учет демпфирования) на величины наименьших скоростей незначительно, и тем меньше, чем больше относительная высота ребер, их число и величина модуля упругости в направлении потока. 5. С увеличением температуры (параметр ) наименьшие скорости потока, при прочих равных условиях, убывают. 6. Существенное влияние на устойчивость ортотропной пластинки оказывает параметр , увеличение которого ведет к значительному росту относительной скорости потока. В случае гладкой пластинки эта закономерность нарушается. Важно отметить, что перечисленные закономерности выявлены для случая двух полуволн в направлении газового потока и одной полуволны в перпендикулярном направлении.

# About the authors

### O A Myltcina

Saratov State University

### G N Belostochny

Saratov State University

# References

1. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
2. Амбарцумян С.А. Багдасарян Ж.Е. Об устойчивости ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. - 1961. - № 4. - С. 91-96.
3. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Выпучивание и установившийся флайтер термически сжатых панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке // Инж. журн. - 1961. - № 2. - С. 82-96.
4. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // Прикладная математика и механика. - 1956. - № 2. - С. 211-222.
5. Дун Мин дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // ДАН СССР. - 1958. - № 4. - С. 726-729.
6. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - 520 с.
7. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. - М.: Изд-во МГУ, 1963. - 417 с.
8. Болотин В.В. Температурное выпучивание пластин и пологих оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Расчеты на прочность. - М.: Машгиз, 1960. - Вып. 6. - С. 190-216.
9. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. - Вып. 4. - С. 150-166.
10. Белосточный Г.Н., Ульянова О.И. Континуальная модель композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2011. - № 2. - С. 32-40.
11. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Континуальная модель термочувствительной ортотропной системы «оболочка-ребра» с учетом влияния больших прогибов // Механика деформируемых сред: сб. ст. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та. - 1983. - Вып. 8. - С. 10-22.
12. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Континуальный подход к термоустойчивости упругих систем «пластинка-ребра» // Прикладная теория упругости: сб. ст. - Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та, 1980. - С. 94-99.
13. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Секвенциальный подход к построению моделей термоупругих систем в виде пологих оболочек переменной толщины и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости сложного очертания / Сарат. политехн. ин-т. - Саратов, 1982. - 23 с. Деп. В ВИНИТИ 28.12.82. № 6449-82.
14. Жилин П.А. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Изв. АН СССР. МТТ. - 1966. - № 5. - С. 139-142.
15. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек. Прочность гидротурбин // Тр. ЦКТИ. Вып. 8. - Л., 1968. - С. 46-70.
16. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационный метод вывода нелинейных уравнений движения пологих ребристых оболочек // Вестн. гражд. инженеров. - 2008. - № 4 (17). - С. 121-124.
17. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемешениях. - Л.: Стройиздат. Ленингр. отделение, 1986. - 168 с.
18. Белосточный Г.Н., Мыльцина О.А. Уравнения термоупругости композиций из оболочек вращения // Вестн. Сарат. техн. ун-та. - 2011. - Т. № 4, № 1. - С. 56-64.
19. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных // Докл. Акад. наук СССР. - 1970. - Т. 191, № 5. - С. 997-1000.
20. Белосточный Г.Н., Гущин Б.А. Секвенциальный подход к интегрированию линейного дифференциального уравнения // Прикладная теория упругости: межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та. - 1989. - С. 92-99.
21. Белосточный Г.Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Акад. воен. наук. - 1999. - № 1. - С. 14-26.
22. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамики больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. - 1956. - № 6. - С. 733-755.
23. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 888 с.
24. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций (Секвенциальный подход). - М.: Мир, 1976. - 311 с.
25. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, гл. ред.я физ.-мат. лит., 1976. - 280 с.
26. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 470 с.
27. Канторович Л.В., Крылов В.И. приближенные методы высшего анализа. - Л., М.: Гос. изд-во техн. теор. лит., 1949. - 695 с.
28. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. - Л., М.: Гос. изд-во техн. теор. лит., 1948. - 400 с.
29. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985. - 589 с.
30. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. - 984 с.
31. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Термоупругие системы типа «пластинка-ребра» в сверхзвуковом потоке газа // Прикл. теория упругости: межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та, 1983. - С. 114-121.
32. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергия, 1967. - 648 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 257

PDF (Russian) - 45

#### PlumX

Copyright (c) 2017 Myltcina O.A., Belostochny G.N.