# Abstract

The paper considers the static linear pipe bending at river crossings and ravines under the gravity of the pipe and transported fluid. It is assumed that the parts of the pipeline on either sides of the sagging part are embedded into the ground with same properties. A simple model of the ground elasticity is used which entails a replacement of its distributed spring system with a certain rigidity in the longitudinal and transverse directions of the pipeline. The fluid speed is not considered. The internal pressure difference exerts an unbalanced lateral force directed towards the convexity of the curved axial line. The impact on the axial extension bend of the pipe produced by the axially symmetric deformation is also taken into consideration. The direct problem is to determine the deflection for the given size, stiffness and strength characteristics of the pipe and ground. To simplify the problem, the case of a high internal pressure and shallow pipe occurrence in the ground is considered. The dependence of bending is determined based on the stiffness of the ground and pipeline, as well as on the internal pressure. The pressure growth results in the bending increase. In particular, the critical value of the internal pressure is determined when the bending increases without limit in the linear problem. The inverse problem is to determine the relative stiffness of the ground under the instrumental determination of the pipeline bending or deformation of its outer fibers. It is achieved using the method of the pipeline additional loading by the concentrated power and determination of an appropriate instrumental bending or deformation. In particular, the loading and corresponding measurements are carried out at the midpoint of the pipeline span. The critical value of the relative ground stiffness is determined, below which the bending starts to increase without limit.

# Full Text

1. Постановка задачи Трубопровод внутренним радиусом R, толщиной стенки h свободно провисает на участке длиной L (рис. 1, а). Начало продольной координаты x принимается в середине этого участка. Участки -∞ < x < - L/2 и L/2 < x < ∞ находятся в грунте, свойства которого принимаются одинаковыми. Реакция грунта моделируется деформацией системы упругих пружин. При прогибе w(x) трубопровода со стороны системы пружин возникает распределенная сила, равная qsw, а при продольном перемещении u(x) трубопровода - распределенная сила tsu. Здесь через qs и ts обозначены жесткости системы пружин в поперечном и продольном направлениях. Реакция грунта на изгиб трубопровода более подробно рассматривается в [1-4]. В них, а также в [5-10] дается анализ прочности и устойчивости. Учитывается влияние давления p транспортируемой жидкости на изгиб трубопровода. Теоретическое и экспериментальное изучение этого влияния содержится в [11, 12]. Скорость V движения жидкости, а также изменение p на длине L не учитывается. Такое допущение может быть приемлемым, если ρf V2 << p, где ρf - плотность жидкости. Это условие выполняется, например, при данных p = 70 бар = 7·106 кг/м·с2, ρf = 900 кг/м3, V = 10 м/с. В газовых трубопроводах это условие выполняется практически всегда. Принимается допущение о повороте поперечного сечения так, что нормаль к осевой линии остается нормалью при изгибе и сохраняет свою круговую форму. Рассматривается статический линейный изгиб трубопровода. Нелинейный изгиб изучается, например, в работах [13-15]. Первая из них посвящена анализу сильного изгиба пролета трубопровода при подъеме его сосредоточенной силой, а вторая - описанию изгиба сверхпроводящего кабеля, представляющего трубу с концентрическими слоями из разных материалов для прокачки охлаждающего жидкого азота. В [15] рассмотрен нелинейный изгиб двухслойного трубопровода с определяемой из решения задачи длиной пролета (модель укладки трубопровода на морское дно). Рис. 1. Статический изгиб трубопровода Fig. 1. The static bending of pipeline Приведенная модель трубчатой балки широко используется для описания поведения трубопровода [2, 4, 8, 10]. Рассматриваемая расчетная схема справедлива не только в случае трубопровода и грунта, но и в случае конструкций трубопровод-емкость, где более податливая сплошная среда уменьшает концентрацию напряжений в месте соединения трубопровода со стенкой емкости (рис. 1, б). Различные подходы в обратных задачах упругой деформации стержней, балок, пластин рассматриваются, например, в [16, 17]. К самым последним публикациям по теме относятся работы [18-27], в которых изучаются свободные, вынужденные и параметрические колебания. Поведение трубы при ударном внутреннем давлении рассматривается в [27]. При этом влияние грунта не учитывается. В [24] дается обзор исследований. Линейное уравнение статического изгиба имеет вид [2, 11] (1) где E, ρ - модуль упругости и плотность материала; q - распределенные внешние силы на трубопровод, которые состоят из собственных весов жидкости и материала трубопровода единичной длины; g - гравитационное ускорение. Для x > L/2 в правой части (1) добавляется реакция грунта, равная -qsw. В линейном приближении в уравнении изгиба (1) отсутствует продольное перемещение, однако более строгий учет внутреннего перепада давления приводит к появлению такой зависимости. Величина P в (1) состоит из части, связанной с взаимодействием разности внутреннего и внешнего давлений p - ps и изменения угла поворота осевой линии (кривизны), и части, обусловленной кольцевой и осевой силами Nθ, Nx в стенке трубы под действием p - ps [11]. Здесь ps - давление на стенки трубы со стороны грунта. Первая часть π[R2 p - (R + h)2 ps] ≈ πR2 (p - ps ). В дальнейшем будем пренебрегать величиной по сравнению с радиусом R. Как видно из (1), изгибная деформация трубы зависит от условия ее растяжения-сжатия. Но в линейной постановке продольное растяжение-сжатие отделяется от задачи изгиба и не зависит от прогиба. Рис. 2. Продольная и кольцевая силы в стенке трубы Fig. 2. Longitudinal and annular forces in the pipe wall Для получения второй части P рассмотрим продольную силу 2πRNx, где Nx - усилие на продольную полоску единичной ширины стенки трубы толщиной h, как было определено выше (рис. 2). Из закона Гука , . (2) Окружная сила Nθ на единичную ширину кольца . Исключив деформацию в (2), находим . (3) Таким образом, с учетом (3) в уравнении (1) получаем (4) Так как в пределах 0 ≤ x ≤ L/2 на трубу не действуют силы в осевом направлении, то из уравнения равновесия 2πRdNx/dx = 0 следует постоянство Nx и в линейной постановке постоянство εx = du/dx. Отсюда εx = C и u = Cx + G (0 ≤ x ≤ L/2). Для участка x > L/2 деформацию εx определяем из равенства сил 2πRhE(dεx /dx) и tsu, или , , решение которого u = A exp(αx) + B exp(-αx) должно удовлетворять условиям u = 0 (x→∞), а также равенства продольных перемещений и сил левой и правой частей трубопровода в точке x = L/2. Определив A, B, C, G из указанных условий, выражения (4) приводим к виду (5) Из (5) видно, что учет радиального расширения трубы под действием внутреннего давления приводит к уменьшению продольной силы P по всей длине (когда это расширение не учитывается, в (5) ν не входит, поэтому в этом случае результат можно получить, положив ν = 0). Учет продольного перемещения на участке x > L/2 увеличивает здесь значение P, но уменьшает на участке 0 ≤ x ≤ L/2. В случае неглубокого залегания трубопровода в грунте и высокого внутреннего давления (ps << p) выражение P для обоих участков является одинаковым P = πR2p(1 - 2ν ). Такое допущение используется в [20]. С учетом (5) уравнению (1) придаем вид (6) 2. Случай высокого внутреннего давления в трубопроводе и неглубокого залегания в грунте Отбрасывая в (6) члены, содержащие ps, и вводя обозначения (7) второе уравнение (6) запишем в виде . (8) Для участка 0 ≤ ξ ≤ 1/2 в (8) отсутствует член 4β4w. Граничные условия состоят в равенстве нулю угла поворота и перерезывающей силы в средней точке трубы: , (9) и в равенствах прогибов, углов поворота, изгибающих моментов, перерезывающих сил в месте перехода от провисающей части (0 ≤ ξ ≤ 1/2) трубы к участку в грунте (ξ > 1/2): , , , . (10) Кроме того, ставятся условия , . (11) Отношение веса трубопровода q к жесткости пружин qs в поперечном направлении представляет собой равномерную по x осадку трубы в грунте. Решения уравнения (8), а также уравнения без члена 4β4w, удовлетворяющие условиям (9) и (11), имеют вид , (12) , . Таким образом, при удалении от провисающей части трубопровода прогиб стремится к равномерной осадке. Удовлетворяя (12) условиям (10), получаем , , , , , , . Зависимость относительного прогиба W = (24d/q)w в точке ξ = 0 от относительной жесткости грунта для различных значений относительного внутреннего давления μ показана на рис. 3. Рис. 3. Зависимость относительного прогиба W в середине (ξ = 0) пролета трубопровода от относительной жесткости грунта β Fig. 3. The dependence of W relative bending in the middle (ξ = 0) of the pipeline span on the relative stiffness of β soil С увеличением относительной жесткости β грунта происходит уменьшение относительного прогиба, причем тем быстрее, чем меньше относительное внутреннее давление μ. С увеличением μ возрастает относительный прогиб W. Таким образом, внутреннее давление вызывает дополнительный изгиб трубопровода. С уменьшением жесткости грунта происходит стремительный рост прогиба. То значение относительной жесткости грунта, когда прогиб возрастает неограниченно, назовем критическим βcr. Оно определяется из уравнения ∆(β, μ) = 0 или . (13) В отсутствие внутреннего давления (μ = 0) из (13) следует βcr = 0. Это означает, что неограниченное возрастание прогиба в линейной постановке может быть только при исчезающе малой жесткости грунта. При значении μ << 1 имеем βcr ≈ μ. Отметим, что эта оценка остается справедливой даже при нарушении условия μ << 1. Так, при μ = 0,3, 0,5 из (13) имеем βcr ≈ 0,303, 0,516. Другой предельный случай β→∞ соответствует большой жесткости грунта по сравнению с жесткостью на изгиб трубы. Тогда из (13) следует cos(μ/2) = 0 или μcr = π. С учетом (7) имеем значение критического внутреннего давления , , где PE - эйлерово значение продольной сжимающей силы в случае защемленных концов трубы (w = dw/dξ = 0 при ξ = -1/2, 1/2). Для большого, но конечного значения β примем μ = π - ε, где ε << π. Тогда из (13) находим ε ≈ 2π/(2 + β). Поэтому в этом случае μ ≈ πβ/(2 + β) и . Если, например, β = 8, то pcr снижается на 20 % по сравнению с предельным случаем абсолютной жесткости грунта. В случае отсутствия транспортируемой жидкости или малого внутреннего давления (μ = 0) выражение для относительного прогиба имеет вид (14) Зависимость W(β) по первому выражению (14) при ξ = 0 также показана на рис. 3. 3. Определение реакции грунта на изгиб трубопровода Определение параметра qs или относительной жесткости грунта β может быть осуществлено формально по замеру прогиба w трубопровода или деформации крайних волокон, например, в центре пролета (ξ = 0). Для этого могут быть использованы выражения (12), (14). Однако такой способ практически нереализуем. Здесь предлагается способ догружения сосредоточенной силой Q в средней точке ξ = 0 и замеров соответствующего дополнительного прогиба или деформации в этой же точке. Такая обратная задача, очевидно, сопряжена с повышенными требованиями к экспериментальным данным и с вопросом о ее корректности. Эти вопросы здесь не обсуждаются. Снова рассмотрим случай p >> ps, когда справедливо уравнение (8). Тогда относительно прогиба w, вызванного силой Q, имеем уравнения , (15) , где δ(ξ - 0) - дельта-функция. Граничные условия и условия сопряжения те же (9)-(11), но в них функция w(ξ) означает дополнительный прогиб. Решения уравнений (15), удовлетворяющие условиям (9) и (11), имеют вид , (16) , где . После удовлетворения условиям (10), находим , , , . В связи с тем, что определение параметра β по замеренным значениям прогиба или деформации трубы по выражениям (16) весьма затруднительно, рассмотрим более простой случай нулевого перепада давления (μ = 0). Тогда решения (16) приобретают вид , (17) . Зная экспериментальное значение прогиба [w] в точке ξ = 0, можно определить параметр , (18) , , (19) откуда qs = 4dβ4. Пусть надземная часть стальной трубы L=25 м, а ее внутренний диаметр 2R и толщина стенок h равны соответственно 0,309 и 0,008 м. E = 2·1011 Па, при этом d ≈ 51,27 Па. Определим прогиб трубы под действием груза Q = 500 H при жесткости грунта qs ≈ 16611,89 Па (β = 3). В соответствии с первой формулой в (17) получим, что прогиб w ≈ 0,13 м. В обратной задаче определяем жесткость грунта qs, если известно, что под действием дополнительного груза Q = 500 H прогиб трубопровода возрастает на [w] = 0,13 м. По формулe (19) W ≈ 0,25 м, а по формуле (18) β ≈ 3,04, поэтому qs ≈ 17589,61 Па (или qs /E = 8,79·10-8). Анализ показывает, что малые ошибки замера значения [w] приводят в обратной задаче к значительным ошибкам в определении значения жесткости грунта qs. Например, при [w] = 0,125 м значение qs ≈ 19712,52 Па (β ≈ 3,13), а при [w] = 0,135 м значение qs ≈ 15795,79 Па (β ≈ 2,96). На рис. 4 приведены значения β от W также при ненулевых µ (этот график построен при задании β). Рис. 4. Зависимость относительной жесткости грунта β от относительного прогиба трубопровода W для различного относительного давления транспортируемой жидкости µ Fig. 4. The dependence of the relative stiffness of soil β on the relative bending of W pipeline for different relative pressures of the transported fluid μ В силу принятого допущения о нормали к изогнутой оси поперечного сечения трубы продольная деформация нижнего волокна наружной поверхности ε = - (R + h)(d2w/dx2). С учетом выражения (17) при ξ = 0 получаем . E Рис. 5. Зависимость относительной жесткости грунта β от относительной продольной деформации трубопровода E Fig. 5. The dependence of the relative stiffness of soil β on the relative longitudinal deformation of pipeline E Зависимость относительной жесткости грунта β от безразмерной величины E = = (16L2d/Q (R + h)) [ε] показана на рис. 5. Заключение В идеализированной системе труба-транспортируемая жидкость-грунт определяется прогиб трубопровода в зависимости от геометрических и механических характеристик трубы, от плотности и давления жидкости, упругой реакции грунта. Учитывается влияние на изгиб взаимодействия внутреннего перепада давления и кривизны осевой линии, а также возникающего продольного усилия в результате осесимметричной деформации трубы. Рассмотрен случай большого внутреннего давления в трубопроводе и неглубокого его залегания в грунте, когда задача существенно упрощается. С увеличением внутреннего перепада давления происходит рост прогиба пролета трубопровода. Определяются критическое значение жесткости грунта, ниже которого в линейной задаче происходит неограниченное возрастание прогиба, а также значение внутреннего перепада давления, выше которого происходит такое возрастание. В обратной задаче по экспериментально определенным значениям прогиба или деформации трубы определяется значение жесткости грунта.

### M A Ilgamov

Mavlyutov Institute of Mechanics RAS

### A A Yulmukhametov

Mavlyutov Institute of Mechanics RAS

# References

1. Виноградов С.В. Расчет подземных трубопроводов на внешние нагрузки. - М.: Стройиздат, 1980. - 135 с.
2. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. - М.: Недра, 1982. - 341 с.
3. Александров М.М. Взаимодействие колонны труб со стенками скважины. - М.: Недра, 1982. - 144 с.
4. Бородавкин П.П., Синюков А.М. Прочность магистральных трубопроводов. - М.: Недра, 1984. - 226 с.
5. Васильев Н.П. Балластировка и закрепление трубопроводов. - М.: Недра, 1984. - 166 с.
6. Морозов В.Н. Магистральные трубопроводы в сложных инженерно-геологических условиях. - Л.: Недра, 1987. - 121 с.
7. Перун И.В. Магистральные трубопроводы в горных условиях. - М.: Недра, 1987. - 175 с.
8. Зарипов Р.М., Коробков Г.Е., Чичелов В.А. Универсальный метод расчета на прочность магистральных газопроводов // Газовая промышленность. - 1998. - № 4. - С. 44-55.
9. Харионовский В.В. Надежность и ресурс конструкции газопроводов. - М.: Недра, 2000. - 486 с.
10. Султанов М.Х. Основные положения расчета допустимого рабочего давления при эксплуатации магистральных нефтепродуктопроводов // Транспорт и хранение нефтепродуктов. - 2002. - № 12. - С. 8-12.
11. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости / ИММ РАН. - Казань, 1994. - 208 с.
12. Tang D.M., Ilgamov M.A., Dowell E.H. Buckling and post-buckling behaviour of a pipe subjected to internal pressure // Journal of Applied Mechanics: Transactions ASME. - 1995. - Vol. 62. - No. 3. - P. 595-600. doi: 10.1115/1.2895987
13. Ilgamov, M.A., Ratrout, R.A. Large deflection of superconducting cable // Int. J. Nonlinear Mech. - 1999. - Vol. 34. - No. 5. - P. 869-880. doi: 10.1016/S0020-7462(98)00059-6
14. Ильгамов М.А., Якупов Р.Г. Сильный изгиб трубопровода // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2003. - № 6. - С. 109-116.
15. Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Нелинейно-упругая деформация подводного трубопровода в процессе укладки // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2012. - № 1. - С. 70-78. doi: 10.7242/1999-6691/2012.5.1.9
16. Ахатов И.Ш., Ахтямов А.М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. - 2001. - № 2. - С. 290-298.
17. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М.: Физматлит, 2009. - 272 с.
18. Глазков А.С., Климов В.П., Гумеров К.М. Продольно-поперечный изгиб трубопровода на участках грунтовых изменений // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. - 2012. - № 1. - С. 63-70.
19. Чужиков С.Н., Новиков П.А., Ларионов Ю.В. Анализ прочности трубопровода на участках просадки грунта // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. - 2012. - № 4. - С. 92-100.
20. Гимазетдинов И.Р., Климов В.П., Гумеров А.К. Некоторые особенности напряженного состояния трубопроводов на переходах через реки и овраги // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. - 2014. - № 3. - С. 55-65.
21. Dynamics of a pipe conveying fluid flexibly restrained at the ends / M. Kheiri, M.P. Paidoussis, G.C.Del. Pozo, M. Amabili // Journal of Fluids and Structures. - 2014. - Vol. 49. - P. 360-385. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2013.11.023
22. Evolution of the double-jumping in pipes conveying fluid flowing at the supercritical speed / L.Q. Chen, Y.L. Zhang, G.C. Zhang, H. Ding // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - Vol. 58. - P. 11-21. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2013.08.012
23. Saadelin R., Hu Y., Henni A. Numerical analysis of buried pipes under field geo-environmental conditions // International Journal of Geo-Engineering. - 2015. - Vol. 2. - P. 1-22. doi: 10.1186/s40703-015-0005-4
24. Li S., Karney B.W., Liu G. FSI research in pipeline systems - A review of the literature // Journal of Fluids and Structures. - 2015. - Vol. 57. - P. 277-297. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.06.020
25. Texier B.D., Dorbolo S. Deformations of an elastic pipe submitted to gravity and internal fluid flow // Journal of Fluids and Structures. - 2015. - Vol. 55. - P. 364-371. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.03.010
26. Wang S., Karmakar D., Soares C.G. Hydroelastic impact of a horizontal floating plate with forward speed // Journal of Fluids and Structures. - 2016. - Vol. 60. - P. 97-113. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.11.005
27. Ганиев Р.Ф., Ильгамов М.А. Упругая реакция трубопровода на внутреннее ударное давление // ДАН. - 2016. - Т. 470, № 2. - С. 162-165. doi: 10.7868/S0869565216260078

# Statistics

#### Views

Abstract - 225

PDF (Russian) - 78

#### PlumX

Copyright (c) 2017 Ilgamov M.A., Yulmukhametov A.A.