Full Text

Введение Моделирование процесса накопления деформаций прямого превращения или мартенситной неупругости для статически неопределимых систем из сплавов с памятью формы (СПФ) требует решения соответствующих краевых задач. Простейшими такими проблемами являются задачи изгиба [1-6] и кручения [7-13] элементов из СПФ. Численному моделированию термомеханического поведения толстостенной трубы из СПФ в рамках структурно-аналитической теории поведения этих материалов [14] посвящены работы [14-19]. Используется как метод конечных разностей [18], так и метод конечных элементов [19]. Аналогичная задача в связанной постановке решена в [20]. Задачи о прямом и обратном фазовом превращении в трубе из СПФ, находящейся под действием внешней нагрузки в рамках термомеханической модели поведения СПФ [21], численно решены в [22-24]. Численно-аналитическое решение задачи о нагружении толстостенного цилиндра из СПФ внутренним давлением в режиме сверхупругости получено в [25]. Геометрически нелинейные осесимметричные задачи для термоупругих мартенситных фазовых переходов в круглых пластинках и оболочках вращения из СПФ решены в [26-28]. Конечно-элементное решение задачи для цилиндрической панели из СПФ получено в [29]. Задачи устойчивости для тонкостенной цилиндрической оболочки из СПФ при ее нагружении в режиме сверхупругости численно решались в [30-32]. В рамках модели нелинейного деформирования СПФ при фазовых и структурных превращениях [3, 33, 34] при несколько искусственном предположении о равномерном распределении по радиусу величины объемной доли мартенситной фазы в [35, 36] были получены аналитические решения связанных задач о прямом превращении для толстостенных цилиндра и сферы в жестко-фазово-структурной постановке при постоянных нагрузках. Было доказано, что в таких задачах действующие напряжения не меняются при фазовом переходе, деформации и смещения пропорциональны значению параметра фазового состава. Для цилиндра и сферы получены также аналитические решения задач о нагружении монотонно возрастающим внутренним давлением в режиме мартенситной неупругости [35, 36]. В данной работе получено численное решение аналогичных задач в рамках более реалистичного предположения о равномерном распределении по радиусу температуры, что соответствует процессу медленного охлаждения. Моделируется движение по материалу фронтов начала и завершения прямого фазового перехода. 1. Постановка задачи Рассматриваются длинный толстостенный круговой цилиндр и сфера из СПФ с внутренним и внешним радиусами и в цилиндрической и сферической системах координат соответственно. Для цилиндра рассматривается случай плоской деформации: εz = 0. К внутренней поверхности оболочек приложено постоянное положительное давление , внешнее давление для простоты не учитывается. Материал оболочек считается несжимаемым. Для решения используется упрощенный вариант модели нелинейного деформирования СПФ при фазовых и структурных превращениях [3, 33, 34], определяющие соотношения которого имеют для прямого фазового превращения вид , (1.1) (1.2) , (1.3) , (1.4) , , (1.5) (1.6) Здесь - тензоры полной, упругой и фазово-структурной деформации (температурная деформация в силу ее малости не учитывается); - приращения неупругой деформации за счет фазового или структурного переходов; - тензор, девиатор и интенсивность напряжений; - параметр материала, коррелирующий с интенсивностью кристаллографической деформации фазового перехода; - объемная доля мартенситной фазы; - часть мартенсита представительного объема, испытывающая в рассматриваемый момент структурное превращение, под которым понимается происходящее при условии роста интенсивности напряжений выше максимального ранее достигнутого уровня увеличение степени ориентированности низкосимметричных мартенситных ячеек; - сдвиговой модуль; - температуры начала и окончания прямого превращения в ненагруженном состоянии, температура начала прямого превращения при наличии напряжений и скачок объемной плотности энтропии при переходе от мартенситного состояния в аустенитное; , - материальные функции, интерпретируемые как функции распределения интенсивности микронапряжений в представительном объеме СПФ (аустенитное и мартенситное фазовое состояние соответственно) [33, 34]; первая из этих функций с точностью до множителя соответствует диаграмме прямого превращения, а вторая - диаграмме мартенситной неупругости. В соответствии с характерной формой этих диаграмм в качестве берется функция распределения Лапласа , , а в качестве - функция распределения Вейбулла , . Здесь - параметры материала. В упрощенной системе определяющих соотношений (1.1)-(1.6) в отличие от оригинала [3,33,34] не учитывается переменность упругих модулей СПФ при фазовом переходе, деформации считаются несжимаемыми, процесс накопления деформаций прямого превращения не разделяется на составляющие, связанные с зарождением и развитием мартенситных мезоэлементов. Рассматривается вариант связанной постановки краевой задачи, в рамках которого учитывается влияние действующих напряжений на процесс фазового перехода. Поле температур считается равномерно распределенным по радиусу оболочки, что соответствует достаточно медленному процессу охлаждения. В данном случае речь идет о равновесном процессе термоупругих фазовых превращений [37], которые происходят со скоростью изменения внешних воздействий. Если в случае медленного охлаждения образуются зоны неравномерной (более низкой) температуры, то в этих зонах прямое превращение ускоряется. В результате увеличивается скорость выделения латентного тепла фазового перехода. В зонах с более высокой по сравнению с окружающим материалом температурой наблюдается обратный эффект. За счет этих эффектов, а также благодаря явлению теплопроводности распределение температуры по материалу выравнивается. Под решением поставленной задачи понимаются зависимости от температуры и радиальной координаты параметра фазового состава, напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия, деформаций и смещений, удовлетворяющих соотношениям Коши и условию несжимаемости. Кроме того, напряжения, деформации, температура и параметр фазового состава удовлетворяют сформулированной выше системе определяющих соотношений. Начальными условиями для всех перечисленных величин являются значения, соответствующие упругому решению при заданной величине внутреннего давления . Начальные условия ставятся при температуре начала прямого превращения , определенной в соответствии с (1.4) для напряженного состояния, соответствующего упругому решению. Граничные условия сводятся к равенствам . 2. Разрешающие соотношения В качестве параметра процесса выбирается безразмерная величина (1.4). В силу симметрии решаемых задач все искомые функции зависят только от и . Дифференцируя (1.3), с учетом (1.4) можно получить (2.1) , , Подставляя (2.1) в (1.1), (1.5) и учитывая (1.6), для приращения деформаций можно получить (2.2) Для цилиндра в условиях плоской деформации или сферы справедливы соотношения , , , (2.3) где для цилиндра , , а для сферы , , . Уравнение равновесия в радиальном направлении в силу симметрии задачи записывается в виде (2.4) где для цилиндра а для сферы . С учетом (2.3) при условии , выполняющемся для рассматриваемого случая, соотношение (2.4) можно переписать в виде (2.5) где для цилиндра , а для сферы . Интегрируя (2.5) по и удовлетворяя граничные условия , , получаем (2.6) (2.7) Соотношение (2.2) для кольцевой деформации с учетом (2.3) запишется в виде или с учетом (2.1) (2.8) Условие несжимаемости в рамках теории малых деформаций вместе с соотношениями Коши , , где - радиальное смещение, приводят к дифференциальному уравнению , общее решение которого имеет вид , , (2.9) Здесь - произвольная функция интегрирования. Дифференцируя второе уравнение (2.9) и используя (2.8), можно написать (2.10) В (2.10) определяется с помощью (1.3), (1.4). Записывая соотношение (2.10) в конечных приращениях, можно получить (2.11) Здесь приращение интенсивности напряжений заменено на выражение , - зависимость интенсивности напряжений от на предыдущем слое по параметру процесса , которая считается известной. Для заданного значения соотношение (2.11) определяет как неявную функцию с параметром . Подстановка этой неявной функции в (2.7), интегрирование по и решение получающегося уравнения позволяют определить параметр и значение если известно предыдущее значение . Для найденного значения путем решения уравнения (2.11) определяется зависимость интенсивности напряжений от для рассматриваемого значения . После этого путем интегрирования (2.6) определяется для рассматриваемого значения распределение по радиусу величины . По найденным функциям и с помощью (2.3) определяется кольцевое напряжение . Деформации и смещения определяются по найденной функции с помощью (2.9). Для определения значения , при котором начинается фазовый переход, решается соответствующая упругая задача. Определяется значение на внутренней поверхности оболочки, где интенсивность напряжений в упругом решении максимальна. Тогда начальное значение определяется из условия , или (2.12) Ввиду того, что в данной постановке зависит от , задача осложняется тем, что в начале процесса на части отрезка происходит прямое превращение, а на части имеет место только упругое деформирование и справедливы вместо (2.11) упругие соотношения (2.13) Координата границы начала фазового превращения заранее неизвестна и должна находиться в процессе решения задачи. На границе между упругой частью оболочки и частью, испытывающей фазовый переход, непрерывными считаются радиальное смещение и радиальное напряжение. Температура является непрерывной в силу предположения о ее равномерном распределении по радиусу. Кроме того, на границе предполагается выполненным условие непрерывности при переходе через эту границу параметра фазового состава. Из этого соотношения, условия непрерывности температуры и формул (1.3) следует непрерывность при переходе через эту границу интенсивности напряжений, и, согласно (2.3), - непрерывность кольцевого напряжения. На последнем этапе процесса появляется зона , где фазовый переход уже завершен, может происходить при определенных условиях, помимо упругого деформирования, структурный переход и справедливо соотношение, полученное из (2.11) путем подстановки : (2.14) При этом на оставшейся части фазовый переход еще продолжается. Наконец, для очень толстых оболочек возможна ситуация, когда существуют одновременно все три области , , . Расчеты показывают, что для рассматриваемых в данной работе толщин , этот последний случай, когда на внутренней стороне оболочки фазовый переход уже прошел, а на внешней еще не начинался, не наблюдается. На границе выполняются такие же условия непрерывности, что и на границе . Решение задачи осложнено тем, что для каждой точки оболочки и для каждого слоя по t нужно проверять условия осуществления структурного перехода. В качестве таких условий в некоторой точке оболочки рассматривается следующий критерий [33,34]: , (2.15) где - максимальное значение интенсивности напряжений за все время существования рассматриваемого мартенситного объема. Алгоритм определения величины для подстановки в (2.8) изложен в [3]. 3. Алгоритм решения Решение искалось методом Эйлера на сетке по t c фиксированным шагом δt и на сетке по r с фиксированным шагом . Сначала решалась упругая задача, по этому решению находилось с помощью (2.12) начальное значение и найденные распределения по напряжений, деформаций и смещений приписывались именно этому начальному значению Пусть решение на предыдущем шаге для известно. Решение для следующего значения находится с помощью внутренних итераций. Для нового значения с помощью (1.3) определяется функция , причем на первой внутренней итерации в качестве функции для подстановки в (1.3) используется , а для последующих итераций - функция , найденная на предыдущей внутренней итерации. С помощью найденного приближения для функции находится очередное приближение для координат границ начала и окончания зоны фазового перехода исходя из уравнений и соответственно. Для найденных значений и производится вычисление интеграла (2.7) как функции неизвестной величины с использованием неявной функции , являющейся решением уравнения (2.11) для , решением уравнения (2.13) для и решением уравнения (2.14) для . Решение уравнения (2.7) позволяет найти величину , и по ее значению с помощью (2.11), (2.13) и (2.14) - очередное приближение для распределения . Далее находится следующее приближение для , , и т.д. путем внутренних итераций до тех пор, пока значения координат границ зон фазового перехода будут отличаться от значений на предыдущей итерации меньше чем на заданную малую величину. Проведенные расчеты показывают, что при решении на сетке по , состоящей из 100 делений, 10 внутренних итераций на каждом шаге вполне достаточно. По достижении сходимости процесса внутренних итераций определяются все искомые переменные задачи для данного значения , после чего можно переходить к следующему шагу по : и т.д. до тех пор, пока фазовый переход не завершится на внешней поверхности оболочки. Для анализа возможных погрешностей, связанных с дискретизацией, задачи решались на сетках по и различной густоты. Установлено, что при переходе от сеток из 50 делений по и 100 делений по к сетке, состоящей из 100 делений по и 200 делений по , полученное решение существенно не меняется. Относительные ошибки по величине интенсивности напряжений не превосходили 0,5 %. Изменения по значению параметра , а значит, по деформациям и смещениям были еще меньше. Приведенные ниже результаты получены на сетке, состоящей из 50 делений по и 100 делений по . 4. Анализ результатов При решении использовались следующие параметры материала, соответствующие никелиду титана: модуль сдвига МПа; , , МПа/К, МПа, МПа. На рис. 1-3 изображены графики зависимости величины объемной доли мартенситной фазы от безразмерной радиальной координаты для различных моментов процесса прямого превращения. Задача решена для цилиндра с отношением радиусов , материал которого претерпевает прямое превращение под действием внутреннего давления, безразмерное значение которого . Рис. 1. Распространение фронта начала фазового перехода по толщине сферической оболочки Fig. 1. Propagation of the beginning of the phase transition front along the thickness of the spherical shell Рис. 2. Распределение доли мартенситной фазы по радиусу в случаях, когда фазовый переход происходит по всей толщине Fig. 2. Distribution of the martensitic volume part along the radius in cases when the phase transition takes place along the whole thickness Рис. 1 соответствует первому этапу процесса от появления малой зоны фазового перехода на внутренней поверхности оболочки (нижняя кривая) и до того момента, когда фронт начала фазового перехода дошел до внешней поверхности оболочки и на этой поверхности начался фазовый переход (верхняя кривая). Радиальная координата фронта начала фазового перехода определяется координатой точки пересечения каждой из кривых с осью абсцисс, тогда как ордината пересечения той же кривой с осью ординат равна значению объемной доли мартенсита на внутренней поверхности оболочки в тот же момент времени. Как видно, процесс движения фронта начала фазового перехода в радиальном направлении происходит достаточно быстро. За время этого движения величина на внутренней поверхности оболочки успевает вырасти с нуля до значения, меньшего 0,007. Рис. 2 соответствует промежуточному этапу процесса, когда фазовый переход происходит по всей толщине оболочки, еще продолжаясь на ее внутренней поверхности и уже происходя на ее внешней поверхности. Как видно, величина убывает с ростом , однако весьма умеренно. Рис. 3 соответствует завершающему этапу фазового перехода, когда он уже закончился на внутренней поверхности оболочки, но еще продолжается на внешней поверхности. Абсцисса точки пересечения каждой из кривых с прямой соответствует положению фронта окончания фазового перехода. О скорости передвижения этого фронта говорит тот факт, что он преодолевает расстояние, равное толщине оболочки за то время, пока значение объемной доли мартенсита на внешней поверхности оболочки изменяется от значения до значения . На рис. 4 для той же задачи изображены графики зависимости безразмерного параметра интенсивности напряжений от параметра температуры для значений радиальной координаты (кривая 1), (кривая 2) и (кривая 3). Темным кружком на каждой кривой обозначен момент начала фазового перехода, светлым - момент его окончания. Согласно приведенным графикам в процессе фазового перехода интенсивность напряжений меняется немонотонно. Рис. 3. Движение по материалу фронта завершения фазового превращения Fig. 3. Motion along the material front of the end of the phase transition Рис. 4. Изменение интенсивности напряжений в процессе фазового перехода Fig. 4. Alteration of the stress intensity during the phase transition Отсюда следует, что применять для решения данной задачи положение об активных процессах пропорционального нагружения [34], что позволило бы получить аналитическое решение типа найденных в [35, 36], некорректно. Тем самым обосновывается необходимость использования для решения задачи численной процедуры. С другой стороны, размах изменения интенсивности напряжений в процессе полного прямого превращения лежит в пределах 5 % от средней величины, так что в первом грубом приближении этими изменениями можно пренебречь. На рис. 5 для той же задачи приведены графики изменения в процессе фазового перехода безразмерных значений наиболее опасных кольцевых напряжений (обозначение кривых то же, что и на рис. 4). Как видно, напряжения на внешней поверхности оболочки (кривая 3) на протяжении большей части фазового перехода превосходят напряжения на внутренней поверхности (кривая 1). Однако максимальные за всю историю фазового перехода кольцевые напряжения достигались все же на внутренней поверхности оболочки. На рис. 6 аналогичные графики построены для сферической оболочки с отношением радиусов и давления . Как видно, в данном случае достаточно высоких нагрузок максимальные значения кольцевых напряжений достигаются на внутренней поверхности оболочки, но не в начале, а в конце фазового перехода. Аналогичные явления «перегрузки» в конце прямого превращения по сравнению с упругим решением обнаружены для случая изгиба [1, 3] и кручения [8, 12]. На рис. 7, а изображены графики зависимости безразмерного параметра интенсивности напряжений от параметра фазового состава для внутренней (кривые 1) и внешней (кривые 2) поверхностей цилиндра при , . Нижняя кривая первой серии Рис. 5. Изменение кольцевого напряжения в цилиндре в процессе фазового перехода Fig. 5. Alteration of the circumferential stresses in the cylinder during the phase transition Рис. 6. Изменение кольцевого напряжения в толстостенной сфере в процессе фазового перехода Fig. 6. Alteration of the circumferential stresses in a thick-walled sphere during the phase transition Рис. 7. Сравнение решений, полученных в предположении о равномерном распределении по материалу температуры или объемной доли мартенситной фазы: а - интенсивность напряжений; б - радиальная деформация Fig. 7. The comparison of solutions obtained within the assumption of a homogeneous distribution of the temperature in the material or a volume part of the martensitic phase. а is the intensity of stresses; b is the radial deformation и верхняя кривая второй серии соответствуют полученному численному решению при МПа/К (значение, характерное для никелида титана). Последовательно отходящие от этих кривых тонкие линии построены по результатам численного решения той же задачи, но для значений в 2, 5 и 100 раз больших указанной величины. При этом тонкие кривые приближаются к верхней толстой линии первой серии и нижней толстой линии второй серии, которые получены при решении аналогичной задачи о прямом превращении в предположении о равномерном распределении по радиусу объемной доли мартенситной фазы (с учетом упругих деформаций) в [35, 36]. Такое асимптотическое поведение является естественным, поскольку при согласно формуле (1.3) получается и из предположения о равномерном распределении по радиусу температуры, принятом при численном решении задачи, описываемом в данной работе, следует положение о равномерном распределении по радиусу объемной доли мартенсита, в рамках которого найдены аналитические решения в [35, 36]. Аналогичный результат для радиальной деформации в той же задаче изображен на рис. 7, б (серии кривых обозначены так же). Нижняя жирная линия второй серии и верхняя первой серии соответствуют численному решению, полученному для . Нижняя прямая первой серии и верхняя второй являются предельными для численного решения при и одновременно соответствуют аналитическому решению той же задачи в предположении о равномерном распределении по радиусу величины . Обнаруженное совпадение двух решений, найденных различными способами, говорит в пользу достоверности полученных результатов. Заключение Получены решения связных задач о прямом превращении в толстостенных цилиндре и сфере из СПФ под действием постоянного давления в предположении о равномерном распределении температуры по радиусу оболочки. Данное решение соответствует медленному процессу охлаждения. Установлено, что в процессе фазового перехода интенсивность напряжений на внутренней и внешней границах оболочек меняется немонотонно, поэтому применять для решения данных задач положение об активных процессах пропорционального нагружения некорректно. Показано, что кольцевые напряжения на внутренней стороне оболочки в процессе фазового перехода могут становиться меньше кольцевых напряжений на ее внешней стороне. В случае достаточно высоких значений внутреннего давления интенсивность напряжений на внутренней поверхности оболочек в точке завершения фазового перехода может превосходить значение той же величины в упругом решении, т.е. в точке начала фазового перехода.

About the authors

A E Mashikhin

Lomonosov Moscow State University

A A Movchan

Institute of Applied Mechanics of Russian Academy of Sciences

References

Statistics

Views

Abstract - 182

PDF (Russian) - 100