# Abstract

The problem of determining the stress-strain state and designing hybrid wooden beams is considered. In general, the bar is a rod consisting of several layers. In principle, the number of layers is not unlimited. Each layer can be made of different materials. The geometry of the cross section of a layer may vary a lot. The cross-section of the rod can be either constant or variable in length. The rod experiences a straight transverse bending with stretching-compression. The physical nonlinearity, as well as the different material resistance to stretching and compression are taken into account. The deformations and displacements of the rod are considered to be small values, and it allows one to write the equilibrium equations for the undeformed state. We accept a valid theory of Bernoulli flat sections and a simplified expression for the curvature of a plane curve. The determination of the stress-strain state of the rod is reduced to solving a system of two nonlinear algebraic equations of the third order. To solve it, the load is divided into a number of steps in accordance with the loading history, which allows to linearize the system of resolving equations. Much attention is paid to the design of hybrid beams. Both parametric and functional designs are considered. Based on the calculation examples, it is shown that the use of the criterion of the equal strength in combination with the principles of hybrid design allows to significantly reduce the material consumption of the structure. Also a strong effect of different materials resistance during stretching and compression is shown on the transverse dimensions of the bars obtained during the design. The possibility of latent destruction is demonstrated, when the limiting state is reached in the inner layers of the beam.

# Full Text

Введение Древесина является прекрасным конструкционным материалом [1]. Ей присущи такие характерные положительные качества, как малый удельный вес: при средней плотности 550 кг/м3 она в 14 раз легче стали и в 4,5 раза легче бетона. Высокая удельная прочность [1]: для древесины этот показатель ориентировочно равен 25500 м2/с2, для строительной стали - 29500 м2/с2, а для бетона класса В25 - 5800 м2/с2. Также она обладает малой теплопроводность, высокой химической стойкостью и высокой технологичностью. Является самовозобновляемым и экологически чистым материалом. Основные недостатки древесины - пороки, неоднородность свойств, анизотропность и другие [1, 3] - в значительной степени нивелируются при производстве индустриальных клееных деревянных конструкций. Клееные деревянные конструкции давно и широко используются во многих странах [2-3]. Технологические возможности их изготовления позволяют создавать из обычных и маломерных материалов монолитные конструкции любых размеров и сечений, убирая тем самым ограничения в сортаменте. Одним из примеров таких конструкций может служить построенный в Австрии деревобетонный мост пролетом 85 м [4]. В последнее время все интенсивнее ведутся исследования, связанные с высотным деревянным домостроением. Особое внимание этому вопросу уделяется за границей. Так, в сентябре 2017 года планируется завершить строительство 53-метрового деревянного здания, которое станет самым высоким зданием из дерева в мире [5]. Клеевые конструкции имеют ряд преимуществ по сравнению с другими видами деревянных конструкций: экономия пиломатериалов и других сопутствующих материалов (металлов, пластиков, бетонов) за счет создания рациональных сечений с различными профильными очертаниями; почти безотходное производство за счет применения маломерных материалов пониженного качества при создании монолитных изделий необходимых размеров; возможность исключения или, наоборот, включения в состав монолитного слоистого изделия других эффективных конструкционных материалов (металлов, пластмасс, стеклянных и керамических материалов) [6-8]. Подбор параметров геометрии и пород гибридных деревянных конструкций с предварительными процессами технологического облагораживания составляющих элементов (усушка, пропитка с полимеризацией) позволяют еще на этапе технологического производства ликвидировать несущественные коробления и резко снизить склонность к растрескиванию и загниванию. С другой стороны, стандартные подходы строительной механики не позволяют производить расчет и проектирование таких конструкций. В первую очередь это связано с проблемой учета физической нелинейности и разносопротивляемости древесины [9-11]. Методы расчеты стержневых конструкций с учетом физической нелинейности [20-31] рассматривают в основном однородные конструкции и не уделяют должного внимания изучению особенностей деформирования такого сильно разносопротивляющегося материала как древесина. Поэтому встает необходимость создания новых надежных методов расчета и рационального проектирования гибридных деревянных конструкций, учитывающих реальные диаграммы деформирования материала. 1. Напряженно-деформированное состояние (НДС) бруса Схема бруса в декартовой прямоугольной системе координат xyz представляет собой стержень, состоящий из нескольких слоев. Слои могут быть выполнены из различных материалов, могут располагаться как горизонтально (рис. 1, а), так и вертикально (рис. 1, б). Общее число слоев принципиально не ограничено, их отсчет идет сверху вниз и слева направо. Условия контакта слоев считаются совершенными - отсутствуют взаимные смещения любого направления в плоскости контакта. Рис. 1. Поперечное сечение стержня: а - горизонтальное расположение слоев; б - горизонтальное и вертикальное расположение слоев Fig. 1. Cross-section of the rod: a - horizontal arrangement of the layers; b - horizontal and vertical arrangement of the layers Начало системы координат xyz помещаем в левый конец стержня. Плоскость xy - плоскость геометрической и физической симметрии стержня. Ось x совпадает с продольной осью стержня и имеет определенную геометрическую привязку к поперечному сечению. В данном случае расположим ось x на расстоянии у0 от верхнего края сечения (рис. 1). Геометрия всех слоев задана в виде набора параметров bi, hi, которые в общем случае могут быть функциями координат x, y и z: . При этом должна соблюдаться симметрия относительно плоскости xy. Вес и стоимость стержня соответственно (1) Здесь - удельный вес и удельная стоимость материала i-го слоя, - количество слоев. Интегрирование в (1) ведется по объему i-го слоя стержня. В общем случае стержень испытывает прямой поперечный изгиб с растяжением-сжатием. Все нагрузки приведены к продольной оси стержня - оси х. Деформации и перемещения будем считать малыми. Это позволит записывать уравнения равновесия для недеформированного состояния [12]: (2) Здесь - проекции вектора внутренних усилий на оси x и y; - проекция вектора внутреннего момента на ось z. Точка приложения вектора внутренних усилий лежит на оси стержня. Примем следующее правило знаков: если внешняя нормаль к поперечному сечению имеет положительное (отрицательное) направление, то компоненты внутренних усилий положительны, если их направление совпадает с положительным (отрицательным) направлением соответствующей координатной оси. Величины - проекции вектора распределенной нагрузки, приложенной к оси стрежня, - проекция вектора распределенного момента на ось z. Интегрируя уравнения (2), получим выражения для внутренних усилий (3) В случае если стержень статически определимый, то значения внутренних усилий в начале координат определяем из условий равновесия узлов. Иначе необходимо составлять дополнительные условия совместности деформаций. Принимается справедливой теория плоских сечений Бернулли и упрощенное выражение кривизны плоской кривой. В соответствии с данными ограничениями связь между деформациями и перемещениями стержня выражается следующими известными соотношениями [12]: (4) Здесь - продольная деформация на уровне оси стержня и изменение кривизны оси стержня; - вертикальное и горизонтальное перемещение точек оси стержня. Интегрируя соотношения (4), получим (5) Величины находим из условий закрепления стержня. Диаграммы деформирования древесины при растяжении и сжатии вдоль волокон даны на рис. 2. Они построены по данным кратковременных испытаний малых чистых (без пороков) образцов. Рис. 2. Диаграммы деформирования ели (а) [11] и лиственницы (б) [10] Fig. 2. Diagrams of deformation of spruce (a) [11] and larch (b) [10] Общим для данных диаграмм является то, что при растяжении древесина ведет себя практически линейно вплоть до разрушения, а при сжатии уже в области малых напряжений резко проявляет физическую нелинейность. Предел прочности на растяжение, как правило, больше предела прочности на сжатие. Данные особенности деформирования характерны и для других пород древесины. Основываясь на данных испытаниях [9-11] будем моделировать древесину материалом с однородной и сплошной средой, обладающей в общем случае нелинейно упругими свойствами. Связь между нормальными напряжениями и деформациями i-го слоя выражается степенным многочленом [13]: (6) где - константы, зависящие от механических свойств i-го слоя стержня; - предельно допустимые продольные деформации i-го слоя при растяжении (+) и сжатии (-). Использование кубической зависимости (6) позволяет учитывать характерную для дерева разносопротивляемость при растяжении и сжатии, а также нелинейный характер связи между напряжениями и деформациями [9-11]. Основываясь на вышеприведенных положениях, в работе [14] была получена разрешающая система нелинейных алгебраических уравнений 3-й степени относительно двух неизвестных k и e0: (7) (8) Коэффициенты Ei0 равны нулю и введены для получения краткой и удобной для решения записи. В (8) интегрирование ведется по площади поперечного сечения i-го слоя стержня. Приняв Eij = 0(j = 2,3), получим определяющие уравнения для слоистого, линейно-упругого стержня. Если при этом псл = 1, то приходим к уравнениям технической теории изгиба стержней [12]. Условие прочности задается соотношением (9) где - максимальные продольные деформации растяжения (+) и сжатия (-) i-го слоя. Проверка выполнения условия прочности осуществляется в каждом слое поперечного сечения для его верхних и нижних границ. Устойчивость стержня считается обеспеченной. Полученные выше статические, геометрические и физические зависимости в общем случае характеризуются сложными уравнениями относительно искомых функций. В связи с этим удобно представить все необходимые функции в дискретном виде: (10) где п - число расчетных участков при разбиении стержня. Узлы аппроксимации задаются исходя из конкретных условий задачи. Например, в окрестности резкого изменения функций внутренних усилий шаг может сгущаться и наоборот. Дискретное представление функций позволяет упростить решение разрешающих уравнений: от уравнений относительно неизвестных функций приходим к уравнениям относительно неизвестных значений функций в узлах аппроксимации. И, что немаловажно, приспосабливает полученные уравнения для вычислений на компьютере. 2. Решение системы нелинейных уравнений Получение решения системы (7) в аналитическом виде представляет значительные трудности. В связи с этим будем использовать численный метод, основанный на линеаризации разрешающих уравнений. Разбиваем загружение стержня на пш шагов в соответствии с действительной историей приложения нагрузки. Количество шагов подбирается таким, что на каждом шаге происходит незначительное изменение внутренних усилий и, следовательно, обобщенных деформаций. Это позволяет представить основные неизвестные e0 и k в линеаризованном виде: (11) Здесь n - номер шага нагружения; и - значения неизвестных на n шаге нагружения; и - приращения неизвестных на n+1 шаге нагружения. Подставляем (11) в (7) и после преобразований получаем (12) (13) Выражаем из первого уравнения (12) и подставляем во второе. После преобразований получаем квадратное уравнение относительно : (14) (15) Решаем (14) относительно : (16) Первое уравнение (16) дает два значения - и . Для того чтобы выбрать из них одно действительное, вычисляем и по (12). После этого находим пары обобщенных деформаций , (i = 1-2) из (11). Подставляем их в (7) и получаем значения внутренних усилий и (i = 1-2). Действительные значения , должны удовлетворять следующим условиям: полученные с помощью них величины и должны быть равными или близкими по величине к заданным значениям и ; должно выполняться условие прочности (9). Пройдя все шаги итерационного процесса, находим окончательные значения и . Значения обобщенных деформаций на первом шаге загружения принимаются нулевыми: В случае если стержень находится в безызгибном состоянии растяжения-сжатия, а определяется по известным формулам [15] из решения кубического уравнения. (17) Следуя [15], преобразуем (17) к стандартному виду (18) (19) Делаем замену переменной (20) и приводим (17) к «неполному» виду (21) (22) В зависимости от знака Q и р получим следующие значения корней «неполного» кубического уравнения (21): 1. Если то и (23) 2. Если то и (24) 3. Если то и (25) Во всех случаях берется действительное значение кубического корня. Подставляем получившиеся значения корней в (20) и находим . Далее выбираем тот корень, который соответствует физическому смыслу задачи. Отбрасываются все мнимые значения корней. Также знаки N и должны совпадать, то есть положительное (отрицательное) значение продольной силы должно создавать положительную (отрицательную) деформацию. Из оставшихся корней принимаем наименьший по модулю. С другой стороны, к уравнению (17) можно применить численный метод, использованный выше при решении системы уравнений (7). Для этого подставляем линеаризированное значение из (11) в (17) и после преобразований получаем (26) На первом шаге загружения принимаем Вычислив , находим из (11). Пройдя все шаги итерационного процесса, получаем окончательное значения Вычислив обобщенные деформации стержня, находим перемещения по формулам (5) и нормальные напряжения по (6). 3. Проектирование равнопрочных стержней Пусть имеется стержень с заданной силовой нагрузкой и определенными условиями закрепления. Требуется путем изменения размеров поперечного сечения стрежня вдоль оси добиться его равнопрочности. Стержень будем считать равнопрочным, если в каждом поперечном сечении как минимум в двух точках выполняется условие (9) со знаком равенства [16]: (27) Здесь - y координата точки, в которой достигнуто предельное значение деформаций. Рис. 3. Возможные предельные распределения Fig. 3. Possible limit distributions of Многослойный стержень, выполненный из различных материалов, может иметь большое количество вариантов предельных распределений , обеспечивающих выполнение критерия равнопрочности (27). На рис. 3 для трехслойного сечения показаны предельные деформации и линии, отражающие распределение деформаций Каждое предельное распределение деформаций соответствует определенным значениям внутренних усилий. Так, линии и отличаются знаками изгибающего момента а и - знаками продольной силы. Для выбора действительного деформированного состояния необходимо использовать предварительную информацию о распределении деформации в сечении. Подробно этот вопрос изложен в [16]. В данном случае для упрощения расчетов будем рассматривать только четыре предельных распределения : I - II - III - IV - Здесь - y координата верхних (нижних) фибровых волокон. Для каждого из предельных состояний можно найти обобщенные деформации, используя 1-е уравнение из (4): (28) В (28) верхние знаки берутся для I, а нижние знаки для II предельного состояния. При осуществлении III и IV предельного состояния и соответственно. Для I и II предельных распределений необходимо делать проверку условия прочности во внутренних точках сечения. Если стержень статически определимый, то, подставляя и в (7), будем иметь два уравнения, из которых можно найти два, предварительно выбранных для варьирования, размером В случае статически неопределимого стержня к системе (7) добавляются уравнения совместности деформаций. Определяемые размеры должны удовлетворять ограничениям, отражающим требования по обеспечению местной устойчивости, конструктивные, технологические, эксплуатационные и иные требования. В простейшем случае они представляют собой ограничения вида (29) Будем рассматривать параметрическое и функциональное проектирование стержней. В случае параметрического проектирования стержень имеет постоянное поперечное сечение, а условие равнопрочности (27) выполняется в одном опасном сечении. Искомыми являются два выбранных размера опасного сечения При функциональном проектировании условие равнопрочности (27) выполняется по всей длине стрежня, а определению подлежат уже функции двух выбранных размеров 4. Параметрическая оптимизация 1 Рассмотрим однопролетную балку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 4, а). Поперечное сечение неизменно по длине и представляет собой двутавр, составленный из трех слоев (рис. 4, б). Все размеры, кроме ширины верхнего и нижнего поясов, являются заданными. На рис. 4 все размеры выражены в миллиметрах. Рис. 4. К расчету балки: а - расчетная схема; б - поперечное сечение Fig. 4. To calculate the beam: a - calculation scheme; b - the cross-section Пусть имеется три породы древесины: 1 - сосна, 2 - лиственница и 3 - береза. Удельный вес древесины при 12-процентной влажности указан в табл. 1 по данным [17]. Значения величин и в табл. 1 взяты из [18]. Предельные напряжения растяжения-сжатия могут быть непосредственно вычислены по формуле (6): Таблица 1 Характеристики материалов Table 1 Material characteristics Номер материала Порода древесины Е1 103 МПа Е2 106 МПа Е3 109 МПа 10-3 10-3 γ кН/м3 с руб/м3 1 Ель 13,68 0,71 -0,09 7,0 -5,0 4,41 2000 2 Ясень 12,89 0,45 -0,04 11,0 -7,2 6,77 3000 3 Сосна 18,06 0,76 -0,18 7,4 -4,6 5,00 2100 4 Дуб 12,43 0,44 -0,03 7,4 -8,0 6,87 3200 5 Береза 16,36 0,96 -0,07 10,7 -5,3 6,28 1300 6 Лиственница 12,86 0,44 -0,03 8,4 -8,4 6,57 2500 Каждый слой двутавра может быть изготовлен из трех выбранных пород. В этом случае количество различных расположений пород в сечении равно количеству размещений с повторениями из 3 по 3 - Для каждого варианта распределения пород найдем такую ширину верхнего и нижнего поясов, что в опасном сечении предельные деформации достигаются одновременно в двух уровнях. Опасное сечение балки находится в середине пролета. Значения внутренних усилий в этом сечении: При таком распределении усилий осуществляется первое предельное состояние а обобщенные деформации находим из (28): (30) Подставляем , в (7) и после преобразований получаем систему двух линейных уравнений относительно b1 и b3: (31) (32) где Решая систему (31), находим выражения для ширины искомых слоев: (33) Зная все размеры поперечного сечения, находим и для всего стержня из решения системы (7) по методу, описанному в п. 2. Перемещения балки вычисляем по формулам (5). При этом находим из условий: Результаты расчетов сведены в табл. 2. Второй столбец табл. 2 содержит информацию о материале слоев. Так, шифр 132 означает, что первый слой выполнен из сосны, второй из березы и третий из лиственницы. В столбцах 3 и 4 приведена ширина слоев, вычисленная по формулам (33). Вес и стоимость балки даны в столбцах 5-6. В столбце 7 приведено максимальное значение прогиба. Для сравнения был произведен расчет двух эталонных балок. Все их слои выполнены из древесины сосны. Поперечное сечение симметрично относительно осей y и z. Эталонная балка № 1 имеет двутавровое сечение, размеры которого даны на рис. 4, б. Ширина первого слоя равна ширине третьего. Поперечное сечение эталонной балки № 2 прямоугольное. Высота прямоугольного сечения см. Длина эталонных балок и интенсивность нагрузки q остается неизменной. Таблица 2 Результаты расчета Table 2 Calculation results № Материал слоев b1, см b3, см V, кН C, руб wmax, см Слой, в котором достигнуты предельные деформации Знак предельных деформаций 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 111 34,3 4,9 2,19 920,8 7,0 1,3 -,+ 2 121 33,6 7,0 2,59 1027,2 7,1 1,3 -,+ 3 221 17,7 11,4 2,43 935,3 9,2 1,3 -,+ 4 211 разрушение во 2-м слое 2 - 5 131 34,9 4,3 2,48 739,9 7,1 1,3 -,+ 6 331 32,4 5,4 2,67 583,7 7,5 1,3 -,+ 7 311 31,6 5,9 2,37 765,6 7,4 1,3 -,+ 8 321 31,5 7,8 2,77 876,9 7,4 1,3 -,+ 9 231 разрушение во 2-м слое 2 - 10 112 37,6 2,8 2,25 940,8 7,7 1,3 -,+ 11 122 36,4 4,7 2,64 1043,4 7,9 1,3 -,+ 12 222 19,4 9,0 2,50 950,1 10,1 1,3 -,+ 13 212 разрушение во 2-м слое 2 - 14 132 38,5 1,7 2,52 754,5 7,9 1,3 -,+ 15 332 35,8 2,7 2,73 582,8 8,2 1,3 -,+ 16 312 34,8 3,7 2,45 770,7 8,1 1,3 -,+ 17 322 34,2 5,5 2,84 881,2 8,3 1,3 -,+ 18 232 разрушение во 2-м слое 2 - 19 113 разрушение во 2-м слое 2 + 20 123 43,5 0,5 2,68 1063,6 9,3 2 + 21 223 23,7 3,0 2,43 908,2 11,4 1,3 -,+ 22 213 разрушение во 2-м слое 2 - 23 133 отрицательное значение ширины 3-го слоя 24 333 отрицательное значение ширины 3-го слоя 25 313 разрушение во 2-м слое 2 + 26 323 40,8 0,9 2,91 860,3 9,7 1,3 -,+ 27 233 разрушение во 2-м слое 2 - 28 Эталон 1 22,2 22,2 2,30 979,8 5,0 1 - 29 Эталон 2 h = 60 см, b= 16,8 см 3,00 1266,3 5,2 1 - Неизвестную ширину слоев эталонных балок № 1 и 2 определяем из расчета. Задаем произвольное значение ширины и определяем НДС балки. После этого производим проверку по условию прочности (9). Если балка недогружена, то уменьшаем варьируемую ширину, иначе увеличиваем. Так поступаем до тех пор, пока продольные деформации не достигнут предельных значений. Результаты расчета эталонных балок даны в строках 28,29 табл. 2. Анализируя данные табл. 2, можно отметить следующее: 1. Свойство существенной разносопротивляемости древесины привело к большому различию в ширине слоев 1, 3. Так, для балки, полностью выполненной из сосны, см, см. Наименьшее различие в ширине слоев у балки № 3: см, см. 2. Минимальный вес имеет балка № 1, максимальный - № 26. Балка № 1 легче эталонной балки № 1 в 1,05 раза, а эталонной балки № 2 в 1,37 раза. 3. Наилучшей с точки зрения стоимости оказалась балка № 15, наихудшей - № 20. Балка № 15 дешевле эталонной балки № 1 в 1,68 раза, а эталонной балки № 2 в 2,17 раза. 4. Максимальный прогиб имеет балка № 21, минимальный - № 1. Прогиб балки № 1 больше чем у эталонной балки № 1(2) в 1,40(1,35) раза. Балка с наименьшей стоимостью имеет в 1,64(1,58) раза больший прогиб, чем эталонная балка № 1(2). 5. Предельные деформации эталонных балок достигались в верхних фибровых волокнах. При этом максимальное значение продольных деформаций нижних фибровых волокон эталонной балки № 1 и № 2 достигало соответственно 74 % и 54 % от предельно допустимых. Это также является следствием разносопротивляемости древесины. В отдельных случаях предельные деформации достигались раньше во втором слое, чем в первом и третьем. Для балок № 23-24 получено отрицательное значение ширины третьего слоя. 5. Параметрическая оптимизация 2 Рассмотрим вертикальную стойку, жестко закрепленную в опорном сечении (рис. 5, а). Стойка нагружена продольной силой N и равномерно распределенной нагрузкой q. Загружение нагрузками q и N начинается и заканчивается одновременно, а по времени идет равномерно. Поперечное сечение представлено трехслойным двутавром (рис. 5, б). В качестве искомых размеров примем ширину первого и третьего слоев. Остальные размеры заданы и приведены на рис. 5 в мм. Рис. 5. К расчету стойки: а - расчетная схема; б - поперечное сечение Fig. 5. To the calculation of the rack: a - calculation scheme; b - the cross-section Для расчета возьмем три породы древесины: 1 - ель, 2 - ясень, 3 - дуб. Удельный вес и удельная стоимость пород древесины дана в табл. 1. Каждый слой двутавра может быть изготовлен из трех выбранных пород. В этом случае количество различных расположений пород в сечении равно количеству размещений с повторениями из 3 по 3 - Для каждого варианта распределения пород найдем такую ширину верхнего и нижнего поясов, что в опасном сечении предельные деформации достигаются одновременно в двух уровнях. Опасное сечение балки находится в заделке. Значения внутренних усилий в этом сечении: При таком распределении усилий осуществляется первое предельное состояние а обобщенные деформации вычисляются по формулам (30). Ширина искомых слоев определяется так же, как и в п. 4 формулы (33). Определив размеры слоев, находим и для всего стержня из решения системы (7) по методу, описанному в п. 2. Перемещения балки вычисляем по формулам (5). При этом из условий закрепления получим Результаты расчетов сведены в табл. 3. Таблица 3 Результаты расчета Table 3 Calculation results № Материал слоев b1, см b3, см V, кН C, руб wmax, см Слой, в котором достигнуты предельные деформации Знак предельных деформаций 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 111 9,2 9,8 0,24 107,9 8,0 1,3 -,+ 2 121 8,9 10,1 0,31 136,4 8,0 1,3 -,+ 3 221 3,6 11,7 0,29 131,1 8,1 1,3 -,+ 4 211 4,0 11,4 0,23 103,8 8,1 1,3 -,+ 5 131 8,9 10,2 0,31 142,3 8,0 1,3 -,+ 6 331 2,6 12,3 0,29 135,0 8,1 1,3 -,+ 7 311 разрушение во 2-м слое 2 - 8 321 2,5 12,3 0,29 129,1 8,2 1,3 -,+ 9 231 3,6 11,7 0,30 137,1 8,1 1,3 -,+ 10 112 разрушение во 2-м слое 2 + 11 122 15,5 4,3 0,32 144,3 12,4 1,3 -,+ 12 222 7,7 5,3 0,31 138,0 12,7 1,3 -,+ 13 212 разрушение во 2-м слое 2 + 14 132 разрушение во 2-м слое 2 + 15 332 разрушение во 2-м слое 2 + 16 312 разрушение во 2-м слое 2 + 17 322 6,3 5,7 0,30 135,2 12,8 1,3 -,+ 18 232 разрушение во 2-м слое 2 + 19 113 9,8 9,2 0,27 122,9 8,7 1,3 -,+ 20 123 9,5 9,5 0,34 151,8 8,7 1,3 -,+ 21 223 4,0 11,1 0,33 149,0 8,9 1,3 -,+ 22 213 4,4 10,8 0,27 121,1 8,9 1,3 -,+ 23 133 9,5 9,6 0,34 157,8 8,7 1,3 -,+ 24 333 2,9 11,7 0,33 153,8 8,9 1,3 -,+ 25 313 разрушение во 2-м слое 2 - 26 323 2,9 11,7 0,33 147,8 8,9 1,3 -,+ 27 233 4,0 11,1 0,33 155,1 8,9 1,3 -,+ 28 Эталон 1 9,3 9,3 0,37 171,1 8,9 3 + 29 Эталон 2 h = 30 см, b = 7,4 см 0,46 213,1 9,3 3 + Второй столбец табл. 3 содержит информацию о материале слоев. Так, шифр 132 означает, что первый слой выполнен из ели, второй из дуба и третий из ясеня. Остальные обозначения аналогичны обозначениям в табл. 2. Для сравнения был произведен расчет двух эталонных балок. Все их слои выполнены из древесины дуба. Поперечное сечение симметрично относительно осей y и z. Эталонная балка № 1 имеет двутавровое сечение, размеры которого даны на рис. 5, б. Ширина первого слоя равна ширине третьего. Поперечное сечение эталонной балки № 2 прямоугольное. Высота прямоугольного сечения см. Длина и интенсивность нагрузки q эталонных балок остается неизменной. Неизвестную ширину у эталонных балок № 1 и 2 определяем так же, как и в п. 4. Результаты расчета эталонных балок даны в строках 28, 29 табл. 3. Анализируя данные табл. 3, можно отметить следующее: 1. В отличие от расчетов, выполненных в п. 4, во многих случаях ширина искомых слоев была близка по величине. При этом искомые слои могли быть выполнены как из одного материала - строки 1 и 2 в табл. 3, так и из разных - строки 17, 19, 20 и 23 в табл.3. Связано это с одновременным действием момента и продольной силы. 2. Соотношение ширины первого и третьего слоев сильно зависит от распределения пород в сечении. Так, для строки 8 табл. 3: см, см, а для строки 11 табл. 3: см, см. 3. Минимальный вес имеет балка № 4, максимальный - № 20. Балка № 4 легче эталонной балки № 1 в 1,09 раза, а эталонной балки № 2 в 1,35 раза. 4. Наилучшей с точки зрения стоимости оказалась балка № 4, наихудшей - № 23. Балка № 4 дешевле эталонной балки № 1 в 1,65 раза, а эталонной балки № 2 в 2,05 раза. 6. Максимальный прогиб имеет балка № 17, минимальный - № 1. Прогиб балки № 1 меньше, чем у эталонной балки № 1 в 1,11 раза, а эталонной балки № 2 в 1,16 раза. Балка с наименьшей стоимостью имеет в 1,10(1,15) раза меньший прогиб, чем эталонная балка № 1(2). 5. Предельные деформации эталонных балок достигались в нижних фибровых волокнах (3-й слой). При этом максимальное значение продольных деформаций верхних фибровых волокон эталонных балок № 1 и № 2 достигало соответственно 76 и 75 % от предельно допустимых. 6. В балках № 7, 10, 13-16, 18 и 25 предельные деформации достигались раньше во втором слое, чем в первом и третьем. При этом в балках № 7 и 25 достигались предельные деформации сжатия, а в остальных предельные деформации растяжения. 6. Параметрическая оптимизация 3 Рассмотрим однопролетную балку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 6, а). Поперечное сечение неизменно по длине и представляет собой тавр, составленный из двух слоев (рис. 6, б). Неизвестными являются ширина первого слоя и высота второго, остальные размеры заданы на рис. 6. Пусть имеется шесть пород древесины: 1 - ель, 2 - ясень, 3 - сосна, 4 - дуб, 5 - береза и 6 - лиственница. Каждый слой тавра может быть изготовлен из любой породы. В этом случае количество различных расположений пород в сечении равно количеству размещений с повторениями из 6 по 2 - . Для каждого варианта распределения пород найдем такие размеры b1 и h2, что в опасном сечении предельные деформации достигаются одновременно в двух уровнях. Рис. 6. К расчету балки: а - расчетная схема; б - поперечное сечение Fig. 6. To the calculation of the beam: a - calculation scheme; b - the cross-section Опасное сечение балки находится в середине пролета. Значения внутренних усилий в этом сечении: При таком распределении усилий осуществляется первое предельное состояние , а обобщенные деформации определяем из (30). Подставляем и в (7) и после преобразований получаем систему двух нелинейных уравнений относительно b1 и h2: (34) Находим из первого уравнения b1 и подставляем во второе: (35) Выражение (35) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно неизвестной h2. Решаем его методом секущих [19]. В качестве начального приближения принимаем и , а последующие приближения будем строить по формуле (36) Итерационное решение продолжаем до тех пор, пока разница между решениями на соседних итерациях не достигнет малой, наперед заданной величины. Определив h2, находим b1 из (34). Зная все размеры поперечного сечения, находим и для всего стержня из решения системы (7) по методу, описанному в п. 2. Перемещения балки вычисляем по формулам (5). При этом находим из условий: Результаты расчетов сведены в табл. 4. Для сравнения был произведен расчет двух эталонных балок. Все их слои выполнены из древесины ели. Эталонная балка № 1 имеет тавровое сечение (см. рис. 6, б). Высота первого слоя и ширина второго равны 90 мм. Высота второго слоя связана с шириной первого слоя соотношением Поперечное сечение эталонной балки № 2 прямоугольное с размерами при этом Длина эталонных балок и интенсивность нагрузки q остаются неизменными. Таблица 4 Результаты расчета Table 4 Calculation results № Материал слоев b1, см b3, см V, кН C, руб wmax, см Слой, в котором достигнуты предельные деформации Знак предельных деформаций 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 31,8 32,1 1,52 690,1 10,5 1,2 -,+ 2 12 58,8 23,2 2,25 1010,7 18 2 - 3 13 38,0 28,5 1,67 733,1 11,6 1,2 -,+ 4 14 32,8 31,8 1,96 903,6 11,1 1,2 -,+ 5 15 77,0 18,7 2,5 963,2 20,7 6 16 40,6 27,9 1,96 815,1 13,3 1,2 -,+ 7 21 16,3 35,9 1,45 651,4 11,3 1,2 -,+ 8 22 32,9 25,0 2,11 936,6 19,3 1,2 -,+ 9 23 19,5 31,8 1,57 676,5 12,5 1,2 -,+ 10 24 16,9 35,4 1,93 886,0 11,9 1,2 -,+ 11 25 41,4 20,4 2,21 814,3 22,1 1,2 -,+ 12 26 22,3 30,6 1,90 774,6 14,3 1,2 -,+ 13 31 27,0 31,5 1,48 646,1 10,4 1,2 -,+ 14 32 50,7 22,8 2,20 943,6 17,8 1,2 -,+ 15 33 32,3 28,0 1,63 683,3 11,4 1,2 -,+ 16 34 27,8 31,2 1,91 854,3 10,9 1,2 -,+ 17 35 67,8 18,2 2,45 897,4 20,5 1,2 -,+ 18 36 34,3 27,4 1,90 759,8 13,1 1,2 -,+ 19 41 разрушение внутри 2-го слоя 2 - 20 42 28,7 25,6 2,00 910,0 19,7 1,2 -,+ 21 43 разрушение внутри 2-го слоя 2 - 22 44 13,7 36,9 1,88 874,2 12,1 1,2 -,+ 23 45 36,1 20,9 2,05 770,9 22,6 1,2 -,+ 24 46 18,9 31,7 1,82 753,5 14,6 1,2 -,+ 25 51 24,6 32,6 1,61 524,0 10,6 1,2 -,+ 26 52 45,3 23,4 2,39 697,2 18,2 1,2 -,+ 27 53 29,3 28,9 1,77 533,3 11,7 1,2 -,+ 28 54 25,4 32,2 2,06 735,2 11,2 1,2 -,+ 29 55 58,6 19,0 2,63 544,4 20,8 1,2 -,+ 30 56 31,5 28,2 2,07 602,4 13,4 1,2 -,+ 31 61 разрушение внутри 2-го слоя 2 - 32 62 25,6 25,9 1,86 765,4 19,9 1,2 -,+ 33 63 разрушение внутри 2-го слоя 2 - 34 64 11,6 37,7 1,81 809 12,2 1,2 -,+ 35 65 32,2 21,2 1,86 584,1 22,8 1,2 -,+ 36 66 16,5 32,3 1,73 658,2 14,7 1,2 -,+ 37 Эталон 1 20,2 40,4 1,44 654,5 7,6 1 - 38 Эталон 2 h = 41 см, b = 20,5 см 2,23 1008,6 8,1 1 - Неизвестную ширину слоев эталонных балок № 1 и 2 определяем из расчета. Задаем произвольное значение ширины и определяем НДС балки. После этого производим проверку по условию прочности (9). Если балка недогружена, то уменьшаем варьируемую ширину, иначе увеличиваем. Так поступаем до тех пор, пока продольные деформации не достигнут предельных значений. Результаты расчета эталонных балок даны в строках 37, 38 табл. 4. Анализируя данные табл. 4, отметим следующее: 1. Наблюдается большое различие в полученных размерах слоев в зависимости от выбора комбинации материалов. Так, а Это является следствием значительных различий в механических характеристиках пород древесины, а также их разносопротивляемости при растяжении и сжатии. 2. Минимальный вес имеет балка № 7, максимальный - № 29. Балка № 7 тяжелее эталонной балки № 1 в 1,01 раза и легче эталонной балки № 2 в 1,55 раза. 3. Наилучшей с точки зрения стоимости оказалась балка № 25, наихудшей - № 2. Балка № 25 дешевле эталонной балки № 1 в 1,25 раза, а эталонной балки № 2 в 1,92 раза. 7. Максимальный прогиб имеет балка № 35, минимальный - № 13. Прогиб балки № 13 больше, чем у эталонной балки № 1 в 1,37 раза, а эталонной балки № 2 в 1,28 раза. Балка с наименьшей стоимостью имеет в 1,39 (1,31) раза больший прогиб, чем эталонная балка № 1(2). 4. Предельные деформации эталонных балок достигались в верхних фибровых волокнах. При этом максимальное значение продольных деформаций нижних фибровых волокон эталонной балки № 1 и № 2 достигало соответственно 77 и 56 % от предельно допустимых. Это также является следствием разносопротивляемости древесины. 5. Наилучшими балками как с точки зрения стоимости, так и с точки зрения веса и прогиба являются балки, слои которых выполнены из различных пород древесины. Это говорит в пользу конструирования комбинированных конструкций. В отдельных случаях предельные деформации достигались раньше на внутренних границах слоев. 7. Функциональная оптимизация В случае параметрической оптимизации требовалось выполнение условия равнопрочности (27) в одном сечении стержня. Из этого условия находились неизвестные размеры поперечного сечения, которые принимались неизменными по всей длине стрежня. Теперь будем требовать выполнения условия (27) на всей длине стержня. При этом искомые размеры будут функциями координаты х. Возьмем для расчета стойку из п. 5. Также имеем три породы древесины: 1 - ель, 2 - ясень и 3 - дуб. Каждый слой двутавра (см. рис. 5, б) может быть изготовлен из трех выбранных пород. В этом случае количество различных расположений пород в сечении равно количеству размещений с повторениями из 3 по 3 - Для каждого варианта распределения пород найдём такую ширину верхнего и нижнего поясов, что на всей длине стержня предельные деформации достигаются одновременно в двух уровнях. Значения внутренних усилий задаются функциями: При таком распределении усилий сложно определить, какое из предельных распределений будет осуществляться по длине стойки. Поэтому вычислим b1 и b3 для всех четырех рассматриваемых предельных распределений Искомую ширину слоев определяем по (33), подставляя каждый раз обобщенные деформации, соответствующие Определив размеры слоев, проверяем выполнение конструктивных ограничений (29) при Если размеры имеют отрицательное значение, то они принимаются равными нулю. В тех областях, где искомые размеры имеют отрицательное значение, находим и из решения системы (7) по методу, описанному в п. 2. Перемещения балки вычисляем по формулам (5). При этом из условий закрепления получим Результаты расчетов сведены в табл. 5. Таблица 5 Результаты расчета Table 5 Calculation results № Материал слоев V, кН C, руб. wmax, см Слой, в котором достигнуты предельные деформации Знак предельных деформаций 1 2 3 4 5 6 7 1 111 0,12 55,0 12,5 1,3 -,+ 2 121 0,19 83,4 12,3 1,3 -,+ 3 221 0,17 74,8 12,0 1,3 -,+ 4 211 разрушение во 2-м слое 2 - 5 131 0,19 89,3 12,3 1,3 -,+ 6 331 0,17 78,4 11,8 1,3 -,+ 7 311 разрушение во 2-м слое 2 - 8 321 0,17 72,4 11,8 1,3 -,+ 9 231 0,17 80,8 12,0 1,3 -,+ 10 112 разрушение во 2-м слое 2 + 11 122 0,20 89,3 20,4 1,3 -,+ 12 222 0,18 80,4 20,2 1,3 -,+ 13 212 разрушение во 2-м слое 2 + 14 132 разрушение во 2-м слое 2 + 15 332 разрушение во 2-м слое 2 + 16 312 разрушение во 2-м слое 2 + 17 322 0,18 77,5 19,9 1,3 -,+ 18 232 разрушение во 2-м слое 2 + 19 113 0,13 61,0 13,4 1,3 -,+ 20 123 0,20 89,8 13,2 1,3 -,+ 21 223 0,19 83,5 13,0 1,3 -,+ 22 213 0,12 55,6 13,2 1,3 -,+ 23 133 0,20 95,8 13,2 1,3 -,+ 24 333 0,19 87,9 12,8 1,3 -,+ 25 313 разрушение во 2-м слое 2 - 26 323 0,19 81,9 12,8 1,3 -,+ 27 233 0,19 89,5 13,0 1,3 -,+ Второй столбец табл. 5 содержит информацию о материале слоев. Так, шифр 132 означает, что первый слой выполнен из ели, второй из дуба и третий из ясеня. Вес и стоимость балки даны в столбцах 3-4. В столбце 5 приведено максимальное значение прогиба. Для сравнения был произведен расчет двух эталонных балок с постоянным поперечным сечением. Результаты расчета эталонных балок даны в строках 28, 29 табл. 3. Анализируя данные табл. 5, отметим следующее: 1. По сравнению с параметрической оптимизацией, где сечение оставалось неизменным по длине, удалось снизить вес балок в 1,60-2,25 раза, стоимость - в 1,59-2,18 раза. При этом максимальный прогиб возрос в 1,44-1,65 раза. 2. Минимальный вес имеет балка № 1, максимальный - № 23. Балка № 1 легче эталонной балки № 1 в 3,08 раза, а эталонной балки № 2 в 3,83 раза. 3. Наилучшей с точки зрения стоимости оказалась балка № 1, наихудшей - № 23. Балка № 1 дешевле эталонной балки № 1 в 3,11 раза, а эталонной балки № 2 в 3,87 раза. 4. Максимальный прогиб имеет балка № 11, минимальный - № 6. Прогиб балки № 6 больше, чем у эталонной балки № 1 в 1,33 раза, а эталонной балки № 2 в 1,27 раза. Балка с наименьшей стоимостью имеет в 1,40 (1,34) раза больший прогиб, чем эталонная балка № 1 (2). В отдельных случаях предельные деформации достигались раньше во втором слое, чем в первом и третьем. На рис. 7 приведены графики ширины первого и второго слоя балки №1. Рис. 7. Размеры искомых слоев балки № 1 Fig. 7. Layer dimensions for beam № 1 При ширина первого слоя имела отрицательное значение, поэтому на этом участке Для других балок графики b1 и b3 имеют подобный вид. Заключение В работе представлено решение проблемы определения напряженно-деформированного состояния гибридных деревянных брусьев с учетом физической нелинейности и разносопротивляемости материала. Приведено большое количество расчетов слоистых деревянных стержней при различных вариантах закрепления, различных распределениях материалов и нагрузок. Полученные данные показывают следующее: 1. Использование критерия равнопрочности в совокупности с принципами гибридного проектирования (когда конструкция создается путем рационального сочетания материалов с различными механическими свойствами) позволяет значительно снизить вес и стоимость материала конструкции по сравнению с эталонными балками. При параметрическом проектировании снижение веса (стоимости) достигало 1,65 (2,17) раза, при функциональном проектировании - 3,83 (3,87) раза. 2. Использование условия равнопрочности приводит к тому, что практически во всех случаях происходит возрастание прогибов в 1,28-1,65 раза в сравнении с эталонными балками. Однако возрастание прогиба происходит в намного меньшей степени, чем уменьшение стоимости материала проектируемых конструкций. 3. Сильное различие в диаграммах деформирования древесины при растяжении и сжатии значительно влияет на полученные при проектировании поперечные размеры бруса. 4. В зависимости от распределения пород в сечении бруса возможно возникновение скрытых механизмов разрушения, когда предельное состояние достигается во внутренних слоях стержня.

# About the authors

### Yu V Nemirovsky

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics

### A I Boltaev

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics

# References

1. Конструкции из дерева и пластмасс / Д.К. Арленинов [и др.]. - М.: АСВ, 2002. - 280 с.
2. Шмидт А.Б., Дмитриев П.А. Атлас строительных конструкций из клееной древесины и водостойкой фанеры. - М.: АСВ, 2002. - 292 с.
3. Porteous J., Kermani A. Structural timber design to Eurocode 5. - John Wiley & Sons, 2013. - 640 p.
4. Pischl R., Schickhofer G. The Mur River wooden bridge, Austria // Structural Engineering International. - 1993. - Vol. 3. - No. 4. - P. 217-219.
5. Poirier E. Design and construction of a 53-meter-tall timber building at the university of British Columbia // Proceedings of WCTE. - 2016.
6. de la Rosa García P., Escamilla A. C., García M. N. G. Bending reinforcement of timber beams with composite carbon fiber and basalt fiber materials // Composites Part B: Engineering. - 2013. - Vol. 55 - P. 528-536.
7. Raftery G.M., Whelan C. Low-grade glued laminated timber beams reinforced using improved arrangements of bonded-in GFRP rods // Construction and Building Materials. - 2014. - Vol. 52 - P. 209-220.
8. Рощина С.И., Сергеев М.С., Лукина А.В. Армирование деревянных конструкций // Изв. вузов. Лесной журнал. - 2013. - № 4. - С. 80-85.
9. Исследование прочности и деформативности древесины: сб. ст. / под ред. д-ра техн. наук проф. Г.Г. Карлсена. - М.: Госстройиздат, 1956. - 172 с.
10. Быков В.В. Экспериментальные исследования прочности и деформативности древесины сибирской лиственницы при сжатии и растяжении вдоль волокон с учетом длительного действия нагрузки // Изв. вузов. Строительство. - 1967. - № 8. - С. 3-8.
11. Квасников Е.Н. Вопросы длительного сопротивления древесины. - Л.: Стройиздат, 1972. - 96 с.
12. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. - М.: Наука, 1978. - 616 с.
13. Немировский Ю.В. Метод расчета композитных стержневых систем из разномодульных материалов // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: материалы V Всерос. науч. конф. - Томск, 2006. - С. 288-290.
14. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Особенности деформирования и разрушения деревянных клееных многопролетных балок. Сообщение 1 // Изв. вузов. Строительство. - 2016. - № 6. - С. 116-126.
15. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. - 720 c.
16. Немировский Ю.В., Мищенко А.В., Вохмянин И.Т. Рациональное и оптимальное проектирование слоистых стержневых систем. - Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2004. - 488 с.
17. Боровиков А.М., Уголев Б.Н. Справочник по древесине. - М.: Лесная промышленность, 1989. - 296 с.
18. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Метод расчета деревянных стропильных покрытий зданий. Сообщение 1: Моделирование и общие закономерности // Изв. вузов. Строительство. - 2014. - № 3. - С. 5-13.
19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Физматгиз, 1962. - 640 с.
20. Гениев Г.А. Некоторые задачи расчета стержней при общей нелинейной зависимости напряжений от деформаций // Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности: сб. ст. / под ред. А.Р. Ржаницына. - М., 1956. - С. 188-222.
21. Ржаницын А.Р. Изгиб и сложное сопротивление прямоугольного сечения стержня при произвольной диаграмме работы материала // Расчет тонкостенных пространственных конструкций: сб. ст. / под ред. А.Р. Ржаницына. - М., 1964. - С. 7-22.
22. Строительная механика в СССР. 1917-1967: сб. ст. / под ред. И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат, 1969. - 423 с.
23. Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем. - М.: Стройиздат, 1974. - 208 с.
24. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. - М.: Стройиздат, 1978. - 204 с.
25. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука, 1988. - 232 с.
26. Рудых О.Л., Соколов Г.П., Пахомов В.Л. Введение в нелинейную строительную механику. - М.: АСВ, 1998. - 103 с.
27. Лукашевич А.А. Современные численные методы строительной механики. - Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 2003. - 135 с.
28. Нелинейные методы расчета в современном проектировании / Шапиро Д.М. [и др.] // Научный журнал строительства и архитектуры. - 2009. - № 3. - С. 85-94.
29. Owen D.R., Hinton E. Finite elements in plasticity: Theory and Practice. - Swansea, U.K.: John Wiley & Sons, 2013. - 640 p.
30. McGuire W., Gallagher R.H., Ziemian R.D. Matrix structural analysis, 2014. - 460 p.
31. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. - М.: Инфра-Инженерия, 2014. - 480 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 42

PDF (Russian) - 11

#### PlumX

Copyright (c) 2017 Nemirovsky Y.V., Boltaev A.I.