Full Text

Введение В настоящее время существует большое количество технологий, позволяющих создавать слоисто-волокнистые композиты из практически любых наборов материалов с различными физико-механическими свойствами. Многослойные армированные плоские конструкции находят широкое применение в различных областях современной техники: космической, авиационной, кораблестроительной; промышленном, гражданском и транспортном строительстве, химическом и энергетическом машиностроении [1-6]. При воздействии высокоинтенсивных нагрузок на такие элементы конструкций их материалы проявляют в основном пластические свойства. Исследования динамического деформирования композитных элементов конструкций за пределом упругого поведения имеют принципиальное значение для оценки степени их повреждаемости, оценки рисков и прогнозирования чрезвычайных ситуаций. Анализ литературных источников показывает, что такие исследования находятся пока в зачаточном состоянии [7-17]. Для решения динамических задач при взрывном типе нагрузок широкое распространение благодаря простоте и удобству расчетных схем получила модель жесткопластического тела [7, 18]. В [7] обсуждается современное состояние расчетов неупругого динамического деформирования оболочечных конструкций слоисто-волокнистой структуры и приведено обоснование использования модели жесткопластического тела в таких расчетах. Достоинство решений жесткопластической теории состоит в том, что, будучи довольно простыми, они способны давать быстрое и качественно верное представление о деформации. При этом следует учитывать, что область применения этой модели ограничена малыми прогибами тонкостенных конструкций [18]. В работе [7] также рассмотрены достоинства и недостатки структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах [19, 20], которая с допустимой точностью моделирует композитные материалы в случае неидеального контакта арматуры со связующим. В [21] рассматривается численное моделирование упругопластического динамического поведения осесимметричных однослойных и многослойных пластин и оболочек переменной толщины из традиционных и композиционных материалов и отмечено, что при решении многих задач динамики композитных оболочек даже достаточно грубые модели пластического деформирования материала, какой, например, является жесткопластическая модель, позволяют во многих случаях получить адекватное представление о процессах деформирования. В настоящей работе построена модель динамического поведения жесткопластических гибридных слоистых композитных пластин со свободным произвольным кусочно-гладким внешним контуром и закрепленным круглым внутренним отверстием, шарнирно опертым или защемленным, на которые действует равномерно распределенная по поверхности кратковременная динамическая нагрузка высокой интенсивности взрывного типа. Армирование пластин выполнено в радиальном (по отношению к опертому круглому контуру), окружном и угловом направлениях. Считается, что механические характеристики материалов, составляющих слоистый пакет, являются соразмерными (отличающимися не более чем на порядок). По толщине каждый слой имеет регулярную и квазиоднородную структуру, на границах между слоями выполняются условия идеального механического контакта. В этом случае для слоистых пластин приемлемо использование традиционных гипотез Кирхгофа-Лява. Количество параметров предложенной математической модели позволяет в широком диапазоне изменять структуру армирования пластин, объемное содержание армирующих волокон, а также толщину слоев и физические характеристики композита. Известные в литературе динамические решения для двусвязных пластических пластин с закрепленным отверстием касаются только однородных кольцевых [22] и криволинейных пластин [23, 24]. Настоящая работа является развитием модели деформирования, разработанной в [24], на случай слоисто-волокнистых гибридных пластин. 1. Формулировка задачи, основные геометрические соотношения и предположения Рассмотрим пластину с круглым закрепленным отверстием радиусом , шарнирно опертым или защемленным, со свободным кусочно-гладким внешним контуром . Уравнение внешнего контура в полярной системе координат с полюсом в центре окружности имеет вид , где (рис. 1). Считаем для определенности, что контур имеет ось симметрии . Пластина находится под действием равномерно распределенной по поверхности динамической нагрузки высокой интенсивности взрывного типа с . Прогибы пластины считаются малыми. Влиянием мембранных сил и вертикальных сдвигов в условии пластичности и геометрическими изменениями пренебрегаем. Пластина выполнена из композитного материала, который является слоистым с симметричным относительно срединной поверхности пластины распределением слоев. Предполагается, что каждый слой пластины содержит по толщине большое количество армированных элементарных слоев и связующих их изотропных прослоек, описываемых моделью идеального жесткопластического материала. В каждом слое возможно расположение волокон арматуры, которые деформируются, как одномерные элементы, и расположены в виде симметричных относительно радиуса двух семейств криволинейных траекторий (угловое армирование), в радиальном и окружном направлениях. Траектории волокон углового армирования описываются неубывающими или невозрастающими функциями окружной координаты , соответственно ( - начальное значение , свое для каждой траектории). Значение при переходе от одной траектории к соседней того же семейства изменяется на малую фиксированную величину (шаг). Тогда вследствие такой равномерной укладки волокон в каждом элементарном армирующем слое параметры углового армирования (плотность и угол армирования) не зависят от окружной координаты [25]. В разных слоях пластины материалы арматуры и связующего различные. Структура армирования пластины из одних и тех же составляющих материалов может иметь разный вид за счет взаимного изменения порядка расположения слоев и изменения направления расположения волокон. Для рассматриваемой пластины приведенная поверхностная плотность материала пластины определяется так: , , где - половина общего количества слоев; - плотность связующего материала в -м слое; , - плотность материала арматуры и ее плотность армирования (относительное объемное содержание волокон в слое) в -м слое в радиальном (), окружном () и угловом () направлении; - координаты раздела слоев; ; ; - толщина пластины. Рис. 1. Криволинейная пластина с круглым отверстием. Схема 1 Fig. 1. A curvilinear plate with a circular hole. Scheme 1 Рис. 2. Криволинейная пластина с круглым отверстием. Схема 2 Fig. 2. A curvilinear plate with a circular hole. Scheme 2. Предельные изгибающие моменты , (погонные), нормальные и тангенциальные к закрепленному контуру пластины в рамках структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах определяются следующим образом: , (); ; ; . Здесь - предел текучести связующего материала в -м слое; , - пределы текучести материала арматуры, расположенной в радиальном, окружном и угловом направлениях в -м слое; - угол армирования угловых волокон в -м слое (см. рис. 1). В отличие от [19, 20] в предлагаемом варианте структурной модели выполняется следующий предельный переход: если условно принять во всех слоях связующее одно и то же и материал арматуры один и тот же, тогда, если материал арматуры заменить на материал связующего, получим приведенную плотность и предельные значения изгибающих моментов для однородной пластины, выполненной из материала связующего. И наоборот, если материал связующего поменять на материал арматуры, получим приведенную плотность и предельные значения изгибающих моментов для однородной пластины, выполненной из материала арматуры. Для рассматриваемой пластины из жесткопластического материала возможны разные схемы деформирования в зависимости от величины . При нагрузках, не превышающих предельные нагрузки («низких» нагрузках), пластина остается в покое. При нагрузках, незначительно превышающих предельные («средних» нагрузках), в случае шарнирного опирания опорного контура плоскость пластины вращается вокруг контура с углом поворота и деформируется в линейчатую поверхность (схема 1). В отличие от однородных пластин [22, 24] в случае защемления опорного контура армированной пластины плоскость пластины при схеме 1 вращается конусообразно вокруг контура , . Часть пластины между контуром и окружностью радиусом не деформируется. Величина определяется из условия минимума предельной нагрузки пластины, как это будет показано ниже. При достаточно высоких значениях («высоких» нагрузках) схема 1 переходит в схему 2, в которой, как и в случае однородных кольцевых и двусвязных пластин [22-24], движение пластины сопровождается возникновением нестационарной пластической шарнирной окружности с нормальным изгибающим моментом, равным предельному значению, движущейся поступательно (рис. 2). При этом пластина деформируется в форме линейчатых поверхностей. Поскольку деформирование пластины при различном опирании закрепленного контура немного различается, рассмотрим отдельно случаи его шарнирного опирания и защемления. 2. Шарнирное опирание внутреннего контура. Схема 1 Уравнения движения пластины выведем из принципа виртуальной мощности с использованием принципа Даламбера [26]: (1) ; . (2) (3) Здесь , , - мощности инерционных, внешних и внутренних сил соответственно; - площадь и элемент площади пластины; - прогиб; - количество линий разрыва поля скоростей; - линии разрыва поля скоростей, включая контур пластины; - разрыв скорости угла поворота плоскости пластины на ; - изгибающий момент на ; - элемент линии ; и - главные кривизны поверхности скоростей прогибов пластины. Точки над символами обозначают производные по времени. Верхним индексом «» обозначены кинематически допустимые величины. Скорости прогибов пластины для схемы 1 будут представлены в виде : . (4) Главные кривизны поверхности скоростей прогибов пластины , . (5) Выражения (2) будут выглядеть следующим образом: , (6) . (7) Мощность внутренних сил (3) с учетом (5) имеет выражение . (8) Уравнение движения (1) для схемы деформирования 1 примет вид (9) В начальный момент пластина покоится, и выполняются условия . (10) Предельную нагрузку определим из (9) при учете . Тогда имеем . (11) Запишем уравнение движения (9) в виде , (12) . Интегрируя уравнение (12), имеем ; . Пластина будет двигаться до остановки в момент времени , когда выполняется равенство , (13) тогда Максимальный остаточный прогиб . В случае нагрузки с прямоугольным импульсом при , при максимальный остаточный прогиб вычисляется по формуле Все прогибы в пластине определяются соотношениями (4). Отметим, что в случае шарнирного закрепления контура параметры радиального армирования не входят в выражение (11), но они присутствуют в коэффициенте в формуле (12). Следовательно, в рассматриваемой модели при шарнирном опирании контура армирование в радиальном направлении не влияет на величину предельной нагрузки (нагрузки, при которой пластина начнет деформироваться), но влияет на динамическое поведение пластины и ее остаточный прогиб. Для композитной пластины с произвольным свободным контуром возможно, что в предельном состоянии пластина вращается вокруг образовавшегося контура , который является пластическим шарниром и пересекает контур , но не касается его, так как нормальный изгибающий момент на равен нулю (как, например, на рис. 3). Рис. 3. Криволинейная пластина с круглым отверстием. Схема 3 Fig. 3. A curvilinear plate with a circular hole. Scheme 3 В силу симметрии контур состоит из нескольких одинаковых прямолинейных участков, а деформирующаяся часть пластины - из стольких же областей , жестко вращающихся вокруг своего опорного участка контура , длину которого обозначим через и скорость угла поворота области вокруг - через . Часть пластины между контурами и остается недеформированной. Мощности внешних и внутренних сил для вычисляются следующим образом: , , , , . Здесь - декартовая система координат в области (см. рис. 3); - расстояние от центра окружности до прямой . В этом случае предельная нагрузка вычисляется так: . Если выполняется неравенство, то деформирование будет происходить по схеме 1. Пластины с условием здесь рассматриваться не будут. 3. Шарнирное опирание внутреннего контура. Схема 2 Рассмотрим подробно схему 2, в которой движение пластины сопровождается возникновением нестационарной пластической шарнирной окружности , движущейся поступательно. Кривая разбивает пластину на две линейчатые поверхности и (см. рис. 2). Область движется поступательно и вращается вокруг кривой . Поскольку кривая движется поступательно, то все ее точки движутся с одинаковой скоростью, которую обозначим через . Как в [24], из непрерывности скоростей на следует, что нормаль к линии является нормалью к окружности и что расстояние между и не зависит от параметра . Следовательно, линия будет окружностью радиуса . Вследствие непрерывности скоростей на линии область вращается вокруг опорного контура с одинаковой скоростью; обозначим ее через . Считаем, что область вращается вокруг подвижной шарнирной окружности со скоростью , также не зависящей от параметра . Тогда скорости прогибов пластины для схемы 2 будут представлены в виде (рис. 4) : (14) : , где области и определены так: : , ; : , . Главные кривизны поверхности скоростей прогибов пластины в области имеют вид (5) и в области Рис. 4. Скорости прогибов пластины для схемы 2 Fig. 4. Velocities of plate deflections for scheme 2 , . Учитывая введенные обозначения, выражения (2) приобретают вид (15) (16) Выражение (3) для мощности внутренних сил представим в виде , где , , - мощности внутренних сил внутри области , на линии и внутри области соответственно. Эти мощности вычисляются так: , . Полная мощность внутренних сил пластины определяется выражением , (17) , , где верхний знак соответствует (вариант а схемы 2 - схема 2а); нижний знак - случаю (вариант б схемы 2 - схема 2б). При условии схема 2 переходит в схему 1. Подставляя (15)-(17) в (1), учитывая независимость функций , ,, получим уравнения движения пластины: , (18) , (19) . (20) , , ; , , , . Из непрерывности скоростей на границе областей и имеем равенство . (21) Система уравнений (18)-(21) описывает поведение пластины в случае деформирования по схеме 2. Начальные условия имеют вид (10) и . (22) Начальное значение определяется в зависимости от значения , как это будет показано ниже. Из неравенства Коши-Буняковского для вещественного гильбертова пространства интегрируемых функций, определенных на , с интегрируемым квадратом и скалярным произведением функций , , определенным как , следует [27], что если область не вырождена, то . Тогда принимая и , получим, что выполняется неравенство , которое необходимо для последующего анализа системы уравнений движения пластины. Величину нагрузки , которая является минимальным значением , при котором реализуется схема 2, определим из условия . Значение функции , соответствующее нагрузке , обозначим через . Из (18), (19) при условии при получаем . (23) Дифференцируя (21) по времени и с помощью полученного равенства, исключая функции , из (17), (19), имеем . (24) При учете начальных условий (10) уравнение (24) принимает вид . (25) Считая в (23), (25) и , получаем, что определяется из равенства , (26) а удовлетворяет уравнению (27) Рассмотрим динамическое поведение пластины при «высоких» нагрузках, . Движение пластины начнется по схеме 2 при наличии шарнирной линии , начальное положение которой определяется значением из уравнения (25). Чтобы определить по схеме 2а или 2б, как будет деформироваться пластина, надо выбрать минимальную нагрузку из (26) при верхнем и нижнем знаке в выражениях для , в формуле (17). Если армирование таково, что функция постоянна или изменяется только вблизи опорного контура и постоянна в остальной части пластины, то постоянна в области , поэтому , . Тогда из (19) следует, что поскольку и не может быть отрицательным, то . В этом случае из выражения для следует, что , и реализуется схема 2а. В первой фазе () движение пластины описывается уравнениями (18)-(21) при начальных условиях (10), (22), . Движение шарнирной линии определяется уравнением (24). При обеих схемах 2а и 2б либо существует момент времени , при котором выполняется равенство и дальнейшее движение осуществляется по схеме 1 во второй фазе, либо происходит остановка в момент , который определяется из равенства, полученного из (24) при условии (13): В случае если движение пластины продолжается во второй фазе (), поведение пластины описывается уравнением (12) с начальными условиями , , определенными в конце первой фазы движения. Пластина останавливается в момент времени , определяемый из условия (13). Все прогибы вычисляются из (14), (4) с учетом обеих фаз движения. 4. Защемление внутреннего контура В случае защемления внутреннего контура уравнения движения пластины получаются аналогично случаю шарнирного опирания контура, но при этом следует учитывать, что на закрепленном контуре или на контуре () образуется пластический шарнир. Скорости прогибов пластины для схемы 1 будут представлены в виде : . (28) Тогда мощности инерционных, внешних и внутренних сил при схеме 1 расчитываются так: , (29) . (30) . (31) Из равенства мощностей внешних и внутренних сил расчитывается предельная нагрузка: (32) Подставляя (29)-(31) при , получим уравнение движения с начальными условиями (10). Таким образом, анализ деформирования пластины по схеме 1 совпадает с анализом уравнения (12), в котором заменено на : , а прогибы в пластине определяются соотношениями (28). Деформирование пластины по схеме 2 в случае защемления опорного контура описывается системой уравнений (17)-(20), в которых заменено на : . Таким образом, анализ поведения деформирования по схеме 2 совпадает с анализом, выполненным для шарнирно опертого опорного контура при замене на . Все прогибы вычисляются из (28) и (14) при этой же замене с учетом всех фаз движения. 5. Армированная квадратная пластина с круглым закрепленным отверстием В качестве примера рассмотрим армированную квадратную пластину со стороной () с закрепленным круглым отверстием (рис. 5). В этом случае для четверти пластины в силу симметрии уравнение внешнего контура имеет вид : ; : . Рис. 5. Квадратная пластина с круглым отверстием Fig. 5. A square plate with a circular hole Считаем, что пластина является четырехслойной и армированы только внешние слои: , , , , , , , , (). Такое соотношение армирующих параметров возможно, например, если связующий материал является алюминием, а материал арматуры - сталью. Будем рассматривать следующие типы армирования волокнами постоянного сечения и соответствующие им плотности армирования [28]: а) армирование в форме логарифмических спиралей: , ; (33) б) армирование в форме «спиц велоколеса»: , ; (34) в) армирование по радиусам окружности: , (35) г) армирование по окружности: , (36) где (), - заданные на опорной окружности плотности армирования и угол армирования. Для рассматриваемой пластины на рис. 6 кривые 1-5 изображают зависимости безразмерной предельной нагрузки от параметра , вычисленные по (11), (32), при разных значениях условий закрепления на контуре пластины и разном армировании. Кривая 1 - шарнирное опирание, армирование отсутствует. Кривая 2 - шарнирное опирание, армирование (36), . Кривая 3 - защемление, армирование отсутствует. Кривая 4 - защемление, армирование (35), . Кривая 5 - защемление, армирование (35), (36), , . В случае углового армирования для рассматриваемой шарнирно опертой пластины на рис. 7 нижние кривые 1-6 изображают зависимости безразмерной предельной нагрузки от начального угла армирования при условии одинакового расхода арматуры: , которое в случае только углового армирования принималось в виде , , (37) - площадь пластины. Кривая 1 - армирование (33), . Кривая 2 - армирование (33), . Кривая 3 - армирование (33), . Кривая 4 - армирование (34), . Кривая 5 - армирование (34), . Кривая 6 - армирование (34), . Получено, что в случае армирования по логарифмическим спиралям (33) (кривые 1-3) при предельная нагрузка стремится к значению предельной нагрузки при окружном армировании (36) с . Рис. 6. Безразмерная предельная нагрузка в зависимости от размера пластины Fig. 6. A dimensionless limit load depending on plate size Рис. 7. Безразмерная предельная нагрузка при угловом армировании в зависимости от начального угла армирования Fig. 7. A dimensionless limit load depending on the initial angle of reinforcement На рис. 8 приведены безразмерные прогибы , полученные по предлагаемой методике для квадратной пластины со стороной (), защемленной по внутреннему круглому контуру, в сечении при воздействии «высокой» нагрузки прямоугольного вида с . Кривые 1-3 соответствуют армированию (36) при . В этом случае , , . Прогибы приведены при снятии нагрузки (кривая 1), в момент исчезновения шарнира при (кривая 2) и в момент остановки при (кривая 3). Линия 4 изображает остаточные прогибы этой же пластины в случае, если расчеты вести только по схеме 1, без учета образования шарнира , при этом . Максимальный остаточный прогиб, учитывая образование пластического шарнира , меньше на 10 %, чем этот прогиб без учета возникновения шарнира . Кривая 5 на рис. 8 изображает остаточные прогибы в случае армирования (35), (36) при , . В этом случае , , , , . Линия 6 изображает остаточные прогибы в случае отсутствия армирования: , , , , . Рис. 8. Безразмерные прогибы пластин Fig. 8. Dimensionless deflections of plates Рис. 9. Условия пластичности Fig. 9. Conditions of plasticity 6. Армированная кольцевая пластина, закрепленная по внутреннему контуру В качестве другого примера рассмотрим армированную кольцевую пластину с внешним радиусом (), закрепленную по внутреннему контуру. В случае шарнирного закрепления контура предельная нагрузка (11) определяется так: . (38) Это значение полностью совпадает с точным значением предельной нагрузки армированной кольцевой пластины, шарнирно опертой по внутреннему контуру, вычисленной при условии пластичности типа Йогансена (Johansen) [29] в форме прямоугольника, записанного для радиального и окружного изгибающих моментов , (типа прямоугольника на рис. 9) [30]. Очевидно, что в случае условия пластичности типа Треска в форме шестиугольника ( или , как в [31], на рис. 8) предельная нагрузка будет иметь также вид (38). Для кольцевой пластины на рис. 6 кривые 6-10 изображают зависимости безразмерной предельной нагрузки от параметра , вычисленные по (38), (32). Кривая 6 - шарнирное опирание, армирование отсутствует. Кривая 7 - шарнирное опирание, армирование (36), . Кривая 8 - защемление, армирование отсутствует. Кривая 9 - защемление, армирование (35), . Кривая 10 - защемление, армирование (35), (36), , . В случае углового армирования для шарнирно опертой кольцевой пластины на рис. 7 верхние кривые 1-6 изображают зависимости безразмерной предельной нагрузки от начального угла армирования при условии одинакового расхода арматуры (37). Кривые 1-6 соответствуют тем же значениям параметра , что и в п. 6 для квадратной пластины. Также для кольцевой пластины численно получено, что в случае армирования по логарифмическим спиралям (33) (кривые 1-3) при предельная нагрузка стремится к значению предельной нагрузки при окружном армировании (36) с . На рис. 8 кривая 7 изображает безразмерные остаточные прогибы для защемленной кольцевой армированной пластины, вычисленные по предлагаемой методике. Считалось, что при действует «высокая» нагрузка прямоугольного вида с (та же нагрузка, что и в примере для квадратной пластины), армирование (35), (36) при . В этом случае , , , , . Во всех приведенных примерах системы дифференциальных уравнений, описывающих динамическое поведение, решались численно методом Рунге-Кутты, и при деформировании по схеме 2 реализовывалась схема 2а. Из приведенных расчетов видно, что армирование существенно влияет на предельную нагрузку, время деформирования и остаточные прогибы пластин. При одних и тех же параметрах армирования и значениях кольцевая пластина является более прочной, чем квадратная пластина, с точки зрения максимума предельной нагрузки и минимума остаточных прогибов. Заключение На основе модели идеального жесткопластического материала с использованием структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах построено общее решение задачи о динамическом изгибе гибридных слоистых композитных пластин с произвольным кусочно-гладким свободным внешним контуром и с круглым внутренним отверстием, шарнирно опертым или защемленным. На пластины действует равномерно распределенная по поверхности кратковременная динамическая нагрузка высокой интенсивности взрывного типа. Пластины являются гибридными слоисто-волокнистыми с распределением слоев симметрично относительно срединной поверхности. В каждом слое находятся семейства армирующих волокон, расположенных по радиальным, окружным и угловым направлениям. В зависимости от амплитуды приложенной нагрузки возможны несколько схем деформирования пластин в форме линейчатых поверхностей. На основе принципа виртуальной мощности в сочетании с принципом Даламбера для каждой из схем получены уравнения динамического деформирования и проанализированы условия их реализации. Представлены аналитические зависимости для описания механизмов развития пластических шарниров, времени остановки и остаточных прогибов, позволяющие построить простую программную процедуру для решения рассматриваемой сложной проблемы. Получены простые аналитические выражения для оценки предельных нагрузок. Найденная предельная нагрузка соответствует определению несущей способности рассматриваемых пластин по второму предельному состоянию. Приведены примеры численных решений для четырехслойной квадратной пластины с круглым закрепленным отверстием и кольцевой пластины в случае радиального, окружного армирования, углового армирования в форме логарифмических спиралей и “спиц велоколеса”. На основе анализа и численных расчетов показано, что изменения параметров армирования существенно влияют на несущую способность рассматриваемых пластин и на остаточные прогибы. Получено, что в случае кольцевой пластины с шарнирно опертым внутренним отверстием предельная нагрузка совпадает с предельной нагрузкой, вычисленной на основе точного решения с использованием условия пластичности типа Йогансена (Johansen), в форме прямоугольника. Показано, что при одинаковом армировании и равенстве внешнего диаметра кольцевой пластины стороне квадратной пластины кольцевая пластина является более прочной, чем квадратная пластина, с точки зрения максимума предельной нагрузки и минимума остаточных прогибов. Предложенные решения могут быть использованы при проектировании армированных металлокомпозитных криволинейных плоских элементов конструкций с закрепленным круглым отверстием. Количество параметров разработанной математической модели позволяет в широком диапазоне изменять структуру армирования пластин, объемное содержание армирующих волокон, толщину слоев и физические характеристики композита, а также форму внешнего контура и способ крепления внутреннего контура пластины.

About the authors

T P Romanova

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics

References

Statistics

Views

Abstract - 192

PDF (Russian) - 54