Full Text

Решением задач деформации цилиндрических конструкций в температурных и силовых полях ученые всего мира занимаются более 100 лет. Рассматривались в основном одномерные и двумерные задачи (стержни, балки, пластины, тонкие оболочки, осесимметричные задачи теории упругости, бесконечно длинные цилиндры). К середине прошлого века были построены разрешающие уравнения, описывающие деформацию оболочек вращения, а также получены точные решения простейших задач упругости и термоупругости, являющиеся в настоящее время классическими [1-13]. Абсолютное большинство точных решений реализовано в декартовой системе координат, так как уравнения в этой системе наиболее просты. Построено несколько решений осесимметричных краевых задач теории упругости в цилиндрических и сферических координатах [21-32]. Точных решений трехмерных краевых задач теории упругости практически не было. Решены были только уравнения относительно объемной деформации цилиндра и шара [9]. Это было связано с непреодолимыми на тот момент трудностями построения интегрируемых комбинаций разрешающих уравнений как относительно перемещений, так и напряжений. С последней четверти XX века появилось большое количество приближенных решений, в том числе и трехмерных задач, основанных на численных методах. Численные решения позволили существенно увеличить число рассматриваемых областей, в том числе сложных конфигураций. Поскольку при численном решении не важно, в какой системе координат решать краевую задачу, использовалась декартова система координат. Интерес к аналитическим решениям задач появился, когда встал вопрос о достоверности численных решений. Проверка могла быть осуществлена либо экспериментом, что затруднительно по финансовым и иным соображениям, либо сравнением с точными решениями. Для увеличения числа аналитических решений краевых задач появилась необходимость получать решения в иных системах координат. Однако преодолеть трудности решения уравнений и выполнения краевых условий, близких к реальным, удалось не сразу. Привести систему разрешающих уравнений трехмерной теории упругости в цилиндрической и сферической системах координат к отдельным уравнениям относительно каждой искомой функции и проинтегрировать их удалось авторам данной статьи [14-20]. Опубликованных работ по этому направлению нет. Настоящая работа обобщает эти результаты на задачу теомоупругости. Рис.1. Цилиндрический резервуар Fig.1. Cylindrical vessel В цилиндрической системе координат рассматривается несвязанная задача термоупругости для цилиндрического резервуара с жидкостью, причем первая координата отнесена к внешнему радиусу резервуара R, третья - к его высоте H, вторая координата - есть угол поворота вдоль направляющей. Таким образом, исследуемая область , причем , радиус внутренней боковой поверхности. Система разрешающих уравнений задачи термоупругости может быть представлена следующим образом [8]: , , , , (1) . Здесь перемещения вдоль координаты , окружном и вдоль соответственно (рис. 1); объемная деформация; температура тела; температурный коэффициент линейного расширения; модуль упругости и коэффициент Пуассона; плотность жидкости. ; , , . (2) Первое уравнение системы - есть уравнение теплопроводности для несвязанной задачи термоупругости, второе - уравнение относительно объемной деформации, включенное в систему разрешающих уравнений вместо соотношения , (3) используемого в дальнейшем в качестве дополнительного условия для определения значений «лишних» произвольных постоянных, появившихся в решении в результате повышения порядка системы после включения в нее уравнения [14]. Точное решение системы (1) строится в предположении, что температура и перемещения линейны относительно координаты . Этот вариант встречается при исследовании деформации резервуаров, заполненных жидкостью. Периодическое по решение системы (1) ищется в виде , , , (4) . Замечание. Возможны другие варианты решения, когда меняются местами синусы и косинусы, а также комбинация этих решений. После подстановки соотношений (4) в систему уравнений (1) приходим к двум системам уравнений , , (5) и , , (6) , Следует отметить, что последние два уравнения системы (6) получены как сумма и разность четвертого и пятого уравнений из (1). С учетом предположения о линейности перемещений в направлении считаем , , , (7) После подстановки соотношений (7) в уравнения (5) и (6) получаем серию обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате их интегрирования имеем , , , , (8) , . Если после интегрирования определить значения и , то , , , , (9) Здесь постоянные интегрирования, . (10) С учетом соотношений (4), (7) дополнительное условие (3) приводит к тождествам (11) , . Подставляя в первые два из них соотношения (8), получаем откуда следует А с учетом (10) В результате . . Из третьего условия (11) имеем Очевидно, Последнее условие из (11) приводит к Таким образом, получены соотношения, определяющие значения «лишних» постоянных интегрирования , (12) , , . При исследовании деформации резервуара с жидкостью одним из обязательных граничных условий является условие, накладываемое на напряжение . Это напряжение определяется из соотношений Дюгамеля-Неймана и в принятых обозначениях имеет вид . Соотношения (4), (7), позволяют считать Тогда . После подстановки входящих в эти уравнения соотношений с учетом (12) получаем (13) Решаем краевую задачу: цилиндрический резервуар с жидкостью находится в несимметричном температурном поле. Для температурной задачи принимаем следующие краевые условия. Оба торца резервуара и его внутренняя боковая поверхность термоизолированы от внешней среды, то есть . Внешняя боковая поверхность имеет температуру , параметры постоянны. С учетом соотношений (4), (7), (8), (9) имеем Из первого граничного условия Из второго , откуда следует . Тогда , . В итоге , , , , (14) то есть в рассматриваемой краевой задаче , , не равны нулю, остальные - нули. При полученных значениях постоянных интегрирования , следовательно, все краевые условия температурной задачи выполняются. Граничные условия упругой задачи принимаем в следующем виде: , , , , , , (15) , , . Кроме этих условий имеем соотношения , , (16) , , которые с учетом (14) следуют из (12). Из (4), (7) и (13) имеем , , , . В результате из условий (15) получаем , , откуда следует , (17) , . Из и с учетом соотношений (8) имеем систему , откуда . Теперь из второго соотношения (16) получаем , из первого . Из третьего и четвертого имеем . Из и с учетом (8) получаем , , откуда следует , . Из и с учетом (9) имеем систему , откуда следует . После чего из оставшихся соотношений (16) имеем , . Из и с учетом (9) приходим к системе уравнений , откуда следует , . Из и с учетом (16) приходим к системе , откуда следует , или . Из и имеем . Из , , с учетом (9) следует (18) Суммируем первые два уравнения и вычитаем из первого уравнения второе: Ранее было установлено, что , следовательно, , Таким образом, , , , , , , , , , (19) . Из третьего уравнения системы (18) с учетом (19) получаем или то есть одно из уравнений для определения оставшихся постоянных интегрирования . Выполним условие . Подставляя в , используя соотношения (9), получаем С учетом (19) приходим к уравнениям Итак, имеем пару уравнений относительно , (20) . Выполним оставшиеся граничные условия из (15) , , , добавив к ним соотношения из (16). Из (14) имеем , откуда следует . Из указанных граничных условий имеем систему шести однородных уравнений решение которой единственное, следовательно, нулевое: . Таким образом, постоянные интегрирования , определяются из системы (20), значения остальных постоянных интегрирования имеют вид , , , , , , , , , , , , (21) ,…,…,…, , , , , . Теперь , , , , Вычисления проводились для следующих параметров задачи: Оказалось, что перемещения пренебрежимо малы, как и смещение точек наружной боковой поверхности. Перемещения точек внутренней боковой поверхности практически не меняются по высоте и не превышают 0,004 толщины стенки резервуара. Максимальным при указанных параметрах задачи является напряжение и меняется оно только по окружной координате, практически не завися от и . На рис. 2 представлено распределение напряжения по от внутренней до внешней боковых поверхностей резервуара. Рис. 2. Распределение напряжений по координате Fig. 2. The stress distribution on coordinate На рис. 3 показано распределение того же напряжения по окружной координате от до . Рис. 3. Распределение напряжений по координате Fig. 3. The stress distribution on coordinate Остальные напряжения значительно меньше. Без учета влияния температуры качественная картина та же, но максимальные напряжения на 1-2 порядка меньше. Итак, точное решение поставленной краевой задачи построено.

About the authors

N G Gur'jyanov

Kazan (Volga region) Federal University

O N Tyuleneva

Kazan (Volga region) Federal University

References

Statistics

Views

Abstract - 185

PDF (Russian) - 72