Full Text

1. Основные положения Тензоры напряжений и деформаций, характеризующие напряженно-деформированное состояние (НДС) точки тела, можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы [1-3]: , , (1) где - символ Кронекера; , , , , (2) - модули шаровых тензоров и девиаторов соответственно; , , , , (3) - компоненты девиаторов и направляющих тензоров напряжений и деформаций соответственно. При простом пропорциональном нагружении направляющие тензоры напряжений и деформаций и определяющие соотношения теории малых упругопластических деформаций, предложенной в [1], с учетом упругости объемной деформации имеют вид , , , (4) где - модуль объемной упругости; - пластический модуль сдвига; - универсальная единой диаграммы упрочнения материалов Роша и Эйхингера при простом нагружении, определяющая только скалярные свойства материалов для произвольного НДС. При сложном нагружении направляющие тензоры и учет в определяющих соотношениях только скалярных свойств материалов недостаточен. В работах А.А. Ильюшина [2-4] и В.Г. Зубчанинова [11] в линейном совмещенном евклидовом пространстве с ортонормированным неподвижным базисом было использовано представление тензоров и в виде векторов: (5) где , - векторы напряжений и деформаций в одномерном подпространстве объемного растяжения и сжатия с гидростатической осью, характеризуемой единичным вектором ; , - векторы напряжений и деформаций формоизменения в пятимерном девиаторном подпространстве . Координаты векторов связаны с компонентами тензоров и девиаторов взаимно однозначными преобразованиями [2-6] (6) Модули векторов в пятимерном подпространстве равны модулям девиаторов напряжений и деформаций соответственно: , , , . (7) В работе [3] А.А. Ильюшин представил основное соотношение постулата изотропии, которое в дальнейшем в работах [2, 7-9] было дополнено соотношением для отображения влияния векторных свойств материалов. Общие определяющие соотношения теории процессов получены в работах [5, 6]. Они отражают связь между векторами напряжений и деформаций формоизменения с учетом скалярных и векторных свойств материалов. Для случая плоских траекторий без учета Э2-эффекта определяющие соотношения в скалярной форме имеют вид [5, 6] (8) где , - функционалы процесса деформирования, зависящие от параметров сложного нагружения; s - длины дуги траектории деформирования, ее кривизны и углов излома . Угол сближения характеризует направление по отношению к касательной к траектории деформирования в каждой ее точке. Этот угол отражает влияние векторных свойств материала на процесс деформирования. 2. Математическая модель теории процессов в плоских задачах В математической модели в дополнение к определяющим соотношениям (8) используются универсальные аппроксимации функционалов [5] (9) (10) где - универсальная функция нагружения Одквиста-Ильюшина для процессов, близких к простым, без учета их истории; - приращение длины дуги траектории после ее излома в некоторой точке K; - разница в точках излома между значениями универсальной функции Одквиста-Ильюшина и расчетным значением модуля вектора напряжений ; ; индекс «нолик» у пластического модуля сдвига соответствует значению в точке излома траектории; ; (11) - функция, описывающая после излома траектории скалярный нырок напряжений при сложной разгрузке и последующем вторичном пластическом деформировании, и ее производная; ; (12) - функция, учитывающая ориентацию вектора напряжений в процессе деформирования, и ее значение в точке излома при значении угла сближения каждого из участков неаналитической траектории; - материальные параметры материала, для определения которых ниже предложена методика на основе обработки экспериментальных данных для каждого материала. Для аппроксимации универсальной функции упрочнения Одквиста-Ильюшина при простом нагружении использовались выражения [5] (13) Здесь ; - предел текучести при растяжении; - граница участков диаграммы деформирования, разделяющая упругую часть диаграммы и площадку текучести () от участка самоупрочнения материала (); - упругий модуль сдвига; - экспериментально определяемые параметры материала из опытов на простое нагружение по типу «центрального веера» прямолинейных траекторий [5]. При заданных начальных условиях для координат вектора деформаций и начальных значениях угла основные уравнения (8) с конкретизированными функционалами (9), (10) приводятся к задаче Коши, для численного решения которой и определения координат вектора напряжений и угла сближения использовался метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности в программном приложении MathWorks MatLab. Ранее данная математическая модель была использована [10] для описания процессов деформирования только по двузвенным ломаным прямолинейным траекториям. Другие заслуживающие внимания идеи построения определяющих соотношений и проведения базовых экспериментальных исследований представлены в работах [12-30]. 3. Методика определения материальных параметров аппроксимаций Для определения материальных параметров использован базовый опыт траекторий «смещенного веера» для кусочно-ломаной прямолинейной траектории с углом излома на 135 градусов. Общая диаграмма прослеживания процесса деформирования такой траектории в сравнении с универсальной функцией упрочнения Одквиста-Ильюшина представлена на рис. 1. Рис. 1. К определению материальных параметров Fig. 1. To the definition of material parameters Разность между значениями и действительными значениями модуля напряжений на диаграмме при определяется так: (14) В точке минимума нырка напряжений на диаграмме имеем , следовательно, . Из (14) с учетом (11) имеем . (15) В точке при из (14) с учетом (11) получаем . (16) Возьмем отношение , где после преобразований может быть получена функция , откуда находится параметр b, выражаемый через W-функцию Ламберта . (17) Для вычисления параметра при вычисленном значении по (17) предлагается использовать выражение (16), откуда (18) Для вычисления параметра используется значение производной в точке излома траектории при , (19) где из (13) . При в точке K с учетом (12) имеем при упругой разгрузке для получается , откуда Тогда с учетом (18) (20) При найденном значении по (18) и (20) при различных показателях степени может быть найден спектр значений параметров , , выбор которых определяется наилучшим соответствием данным базового эксперимента. 4. Результаты экспериментального исследования и математического моделирования Экспериментальное исследование было выполнено на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ имени А.А. Ильюшина в лаборатории механических испытаний кафедры «Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. В качестве образцов для экспериментальных исследований были использованы тонкостенные цилиндрические оболочки из стали 45 в состоянии поставки, имеющие в рабочей части: длину мм, толщину мм и диаметр срединной поверхности мм. Начальная изотропия материала образцов с достаточной степенью точности была подтверждена в опытах на простое нагружение (растяжение, сжатие и кручение), где после обработки этих диаграмм были приняты следующие значения материальных параметров для стали 3 в аппроксимации (13): , , , , , , . Для оценки достоверности расчетных результатов по предлагаемой математической модели в пространстве деформаций девиаторного подпространства реализована нетривиальная неаналитическая траектория по типу «песочные часы», состоящая из четырех прямолинейных кусочно-ломаных участков (рис. 2). На первом прямолинейном участке реализовывалось пропорциональное кручение по координате до значения ; на втором участке при изломе траектории на угол реализовывалось комбинированное растяжение и кручение до значений ; на третьем участке при изломе траектории на угол при осуществлялось кручение до на четвертом участке при изломе вновь на угол реализовывалось комбинированное сжатие и кручение с приходом в начало координат. На рис. 3 приведен отклик на реализованную траекторию деформирования в виде траектории нагружения в плоскости совмещенного девиаторного подпространства . На рис. 4 приведены результаты расчета и экспериментальные данные для диаграмм прослеживания процессов сложного нагружения , характеризующих скалярные свойства материалов в зависимости от длины дуги сложного деформирования, на рис. 5 - диаграммы для углов сближения , характеризующие векторные свойства материалов. На рис. 6, 7 приведены локальные диаграммы деформирования растяжения-сжатия по компонентам и чистого сдвига по компонентам . На рис. 2-7 цифрами 1, 2, 3, 4 обозначены точки начала соответствующих участков реализованной кусочно-ломаной траектории. Экспериментальные данные на рисунках отмечены точками; модельные расчетные данные отмечены синим цветом. В расчете на всех участках траектории использовались значения материальных параметров, найденные по (17), (18), (20) при показателе степени , которые были равны соответственно: , МПа, . Показатель степени на втором участке принимался равным 4. На последующих участках его значение подбиралось из условия соответствия глубины «нырка напряжений» данным эксперимента и принималось - для третьего участка и - для четвертого. Показатель степени на всех участках принимался . В расчетах также было учтено, что начальное отклонение вектора напряжений не всегда соответствует углу излому траектории . На первом изломе в точке 2 после участка простого нагружения . Перед вторым и третьим изломом вектор напряжений имел отклонение, что учитывалось при численном решении в виде начального условия для участка траектории , где расчетное значение угла сближения в конце предшествующего участка перед изломом траектории. Перед вторым изломом при переходе от второго к третьему участку траектории расчетное значение при этом излом траектории в точке 3 производился в сторону отклонения вектора напряжений, поэтому в расчете принималось Перед третьим изломом (переход от третьего к четвертому участку траектории) расчетное значение а излом траектории в точке 4 производился в сторону, противоположную отклонению вектора напряжений, поэтому здесь Рис. 2. Траектория деформирования на плоскости Fig. 2. Deformation trajectory on the plane Рис. 3. Отклик по напряжениям на плоскости Fig. 3. Response of tension on the plane Рис. 4. Глобальная диаграмма деформирования Fig. 4. General chart of deformation Рис. 5. Диаграмма характеристики векторных свойств материала Fig. 5. Chart that characterize the vector material properties Рис. 6. Локальная диаграмма деформирования Fig. 6. Local chart of deformation Рис. 7. Локальная диаграмма деформирования Fig. 7. Local chart of deformation Как видно, принятые для модели данные достаточно хорошо соответствуют экспериментальным как по скалярным, так и по векторным свойствам. Заключение Сравнение результатов теоретических численных расчетов с результатами экспериментального исследования по заданной сложной многозвенной траектории показало достаточную для практических задач достоверность расчетных данных и точность построенных аппроксимаций функционалов процессов используемой математической модели теории процессов [3-5].

About the authors

V G Zubchaninov

Tver State Technical University

A A Alekseev

Tver State Technical University

V I Gultiaev

Tver State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 325

PDF (Russian) - 169