Full Text

Введение В настоящей работе рассматривается коническая оболочка, подкрепленная дискретным набором шпангоутов. Исследованию гладких оболочек посвящено большее количество работ [2, 6-10, 12, 20-22, 29, 37, 41]. Дискретно подкрепленные оболочки по сравнению с гладкими оболочками представляют собой не только значительно более содержательный, но и значительно более сложный объект исследования. Современный этап развития теории ребристых оболочек начинается с работ [3, 19-22], в которых сформулированы общие принципы теории оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. При этом ребристая оболочка рассматривается как конструкция, состоящая из собственно оболочки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов. Упрощенные методы расчета подкрепленных оболочек, широко применяющиеся в практических разработках, базируются на концепции «размазывания», т.е. замене подкрепленной оболочки некоторой гладкой конструктивно-ортотропной моделью [3, 16-18, 24, 40-41]. Такой подход далеко не всегда дает удовлетворительные результаты [6]. Поэтому развитие и углубление методов расчета таких оболочек идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированного состоянии. Развитие и углубление методов расчета таких оболочек идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированнолго состоянии. Вмеcте с вышеизложенными традиционными постановками известны работы, использующие другие расчетные модели ребристых оболочек. Прежде всего следует сказать о возможности решения задачи путем «склейки» решений для оболочки и набора по участкам. Здесь необходимо отметить, что подобные решения возможны лишь в случаях, когда для каждого из стыкуемых участков можно предварительно получить решение при произвольных граничных условиях по месту соединения гладких оболочек вращения с дискретными шпангоутами, Здесь по окружной координате решение должно удовлетворять лишь условиям периодичности. Указанный подход применим при любых граничных условиях на торцах оболочки, в то время как для оболочки с продольным дискретным набором решение «склейкой» возможно только при классических граничных условиях на торцах. На указанном подходе базируются исследования подкрепленных пластин и оболочек в работах [7, 30, 34-36, 38]. В ряде работ расчет подкрепленных систем с учетом дискретности производится на основе вариационных методов, что позволяет избежать процедуры «склейки». Задача решается в перемещениях. Единая для оболочки и набора деформированная поверхность аппроксимируется двойными или одинарными рядами. В результате задача сводится к бесконечным системам связанных алгебраических или дифференциальных уравнений, решение которых ищется численно, либо в некоторых частных случаях - аналитически, например в работе [14-15, 31]. В некоторых работах дискретность подкрепляющего набора предлагается учитывать, записывая переменную жесткость системы с помощью дельта-функции Дирака [5, 11, 21-26, 28, 30-32, 34-36]. Такой подход также позволяет избежать процедуры «склейки». Задача сводится к уравнениям с коэффициентами, содержащими особенности дельта-функции Общий метод построения решения уравнений с коэффициентами, содержащими особенности типа дельта-функции и их производных, дан в работах [16, 23-24, 28, 30, 32]. Этот метод может быть использован в качестве общей основы исследования всевозможных объектов, сочетающих непрерывные элементы с дискретными. 1. Основная интерпретация задачи. «Единая» оболочка В данной работе представлена математическая модель конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов. Такая оболочка представляет собой дискретно-континуальную систему, сочетающую континуальный элемент - собственно оболочку и дискретные элементы - шпангоуты. Следуя [16, 27, 29, 31], будем рассматривать указанную систему с помощью аппарата обобщенных функций как «единую» оболочку из некоторого неоднородно-ортотропного моментного материала (среда Коссера) т.е. как оболочку переменной жесткости. Пусть - погонные усилия и моменты в конической оболочке, a - составляющие внутренних сил (нормальная и перерезывающая силы и изгибающие и крутящий моменты в поперечном j-го шпангоута в осях подвижного триедра. Введем обобщенные погонные усилия и моменты в «единой» оболочке (рис. 1): (1) Рис. 1. Внутренние силовые факторы Fig. 1. Stress factors Здесь - нормальные, касательные и перерезывающие усилия; - изгибающие и крутящие моменты; - моментное взаимодействие материала; - дельта-функция, сосредоточенная на параллели Криволинейная координата отсчитывается вдоль образующей конической поверхности; - соответствующий коэффициент первой квадратичной формы деформированной поверхности. 2. Криволинейные координаты. Метрика поверхности Рассмотрим прямой круговой конус. Выберем систему декартовых координат (х, y, z) так, чтобы его начало было совмещено с вершиной конуса. Положение точки М срединной поверхности будем фиксировать в координатной сетке, состоящей из линий главных кривизн, т.е. из образующих конической поверхности и семейства параллелей. Пусть - двугранный угол между текущим и некоторым фиксированным меридиальным сечениями оболочки; - некоторый параметр, отсчитываемый в направлении образующей; - расстояние между текущей параллелью и вершиной конуса. Уравнение конической поверхности в параметрической форме (2) где параметры и - криволинейные координаты точки М (рис. 2). Пусть ds произвольно ориентированный малый линейный элемент срединной поверхности, соединяющий точки с криволинейными координатами и Квадрат длины этого элемента (3) где (4) Здесь - угол между координатными линиями. Внося (2) в (4), имеем (5) Рис. 2. Геометрия конической оболочки Fig. 2. Geometry of the conical shell Введем в рассмотрение тангенциальные орты и , ориентированные в направлении возрастания координат и по координатным линиям соответственно, и орт нормали Орты образуют подвижный векторный базис. Производные скалярных, а также векторных функций криволинейных координат по направлению ортов (6) 3. Геометрическая сторона задачи Пусть - радиус-вектор точки М срединной поверхности до деформации, - радиус-вектор точки М после деформации, - вектор упругого смещения той же точки. Очевидно, (7) где i, j, k - орты декартовой системы координат, а x, y, z и x*, y*, z* - соответственно декартовы координаты точки М до и после деформации. Из (7) следует (8) Выражениями (8) представлены параметрические уравнения деформированной поверхности оболочки. Линейный элемент ds* этой поверхности определяется первой квадратичной формой (9) где аналогично (4) (10) Из (8) с учетом (6) имеем (11) Внося (11) в (10) и пренебрегая квадратами малых величин и их произведениями, найдем (12) Пусть через точку M срединной поверхности проходит некоторая кривая, заданная в параметрической форме (13) Представим орт t, направленный по касательной к этой кривой, в виде линейной комбинации (14) Пусть dst - дифференциал дуги кривой (13). Из (3) имеем (15) где Материальный отрезок после деформации будет иметь длину . Согласно (2) (16) Развернем (16) с помощью (12). Пренебрегая квадратами малых величин и их произведениями, с учетом (15) найдем (17) Выражением (17) представлена длина ориентированного в направлении произвольного тангенциального орта материального отрезка. Относительная деформация этого отрезка на основании (17) будет выражена так: . (18) Совмещая орт с направлением и соответственно получим (19) Рассмотрим теперь угловые деформации срединной поверхности оболочки. Пусть через точку M срединной поверхности проходят две кривые: (20) орты которых и Косинус угла между этими ортами (21) где направляющие косинусы определяются выражениями (22) Материальные линии, совпадающие с (20), после деформации займут новое положение. Пусть , - единичные орты этих линий в новом положении. Их направляющие косинусы (23) Пользуясь (8) и (21)-(23), с точностью до бесконечно малых высшего порядка найдем (24) Ввиду малости угловой деформации (25) Теперь, внося (24) в (25), найдем (26) Выражением (26) представлено изменение угла между произвольными направлениями на срединной поверхности. Поскольку координатные линии ортогональны, (27) Рассмотрим компоненты изгибной деформации срединной поверхности. Пусть - радиус-вектор точки эквидистантой поверхности, отстоящей от срединной поверхности на расстояниеотсчитываемое по нормали. Очевидно, . (28) Зададим на срединной поверхности некоторую кривую . Ее радиус-вектор (29) где и - соответственно дуга и единичный орт кривой. Кривой (29) на эквидистантой поверхности соответствует кривая На основании (28)-(29) (30) Дифференцируя (30), получим (31) Из (31) имеем (32) Пусть - радиус-вектор точки после деформации. Имеем , (33) где - вектор упругого смещения точки В соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява (34) где - орт нормали к срединной поверхности после деформации. Приравняв правые части (33) и (34), с учетом (28), (7) найдем (35) Дифференцируя (35), получаем (36) Выражение (36) определяет вектор, направленный по касательной к деформированной t-линии. Пусть - элементарный отрезок дуги -линии до деформации. С учетом (35) (37) После деформации материальный отрезок будет иметь новую длину. С учетом (36) . (38) На основании (37)-(38) относительная деформация элемента -линии будет (39) Умножим выражение (36) скалярно само на себя и, пренебрегая квадратами и произведениями малых величин, найдем (40) Внося (40) в (39), получим (41) Выражение (41) носит общий характер. Совмещая ортс любым направлением в срединной поверхности, легко получить выражения для линейной деформации эквидистантной поверхности. С учетом (32) найдем (42) Рассмотрим угловые деформации в эквидистантной поверхности. Пусть через точку срединной поверхности проходят две кривые (43) На эквидистантной поверхности им соответствуют кривые (44) Дифференцируя (43), имеем (45) где и - соответственно дуги и орты кривых (43). Дифференцируя (44), с учетом (30), (45) найдем (46) Выражением (46) представлены векторы, направленные по касательным к недеформированным t-линиям. Соответствующие им единичные векторы (47) После деформации t-линии лежат на поверхности (33). Дифференцируя (33), имеем (48) Выражения (48) определяют векторы, направленные по касательным к деформированным t-линиям. Соответствующие им единичные векторы (49) Косинусы углов между t-линиями до и после деформации определяются как (50) Для малых угловых деформаций (51) вследствие чего (52) Теперь, развертывая (50) с помощью (34) и (48) и внося результат в (52), нетрудно получить выражение для угловой деформации. Совместим с, а с. Тогда из (30) (53) На основании (53) из (52) следует, что (54) где - орты и линий после деформаций. Развертывая выражение (54) с помощью (30) и (48) с точностью до бесконечно малых второго порядка, находим (55) Таким образом, формулами (42) и (55) представлены линейные и угловые деформации эквидистантной поверхности в осях подвижного векторного базиса. При эти выражения совпадают с соответствующими выражениями для деформации срединной поверхности. Для рассматриваемых оболочек , поэтому, положив будем в дальнейшем исходить из выражений (56) Выражения (56) могут быть представлены в виде (57) где (58) Величины представляют собой компоненты изгибной деформации срединной поверхности; определяет кручение срединной поверхности. Разворачивая выражения (56) и (57), получим известные формулы [2]: (59) 4. Статическая сторона задачи Выделим сечениями и элемент оболочки. Пусть - вектор равнодействующей, а - вектор момента относительно точки всех сил, приложенных к элементу. С точностью до бесконечно малых высших порядков вектор может быть представлен в виде (60) где - вектор интенсивности поверхностной нагрузки, отнесенной к площади срединной поверхности, а - векторы обобщенных погонных усилий (1), приложенных к контуру выделенного элемента (см. рис. 1), причем на площадках с «положительными» внешними нормалями, (61) где в соответствии с (1) (62) Вектор с точностью до бесконечно малых высших порядков может быть представлен в виде (63) где и - погонные векторы обобщенных изгибающего и крутящего моментов (I.I), приложенных к контуру элемента (см. рис. 1), причем на площадках с «положительными» внешними нормалями: (64) где в соответствии с (1) (65) Из условий равновесия выделенного элемента следует (66) В развернутой форме уравнения (66) принимают вид (67) где - составляющие вектора интенсивности внешней поверхностной нагрузки в осях подвижного ортогонального триедра Пользуясь (19), (27) (58), нетрудно установить следующие соотношения: (68) На основании (67) уравнения равновесия запишем в обычной форме: (69) Уравнения (69) представляют собой полные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия деформированного элемента конической оболочки в квадратичном приближении. Из этих уравнений, отбрасывая некоторые второстепенные члены, нетрудно получить различные варианты уравнений, известные в литературе [2, 3, 6, 8, 13, 27, 39]. 5. Физическая сторона задачи 5.1. Соотношение упругости оболочки Соотношения упругости для гладкой конической оболочки из однородного изотропного материала (70) 5.2. Соотношения упругости шпангоута Будем считать, что в общем случае шпангоут расположен относительно срединной поверхности произвольно и главные оси инерции его поперечного сечения ориентированы также произвольно (рис. 3). Контакт шпангоута с оболочкой осуществляется по линии. Будем считать, что каждое поперечное сечение шпангоута в отдельности перемещается в пространстве как абсолютно твердое тело. Пусть - радиус-вектор произвольной Рис. 3. Поперечное сечение шпангоута Fig. 3. Cross-section of the frame точки, жестко связанной с поперечным сечением шпангоута, отсчитываемой от точки 0 (см. рис. 3), принятой в качестве полюса. В этом случае перемещение этой точки (71) где - вектор малого вращения поперечного сечения j-го шпангоута. При построении соотношений упругости для шпангоута будем считать, что его поперечное сечение жестко связано с жесткой нормалью оболочки, проходящей через точку 0' (см. рис. 3). Другими словами, для шпангоута и оболочки принимается единая гипотеза Кирхгофа-Лява-Клебша. В силу этой гипотезы в представлении (71) следует положить (72) где - координата параллели, соответствующей линии контакта j-го шпангоута с оболочкой. Вектор-функцию также можно выразить через вектор-функцию смещения оболочки. Пусть - положение радиуса-вектора r после деформации. На основании (71), (72) и элементарных соображений имеем соотношение . Совместив радиус-вектор r поочередно ортами , из полученного соотношения найдем Скалярно помножив эти соотношения поочередно на окончательно имеем на основании чего , (73) что и требовалось. Пусть - произвольная точка поперечного сечения шпангоута с координатами , отсчитываемыми в направлении ортов от точки 0 (см. рис. 3). Радиус-вектор этой точки На основании (71)-(73) вектор упругого смещения этой точки (74) Скалярно помножив полученное выражение поочередно на n1, n2, n3, после несложных преобразований с учетом (6) получим составляющие вектора упругого смещения шпангоута в скалярной форме: Рассмотрим теперь деформации и внутренние усилия в шпангоуте. Переходя к центральным осям поперечного сечения шпангоута, имеем (75) где - эксцентриситеты центра тяжести поперечного сечения шпангоута (см. рис. 3). Линейная деформация окружных волокон шпангоута (76) где . Считая размеры поперечного сечения малыми по сравнению с радиусом оболочки, приближенно примем (77) где - радиус поперечного круга линии контакта. Нормальное напряжение в поперечном сечении шпангоута (78) поэтому для нормального усилия и изгибающих моментов в поперечном сечении шпангоута, отсчитываемых относительно осей подвижного триедра, ориентированного в точке 0 (см. рис. 3), имеем (79) Разворачивая (79) с помощью (76), (78), мы будем пользоваться оценкой , где - величина порядка геометрических параметров поперечного сечения шпангоута, включая эксцентриситеты. Получим (80) (81) (82) где - осевые и центробежные моменты инерции поперечного сечения j-го шпангоута относительно осей: где - моменты инерции относительно центральных осей( в общем случае оси не являются главными). Крутящий момент в поперечном сечении шпангоута (83) где - жесткость и деформация шпангоута при кручении; - эксцентриситеты центра жесткости поперечного сечения шпангоута (см. рис. 3). Найдем деформацию кручения шпангоута: Внося в формулу для выражение (72), после элементарных преобразований найдем (84) где - определяются согласно (59).

About the authors

A A Dudchenko

Moscow Aviation Institute (National Research University)

V N Sergeev

Moscow Aviation Institute (National Research University)

References

Statistics

Views

Abstract - 219

PDF (Russian) - 76