# Abstract

Studying the stress state of stiffened thin shells is one of important issues of solid mechanics. The simplified methods of computing the stiffened shells based on the models that use the concept of "smoothing” do not always give satisfactory results. Therefore, it is relevant to develop and investigate the computational methods for such shells; and it is in line with considering the discreteness of the position of the stiffening set of frames and identifying the characteristics of stress-strain states that are generated by them. In order to take into account the discreteness of the location of the set of frames in case of a fully operating skin, we "joint" the solutions for the shell and the set of frames, as well as used the variational and finite element methods. A number of works have recently appeared where authors suggest considering the discreteness of the stiffen set by recording the variable stiffness of the system using the Dirac delta function. The problem is reduced to equations with singular coefficients. The conical shell which is stiffened with a discrete set of frames is a discretecontinuous system which combines the continual element, i.e. - the shell itself and discrete components, i.e. -frames. This system is considered by means of generalized functions as an "integrated" shell of a non-homogeneous orthotropic generalized material, i.e. as a shell with a variable stiffness. The paper presents the mathematical model of the deformation of the stiffened conical shell. The derivation of the nonlinear equilibrium equations of the shell are supported by a discrete set of frames using vector analysis. Also the geometrical aspect of the problem is considered here. When considering the physical aspects, we provide the elasticity equations for the shell and obtain the equations of the frame elasticity.

# Full Text

Введение В настоящей работе рассматривается коническая оболочка, подкрепленная дискретным набором шпангоутов. Исследованию гладких оболочек посвящено большее количество работ [2, 6-10, 12, 20-22, 29, 37, 41]. Дискретно подкрепленные оболочки по сравнению с гладкими оболочками представляют собой не только значительно более содержательный, но и значительно более сложный объект исследования. Современный этап развития теории ребристых оболочек начинается с работ [3, 19-22], в которых сформулированы общие принципы теории оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. При этом ребристая оболочка рассматривается как конструкция, состоящая из собственно оболочки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов. Упрощенные методы расчета подкрепленных оболочек, широко применяющиеся в практических разработках, базируются на концепции «размазывания», т.е. замене подкрепленной оболочки некоторой гладкой конструктивно-ортотропной моделью [3, 16-18, 24, 40-41]. Такой подход далеко не всегда дает удовлетворительные результаты [6]. Поэтому развитие и углубление методов расчета таких оболочек идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированного состоянии. Развитие и углубление методов расчета таких оболочек идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированнолго состоянии. Вмеcте с вышеизложенными традиционными постановками известны работы, использующие другие расчетные модели ребристых оболочек. Прежде всего следует сказать о возможности решения задачи путем «склейки» решений для оболочки и набора по участкам. Здесь необходимо отметить, что подобные решения возможны лишь в случаях, когда для каждого из стыкуемых участков можно предварительно получить решение при произвольных граничных условиях по месту соединения гладких оболочек вращения с дискретными шпангоутами, Здесь по окружной координате решение должно удовлетворять лишь условиям периодичности. Указанный подход применим при любых граничных условиях на торцах оболочки, в то время как для оболочки с продольным дискретным набором решение «склейкой» возможно только при классических граничных условиях на торцах. На указанном подходе базируются исследования подкрепленных пластин и оболочек в работах [7, 30, 34-36, 38]. В ряде работ расчет подкрепленных систем с учетом дискретности производится на основе вариационных методов, что позволяет избежать процедуры «склейки». Задача решается в перемещениях. Единая для оболочки и набора деформированная поверхность аппроксимируется двойными или одинарными рядами. В результате задача сводится к бесконечным системам связанных алгебраических или дифференциальных уравнений, решение которых ищется численно, либо в некоторых частных случаях - аналитически, например в работе [14-15, 31]. В некоторых работах дискретность подкрепляющего набора предлагается учитывать, записывая переменную жесткость системы с помощью дельта-функции Дирака [5, 11, 21-26, 28, 30-32, 34-36]. Такой подход также позволяет избежать процедуры «склейки». Задача сводится к уравнениям с коэффициентами, содержащими особенности дельта-функции Общий метод построения решения уравнений с коэффициентами, содержащими особенности типа дельта-функции и их производных, дан в работах [16, 23-24, 28, 30, 32]. Этот метод может быть использован в качестве общей основы исследования всевозможных объектов, сочетающих непрерывные элементы с дискретными. 1. Основная интерпретация задачи. «Единая» оболочка В данной работе представлена математическая модель конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов. Такая оболочка представляет собой дискретно-континуальную систему, сочетающую континуальный элемент - собственно оболочку и дискретные элементы - шпангоуты. Следуя [16, 27, 29, 31], будем рассматривать указанную систему с помощью аппарата обобщенных функций как «единую» оболочку из некоторого неоднородно-ортотропного моментного материала (среда Коссера) т.е. как оболочку переменной жесткости. Пусть - погонные усилия и моменты в конической оболочке, a - составляющие внутренних сил (нормальная и перерезывающая силы и изгибающие и крутящий моменты в поперечном j-го шпангоута в осях подвижного триедра. Введем обобщенные погонные усилия и моменты в «единой» оболочке (рис. 1): (1) Рис. 1. Внутренние силовые факторы Fig. 1. Stress factors Здесь - нормальные, касательные и перерезывающие усилия; - изгибающие и крутящие моменты; - моментное взаимодействие материала; - дельта-функция, сосредоточенная на параллели Криволинейная координата отсчитывается вдоль образующей конической поверхности; - соответствующий коэффициент первой квадратичной формы деформированной поверхности. 2. Криволинейные координаты. Метрика поверхности Рассмотрим прямой круговой конус. Выберем систему декартовых координат (х, y, z) так, чтобы его начало было совмещено с вершиной конуса. Положение точки М срединной поверхности будем фиксировать в координатной сетке, состоящей из линий главных кривизн, т.е. из образующих конической поверхности и семейства параллелей. Пусть - двугранный угол между текущим и некоторым фиксированным меридиальным сечениями оболочки; - некоторый параметр, отсчитываемый в направлении образующей; - расстояние между текущей параллелью и вершиной конуса. Уравнение конической поверхности в параметрической форме (2) где параметры и - криволинейные координаты точки М (рис. 2). Пусть ds произвольно ориентированный малый линейный элемент срединной поверхности, соединяющий точки с криволинейными координатами и Квадрат длины этого элемента (3) где (4) Здесь - угол между координатными линиями. Внося (2) в (4), имеем (5) Рис. 2. Геометрия конической оболочки Fig. 2. Geometry of the conical shell Введем в рассмотрение тангенциальные орты и , ориентированные в направлении возрастания координат и по координатным линиям соответственно, и орт нормали Орты образуют подвижный векторный базис. Производные скалярных, а также векторных функций криволинейных координат по направлению ортов (6) 3. Геометрическая сторона задачи Пусть - радиус-вектор точки М срединной поверхности до деформации, - радиус-вектор точки М после деформации, - вектор упругого смещения той же точки. Очевидно, (7) где i, j, k - орты декартовой системы координат, а x, y, z и x*, y*, z* - соответственно декартовы координаты точки М до и после деформации. Из (7) следует (8) Выражениями (8) представлены параметрические уравнения деформированной поверхности оболочки. Линейный элемент ds* этой поверхности определяется первой квадратичной формой (9) где аналогично (4) (10) Из (8) с учетом (6) имеем (11) Внося (11) в (10) и пренебрегая квадратами малых величин и их произведениями, найдем (12) Пусть через точку M срединной поверхности проходит некоторая кривая, заданная в параметрической форме (13) Представим орт t, направленный по касательной к этой кривой, в виде линейной комбинации (14) Пусть dst - дифференциал дуги кривой (13). Из (3) имеем (15) где Материальный отрезок после деформации будет иметь длину . Согласно (2) (16) Развернем (16) с помощью (12). Пренебрегая квадратами малых величин и их произведениями, с учетом (15) найдем (17) Выражением (17) представлена длина ориентированного в направлении произвольного тангенциального орта материального отрезка. Относительная деформация этого отрезка на основании (17) будет выражена так: . (18) Совмещая орт с направлением и соответственно получим (19) Рассмотрим теперь угловые деформации срединной поверхности оболочки. Пусть через точку M срединной поверхности проходят две кривые: (20) орты которых и Косинус угла между этими ортами (21) где направляющие косинусы определяются выражениями (22) Материальные линии, совпадающие с (20), после деформации займут новое положение. Пусть , - единичные орты этих линий в новом положении. Их направляющие косинусы (23) Пользуясь (8) и (21)-(23), с точностью до бесконечно малых высшего порядка найдем (24) Ввиду малости угловой деформации (25) Теперь, внося (24) в (25), найдем (26) Выражением (26) представлено изменение угла между произвольными направлениями на срединной поверхности. Поскольку координатные линии ортогональны, (27) Рассмотрим компоненты изгибной деформации срединной поверхности. Пусть - радиус-вектор точки эквидистантой поверхности, отстоящей от срединной поверхности на расстояниеотсчитываемое по нормали. Очевидно, . (28) Зададим на срединной поверхности некоторую кривую . Ее радиус-вектор (29) где и - соответственно дуга и единичный орт кривой. Кривой (29) на эквидистантой поверхности соответствует кривая На основании (28)-(29) (30) Дифференцируя (30), получим (31) Из (31) имеем (32) Пусть - радиус-вектор точки после деформации. Имеем , (33) где - вектор упругого смещения точки В соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява (34) где - орт нормали к срединной поверхности после деформации. Приравняв правые части (33) и (34), с учетом (28), (7) найдем (35) Дифференцируя (35), получаем (36) Выражение (36) определяет вектор, направленный по касательной к деформированной t-линии. Пусть - элементарный отрезок дуги -линии до деформации. С учетом (35) (37) После деформации материальный отрезок будет иметь новую длину. С учетом (36) . (38) На основании (37)-(38) относительная деформация элемента -линии будет (39) Умножим выражение (36) скалярно само на себя и, пренебрегая квадратами и произведениями малых величин, найдем (40) Внося (40) в (39), получим (41) Выражение (41) носит общий характер. Совмещая ортс любым направлением в срединной поверхности, легко получить выражения для линейной деформации эквидистантной поверхности. С учетом (32) найдем (42) Рассмотрим угловые деформации в эквидистантной поверхности. Пусть через точку срединной поверхности проходят две кривые (43) На эквидистантной поверхности им соответствуют кривые (44) Дифференцируя (43), имеем (45) где и - соответственно дуги и орты кривых (43). Дифференцируя (44), с учетом (30), (45) найдем (46) Выражением (46) представлены векторы, направленные по касательным к недеформированным t-линиям. Соответствующие им единичные векторы (47) После деформации t-линии лежат на поверхности (33). Дифференцируя (33), имеем (48) Выражения (48) определяют векторы, направленные по касательным к деформированным t-линиям. Соответствующие им единичные векторы (49) Косинусы углов между t-линиями до и после деформации определяются как (50) Для малых угловых деформаций (51) вследствие чего (52) Теперь, развертывая (50) с помощью (34) и (48) и внося результат в (52), нетрудно получить выражение для угловой деформации. Совместим с, а с. Тогда из (30) (53) На основании (53) из (52) следует, что (54) где - орты и линий после деформаций. Развертывая выражение (54) с помощью (30) и (48) с точностью до бесконечно малых второго порядка, находим (55) Таким образом, формулами (42) и (55) представлены линейные и угловые деформации эквидистантной поверхности в осях подвижного векторного базиса. При эти выражения совпадают с соответствующими выражениями для деформации срединной поверхности. Для рассматриваемых оболочек , поэтому, положив будем в дальнейшем исходить из выражений (56) Выражения (56) могут быть представлены в виде (57) где (58) Величины представляют собой компоненты изгибной деформации срединной поверхности; определяет кручение срединной поверхности. Разворачивая выражения (56) и (57), получим известные формулы [2]: (59) 4. Статическая сторона задачи Выделим сечениями и элемент оболочки. Пусть - вектор равнодействующей, а - вектор момента относительно точки всех сил, приложенных к элементу. С точностью до бесконечно малых высших порядков вектор может быть представлен в виде (60) где - вектор интенсивности поверхностной нагрузки, отнесенной к площади срединной поверхности, а - векторы обобщенных погонных усилий (1), приложенных к контуру выделенного элемента (см. рис. 1), причем на площадках с «положительными» внешними нормалями, (61) где в соответствии с (1) (62) Вектор с точностью до бесконечно малых высших порядков может быть представлен в виде (63) где и - погонные векторы обобщенных изгибающего и крутящего моментов (I.I), приложенных к контуру элемента (см. рис. 1), причем на площадках с «положительными» внешними нормалями: (64) где в соответствии с (1) (65) Из условий равновесия выделенного элемента следует (66) В развернутой форме уравнения (66) принимают вид (67) где - составляющие вектора интенсивности внешней поверхностной нагрузки в осях подвижного ортогонального триедра Пользуясь (19), (27) (58), нетрудно установить следующие соотношения: (68) На основании (67) уравнения равновесия запишем в обычной форме: (69) Уравнения (69) представляют собой полные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия деформированного элемента конической оболочки в квадратичном приближении. Из этих уравнений, отбрасывая некоторые второстепенные члены, нетрудно получить различные варианты уравнений, известные в литературе [2, 3, 6, 8, 13, 27, 39]. 5. Физическая сторона задачи 5.1. Соотношение упругости оболочки Соотношения упругости для гладкой конической оболочки из однородного изотропного материала (70) 5.2. Соотношения упругости шпангоута Будем считать, что в общем случае шпангоут расположен относительно срединной поверхности произвольно и главные оси инерции его поперечного сечения ориентированы также произвольно (рис. 3). Контакт шпангоута с оболочкой осуществляется по линии. Будем считать, что каждое поперечное сечение шпангоута в отдельности перемещается в пространстве как абсолютно твердое тело. Пусть - радиус-вектор произвольной Рис. 3. Поперечное сечение шпангоута Fig. 3. Cross-section of the frame точки, жестко связанной с поперечным сечением шпангоута, отсчитываемой от точки 0 (см. рис. 3), принятой в качестве полюса. В этом случае перемещение этой точки (71) где - вектор малого вращения поперечного сечения j-го шпангоута. При построении соотношений упругости для шпангоута будем считать, что его поперечное сечение жестко связано с жесткой нормалью оболочки, проходящей через точку 0' (см. рис. 3). Другими словами, для шпангоута и оболочки принимается единая гипотеза Кирхгофа-Лява-Клебша. В силу этой гипотезы в представлении (71) следует положить (72) где - координата параллели, соответствующей линии контакта j-го шпангоута с оболочкой. Вектор-функцию также можно выразить через вектор-функцию смещения оболочки. Пусть - положение радиуса-вектора r после деформации. На основании (71), (72) и элементарных соображений имеем соотношение . Совместив радиус-вектор r поочередно ортами , из полученного соотношения найдем Скалярно помножив эти соотношения поочередно на окончательно имеем на основании чего , (73) что и требовалось. Пусть - произвольная точка поперечного сечения шпангоута с координатами , отсчитываемыми в направлении ортов от точки 0 (см. рис. 3). Радиус-вектор этой точки На основании (71)-(73) вектор упругого смещения этой точки (74) Скалярно помножив полученное выражение поочередно на n1, n2, n3, после несложных преобразований с учетом (6) получим составляющие вектора упругого смещения шпангоута в скалярной форме: Рассмотрим теперь деформации и внутренние усилия в шпангоуте. Переходя к центральным осям поперечного сечения шпангоута, имеем (75) где - эксцентриситеты центра тяжести поперечного сечения шпангоута (см. рис. 3). Линейная деформация окружных волокон шпангоута (76) где . Считая размеры поперечного сечения малыми по сравнению с радиусом оболочки, приближенно примем (77) где - радиус поперечного круга линии контакта. Нормальное напряжение в поперечном сечении шпангоута (78) поэтому для нормального усилия и изгибающих моментов в поперечном сечении шпангоута, отсчитываемых относительно осей подвижного триедра, ориентированного в точке 0 (см. рис. 3), имеем (79) Разворачивая (79) с помощью (76), (78), мы будем пользоваться оценкой , где - величина порядка геометрических параметров поперечного сечения шпангоута, включая эксцентриситеты. Получим (80) (81) (82) где - осевые и центробежные моменты инерции поперечного сечения j-го шпангоута относительно осей: где - моменты инерции относительно центральных осей( в общем случае оси не являются главными). Крутящий момент в поперечном сечении шпангоута (83) где - жесткость и деформация шпангоута при кручении; - эксцентриситеты центра жесткости поперечного сечения шпангоута (см. рис. 3). Найдем деформацию кручения шпангоута: Внося в формулу для выражение (72), после элементарных преобразований найдем (84) где - определяются согласно (59).

### A A Dudchenko

Moscow Aviation Institute (National Research University)

### V N Sergeev

Moscow Aviation Institute (National Research University)

# References

1. Андрианов И. В., Данишевский В. В. Упрощенные уравнения нелинейной динамики круговых цилиндрических оболочек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. - 2011. - № 1. - С. 17-21.
2. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.
3. Булатов, С.Н. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек сложной геометрии // Актуальные проблемы механики оболочек: тр. междунар. конф. - Казань, 1998. - С. 19-23.
4. Ванько В. И Цилиндрическая оболочка под внешним давлением: неклассическое решение задачи о больших перемещениях // Вестн. Нижегород. ун-та им. Лобачевского. - 2011. - № 4. - Ч. 4. - С. 1413-1414.
5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
6. Власов В.З. Избранные труды. Общая теория оболочек (Т. 1). - М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1962. - 528 с.
7. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Решение контактных задач на основе уточненной теории пластин и оболочек // ПМТФ. - 2008. - Т.49, № 5. - С. 169-176.
8. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - 432 с.
9. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. - М.: Наука, 1989. - 376 с.
10. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. Основания нелинейной теории оболочек. - Казань.: Изд-во Акад. наук Татарстана «Фэн», 1996. - 215 с.
11. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.
12. Гольденвейзер А.Л. Теории тонких упругих оболочек. - М.: Наука, 1976. - 512 с.
13. Даревский В.М. Нелинейные уравнения теории оболочек и их линеаризация в задачах устойчивости // Тр. VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. - М., 1966. - С. 355-368.
14. Дудченко А.А. Прочность и проектирование авиационных конструкций из композицонного материала. - М.: Изд-во МАИ, 2007, - 199 с.
15. Дудченко А.А., Елпатъевский А.Н. Прочность композитных подкрепленных панелей, нагруженных в своей плоскости // Механика композитных материалов. - 1993. - Т. 29, № 1. - С. 84-92.
16. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. - № 4. - С. 150-162.
17. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: тр. ЦКТИ. - 1968. - Вып. 88. - С. 46-70.
18. Жилин П.А. К анализу краевых задач для ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: тр. ЦКТИ. - 1966. - № 72. - С. 26-40.
19. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. Ч. 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. - М.: Физматгиз, 2010. - 288 с.
20. Карпов В.В., Семенов А.А. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения // Инженерно-строительный журнал. - 2013. - № 5. - С. 100-106.
21. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчету строительных конструкций. - СПб., 2009. - 74 с.
22. Карпов В.В. Метод вариационных предельных преобразований в теории оболочек, имеющих нерегулярности // Вестн. гражданских инженеров. - 2005. - № 4(5). - С. 37-42.
23. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике / под ред. Б.Е. Победри. - М.: Мир, 1978. - 518 с.
24. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. - Киев: Наук. думка, 1974. - 192 с.
25. Климанов В.И, Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / УНЦ АН СССР. - Свердловск, 1985. - 291 с.
26. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. - 196 с.
27. Муштари Х.М., Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. - Казань, 1975. - 326 с.
28. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Расчет пространственных конструкций. - 1962. - Вып. 8. - С. 207-245.
29. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - JL: Судпромиздат, 1962. - 431 с.
30. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. - М.: Машиностроение, 1973. - 660 с.
31. Овчаров А.А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 3. - C. 63-71.
32. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных // ДАН СССР. - 1970. - Т. 1, № 5. - С. 997-1000.
33. Рейсснер Э.Э. Линейная и нелинейная теория оболочек. Тонкостенные оболочечные конструкции. - М.: Машиностроение, 1980. - С. 55-69.
34. Семенов А.А., Овчаров А.А. Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек // Инженерный вестник Дона. - 2014. - Т. 29. - Вып. 2. - С. 74-77.
35. Семенов А.А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных ортотропных оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. - № 1. - С. 49-63.
36. Общая нелинейная теория упругих оболочек / Черных К.Ф. [и др.]. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. - 388 с.
37. Chrobot B. Mathematical models of ribbed Shells // Studia Geotechnica et Nechanica. - 1982. - Vol. IV. - No. 3-4. - P. 55-68.
38. Reissner E. Linear and Nonlinear Theory of Shells // Thin-shell structures: theory, experimenyand Design, Prentice - Hall inc., 1974. - P. 29-44.
39. Swaddiwudhipohg S., Tian J., Wang C.M. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method // Thin walled structures. - 1999. - Vol. 35. - P. 1-24.
40. Yang. B., Zhou J. Analysis of ring-stiffened cylindrical shells // Journal of Applied Mechanics. - 1995. - Vol. 62. - Р. 1005-1014.

# Statistics

#### Views

Abstract - 237

PDF (Russian) - 80

#### PlumX

Copyright (c) 2017 Dudchenko A.A., Sergeev V.N.