Full Text

Введение Формулировка условий старта трещины при динамическом нагружении - сложная проблема, до сих пор окончательно не решенная [1-3]. Хотя предлагаемые теории различны (см., например, работы [4-6]), все они включают в себя как составную часть зависимость коэффициента интенсивности напряжений (КИН) от времени. Ниже везде речь идет только о трещинах нормального разрыва, и поэтому под КИН понимается величина . Определение функции , где - время, представляет собой самостоятельную задачу, аналитическое решение которой возможно только для бесконечных областей [1-3]. Существующие численные методы (см. обзоры [7-10]) обладают теми или иными недостатками, поэтому разработка новых эффективных методов расчета представляет интерес. По-видимому, наиболее перспективным направлением вычислительной динамики разрушения является создание методов, основанных на модели когезионной трещины, кромки которой притягиваются друг к другу силами сцепления [11]. Главное достоинство этих методов - алгоритмическая простота, позволяющая решать ими сложные задачи. Первый такой метод был предложен в работе [12] и применен к исследованию ветвления трещин. Дальнейшее развитие - это, как правило, объединение подхода работы [12] с тем или иным вариантом метода конечных элементов, а также использование различных конституционных соотношений для сил сцепления (см., например, работы [11, 13-16]). Для того чтобы вычислять КИН, используя модель когезионной трещины, необходимо, чтобы распределение сил сцепления подчинялось постулатам Баренблатта [17, 18, 2]. Большинство методов, в том числе и упомянутые выше, этому требованию не удовлетворяет. Одним из исключений является метод, изложенный в работе [19] и предназначенный для решения квазистатических задач. Его обобщение на динамические задачи неизвестно и, по-видимому, невозможно, так как в нем существенным этапом является вычисление -интеграла, а последний перестает быть инвариантным при необходимости учитывать инерционные силы. Есть и другой метод, который также был применен ранее для решения квазистатических задач [20]. Этот метод допускает обобщение на динамические задачи. Оно представлено ниже. В нем, по сравнению с работой [20], учтены силы инерции и зависимость всех полевых величин от времени. Некоторые аспекты получившегося метода решения динамических задач приведены в статье [21]. Он представляет собой модификацию метода прямых (метода Роте) [22-24]. С использованием конечно-разностной дискретизации по времени решение задачи сводится к совокупности последовательно решаемых краевых задач теории упругости. Выбор конечно-разностной схемы интегрирования по времени неоднозначен: возможно применение любой надежной схемы, как явной, так и неявной. В настоящей работе использована широко применяемая, в том числе и совместно с методом конечных элементов, неявная схема Кранка-Николсон [25]. Для решения краевых задач используется метод конечных элементов [25]. Проблема согласования распределения сил сцепления с постулатами Баренблатта решается с помощью включения в конечно-элементную сетку специальных когезионных элементов [20]. Оценка эффективности численного метода основывается на решении тестовых задач. Обычно эти задачи имеют аналитическое решение. Но в механике разрушения таких задач для конечных областей нет, и поэтому тестовые задачи приходится выбирать из задач, решаемых численно. И если подходящих статических задач можно найти немало [26], то для случая внезапно прикладываемой нагрузки - только одну. Это задача о полосе с неподвижной центральной трещиной; к основаниям полосы мгновенно прикладывается равномерно распределенная нагрузка, остающаяся далее неизменной. Впервые эту задачу решил Чен [27]; она была предметом ряда последующих исследований ([1, 28-33] и др.). В работе [30] эта задача названа задачей Чена, и это название закрепилось в более поздних публикациях. Считать задачу Чена тестовой позволяет то, что авторы упомянутых исследований получили близкие результаты, причем они применяли различные методы. Так, в работах [27, 30] использовался метод конечных разностей для интегрирования и по времени, и по пространственным координатам с применением явной трехслойной схемы. В работах [1, 28] для интегрирования по пространству использовался метод конечных элементов, причем в работе [1] для моделирования особенности поля напряжений в кончике трещины применялись специальные сингулярные конечные элементы. В результате получалась система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая интегрировалась численно по явной трехслойной схеме Ньюмарка. В работах [29, 31-33] применялся метод граничных элементов. В работе [29] для моделирования особенности поля напряжений использовались сингулярные граничные элементы; были найдены зависящие от времени функции Грина, благодаря чему интегрирование по времени свелось к вычислению определенных интегралов. В работах [31, 32] применялось преобразование Лапласа по времени, а в работе [33] - преобразование Фурье. 1. Постановка задачи Рассматриваются малые деформации изотропного однородного линейно-упругого тела. Тело содержит трещину, длина которой неизменна; форма тела и распределение нагрузок таковы, что эта трещина является трещиной нормального отрыва, то есть где , , - коэффициенты интенсивности напряжений [1]. Пусть рассматриваемое тело - полоса, находящаяся в состоянии плоской деформации. Поперечное сечение полосы изображено на рис. 1. В начальный момент времени к двум противоположным сторонам прямоугольника, параллельным трещине, мгновенно прикладывается равномерно распределенная нагрузка величиной , далее остающаяся неизменной. Ставится задача определить зависимость . Рис. 1. Поперечное сечение полосы - прямоугольник с симметрично расположенной прямолинейной центральной трещиной Fig. 1. The cross-section of the strip. This is the rectangle with a symmetrical rectilinear central crack Задача имеет две оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника. Поэтому расчетная схема - это четверть сечения, вырезанная осями симметрии (рис. 2). Рис. 2. Расчетная схема задачи Чена Fig. 2. The design model of Chen’s problem Граничные условия задачи определяются условиями нагружения и условиями симметрии. Пусть - вектор перемещений в декартовой системе координат (см. рис. 2); - внешняя распределенная нагрузка; . Граничные условия записываются следующим образом. На участке контура : , - условия симметрии; на участке : , ; на участке : , ; на участке : , - условия симметрии; на участке (кромка трещины): , . Деформирование полосы определяется следующими соотношениями [1, 2]: (1) где - тензор деформаций; - символ Кронекера; - средняя деформация, - объемный модуль и модуль сдвига; - тензор напряжений; - плотность материала. В начальный момент времени () полоса покоится. 2. Метод решения задачи Численное решение задачи получается на основе принципа возможных перемещений (2) где - площадь области (см. рис. 1); - ее граничный контур; - символ вариации; - поле скоростей. В соответствии с методом прямых [22-24] перейдем в уравнении (2) к конечно-разностному представлению, используя неявную схему Кранка-Николсон [25]. Пусть - величина шага интегрирования по времени, - номер шага. Конечно-разностное представление производной по времени на п-м шаге имеет вид где - значения на границах -го временного интеграла (шага). Величины, не содержащие производных по времени, представляются на п-м шаге интегрирования по времени в виде С учетом этих формул конечно-разностное представление уравнения (2) записывается в виде (3) Величины с индексами известны из решения для предыдущего шага. Из системы (3) определяются величины с индексами . Выразим из второго уравнения системы (3) величину и подставим в первое уравнение. Получим (4) (5) Таким образом, система (3) распадается на два последовательно решаемых уравнения. Вначале из уравнения (5) определяются перемещения , затем из уравнения (4) - скорости . Уравнение (5) представляет собой вариационное уравнение по пространственным переменным, которое необходимо решать на каждом шаге интегрирования по времени. Его решение находится методом конечных элементов [25]. Специфика, вносимая трещиной в краевую задачу теорию упругости, учитывается с помощью специальных когезионных конечных элементов - так, как это описано в работе [20]. Рис. 3. Конечно-элементная сетка (принципиальная схема). Когезионные элементы заштрихованы Fig. 3. Finite-element mesh (schematic). Cohesive elements are shaded Когезионные элементы составляют горизонтальный ряд, прилегающий к кромке трещины (рис. 3). В локальных координатах [25] и обычные, и когезионные элементы представляют собой одинаковые квадраты. Глобальные координаты точек элемента определяются как где - заданные глобальные декартовы координаты узлов (верхние индексы обозначают номер узла в локальной нумерации); - локальные координаты точек элемента; - интерполяционные полиномы Лагранжа. Перемещения точек обычного конечного элемента задаются аналогичной формулой [25] (6) где - узловые перемещения. Перемещения точек когезионного конечного элемента определяются формулами [20] (7) где - размер элемента по оси абсцисс; - значения производной в ij-м узле (эти величины определяются только для узлов, лежащих на оси абсцисс - прямой, на которой расположена трещина); - интерполяционные полиномы Эрмита, Представление перемещений в виде (6), (7) обеспечивает межэлементную непрерывность поля перемещений во всей области Необходимость введения дополнительных узловых степеней свободы обусловлена требованием плавного смыкания кромок трещины в ее кончике [17]. Конечно-элементная сетка строится так, чтобы кончик трещины совпадал с каким-либо узлом. В этом узле полагается не только , но и , что и обеспечивает упомянутую плавность смыкания кромок трещины. Эти условия представляют собой с механической точки зрения связи, уменьшающие число степеней свободы узла, совпадающего с кончиком трещины. Реакции этих связей, и (рис. 4), определяются обычным образом после решения системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных. При продвижении трещины на длину конечного элемента эти реакции связей уменьшаются (по модулю) до нуля, а соответствующие им перемещения и угол поворота приобретают конечные значения. Рис. 4. Реакции связей и узловые перемещения в узлах конечного элемента, прилегающего к кончику трещины (узел ) Fig. 4. Reactions of ties and nodal displacements at the nodes of the finite element which is adjacent to the crack tip (node ) Обычно принимается допущение о неизменяемости конфигурации концевой области при продвижении трещины [17]. Это значит, что перемещения, которые получит узел при продвижении трещины на величину , будут равны перемещениям узла при совпадении кончика трещины с узлом . При этом величина высвобожденной энергии, отнесенная к приращению длины трещины , определяется как (8) Здесь учтено, что трещина имеет две кромки. Можно показать [17, 18], что на расстояниях, значительно превышающих длину когезионной зоны, поле напряжений определяется асимптотическими формулами [1-3], получаемыми при решении задач при отсутствии сил сцепления. При этом связь между КИН и величиной дается формулой [1, 2] , (9) где - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона. Если из формулы (8) получается, что , то это значит, что корневая асимптотика [1-3] еще не установилась и, следовательно, КИН равен нулю. Знак минус в формуле (9) соответствует случаю, когда . Не следует считать, что при этом трещина закрывается и теория становится неприменимой. Разрез, не имеющий ширины, как модель трещины - это удобная абстракция. В реальных трещинах расстояние между кромками всегда конечно. Отрицательное значение приводит к уменьшению этого расстояния, но не обязательно к смыканию кромок. 3. Решение задачи Чена Расчеты проводились при следующих исходных данных [27]: модуль Юнга МПа, коэффициент Пуассона , плотность кг/м3, нагрузка МПа, размеры полосы: мм, мм, длина трещины мм. Рассматриваемый интервал времени мкс. Объемный модуль и модуль сдвига выражаются через и известными формулами Сходимость численного решения исследовалась на различных конечно-элементных сетках при различном количестве шагов по времени N. В таблице приведены результаты вычисления максимальной величины безразмерного КИН для трех вариантов расчета, отличающихся значениями и числом конечных элементов. Во всех вариантах отношение числа конечных элементов по оси ординат к числу конечных элементов по оси абсцисс принималось постоянным, . Максимальные значения для различных вариантов расчета The highest values of for different calculation variants 450 50 2,639 900 50 2,652 900 100 2,648 На рис. 5 представлены результаты расчета при , и . При этом относительная погрешность расчета, согласно данным таблицы, не превышает 1 %. На рис. 5 по оси абсцисс отложено безразмерное время [30] где - скорость волны расширения [1-3], Рис. 5. Зависимость КИН от времени: 1 - решение Чена [27]; 2 - результаты работы [30]; 3 - результаты расчета разработанным методом Fig. 5. The dependence of stress intensity factor on time: 1 is Chen’s solution [27]; 2 are the results of [30]; 3 are the calculation results based on the developed method Как следует из рис. 5, результаты расчетов изложенным методом практически совпадают с результатами работ [27, 30]. Резкие качественные изменения различных участков графиков обусловлены распространением, взаимодействием и отражением от границ области волн расширения, сдвига и волн Рэлея. Обсуждение этих эффектов можно найти в работах [1, 27, 30]. Заключение Решение задачи Чена изложенным методом свидетельствует о его приемлемой точности. Другие его достоинства: простота и возможность применения к более сложным динамическим задачам, в частности задачам о распространении трещин, в том числе и с учетом пластического деформирования. Примеры решения таких задач в квазистатической постановке даны в работе [20].

About the authors

A V Malik

Tula State University

I E Ryazantseva

Tula State University

I M Lavit

Tula State University

References

Statistics

Views

Abstract - 283

PDF (Russian) - 91