Full Text

Введение Фермы - весьма распространенная разновидность стержневых систем, линейному упругому анализу которых посвящена обширная литература. Методы такого анализа подразделяются на континуальные и дискретно-континуальные [1]. Континуальные методы [2-10] ориентированы на регулярные системы с большим количеством периодически повторяющихся элементов и предполагают замену реальной системы конструктивно-анизотропным телом. Конкретные их реализации отличаются друг от друга видом выбранного континуального эквивалента системы и процедурой континуализации. Примером их могут служить известные теории сетчатых пластин и оболочек [4, 6]. Следует подчеркнуть, что континуальные методы не позволяют учесть индивидуальные свойства деформирования и взаимодействия элементов системы. Этого недостатка лишены дискретно-континуальные методы, опирающиеся на дискретно-континуальную природу стержневых систем [11-39]. Среди них в первую очередь следует назвать ставшие классическими метод сил, метод перемещений и различные их модификации. Все они носят алгоритмический характер, а их развитие с появлением вычислительной техники шло по пути применения матричного аппарата и разработки эффективных методов решения больших систем линейных алгебраических уравнений [35-39]. Значительную популярность среди дискретно-континуальных методов завоевал метод конечных элементов [40-43]. Обладая возможностями не меньшими, чем классические методы, он получил широкое распространение благодаря известным программным комплексам, реализующим его универсальный алгоритм. Среди других методов дискретно-континуального анализа регулярных стержневых систем выделим метод склейки [44-48]. Суть его в членении системы на элементы и проведении поэлементного анализа с учетом геометрических условий сопряжения смежных элементов. Эта процедура позволяет строить строгие дискретные теории упругости, вид которых предопределяется структурой изучаемой системы. Определяющие соотношения таких теорий представляются геометрическими и физическими зависимостями, уравнениями равновесия и уравнениями совместности деформаций в терминах обобщенных смещений, полных деформаций и начальных внутренних сил стержней - функций дискретных аргументов, используемых для нумерации элементов системы. Эти соотношения образуют полную замкнутую систему уравнений соответствующей теории и допускают альтернативные постановки дискретных краевых задач. Во всем этом усматривается дискретная аналогия с соответствующими континуальными моделями упругих тел. Линейная теория плоских регулярных упругих ферм ортогональной структуры изучалась в работах [44, 45]. Ниже построенная там теория обобщается на случай термоупругого деформирования ферм. 1. Линейный термоупругий анализ фермы Рассмотрим плоскую ферму (рис. 1), представляющую собой периодическое повторение вдоль декартовых осей (здесь и далее греческие индексы принимают значения 1,2) элементарной ячейки из стержней в форме прямоугольника с двумя не связанными между собой диагональными стержнями. Как видим, ферма состоит из семейств горизонтальных, вертикальных и нисходящих и восходящих диагональных стержней. Назовём их соответственно 11-, 22-, 21- и 12-стержнями (совокупно αβ-стержни). Смежные стержни жестко связаны между собой в узлах решётки - местах пересечения упругих линий αα-стержней. По предположению все αβ-стержни упругие и однородные, а стержни одного семейства одинаковые и расположены с постоянным шагом. В силу дискретной двухмерности фермы для нумерации ее элементов (узлов и стержней) требуются два целочисленных параметра, выступающих для переменных величин в роли дискретных аргументов. Обозначим их символами , или кратко , и будем считать, что они растут в направлении осей соответственно. Условимся текущему узлу и исходящим из него текущим αβ-стержням присваивать один и тот же номер . Области изменения параметров для элементов фермы зависят от ее внешней формы. В случае ферм с прямоугольной границей (см. рис. 1) для узлов , где - заданные целые числа, для αα-стержней , для 12-стержней , а для 21-стержней ( - символ Кронекера, а, например, - замкнутый целочисленный отрезок, начинающийся с 0 и заканчивающийся ). При иных конфигурациях фермы граничные значения параметров будут другими. Более того, граничные значения одного параметра могут оказаться функциями другого параметра. Геометрические и термоупругие свойства фермы описываются длинами αα-стержней (здесь и далее суммирование по повторяющимся индексам не предполагается), жесткостями на растяжение-сжатие и коэффициентами линейного расширения αβ-стержней. Регулярность фермы предполагает неизменность всех этих параметров в пределах фиксированного семейства стержней. Что касается внешних воздействий на ферму, то они в общем случае слагаются из узловых сил и погонных осевых сил стержней (на рис. 1 они не показаны), включая нагрев последних. Пусть - локальная осевая координата αβ-стержня, а , и - осевое смещение, внутреннее осевое усилие и погонная осевая сила в произвольной точке упругой оси αβ-стержня; и - смещение узла и действующая на него внешняя сила в направлении оси , а - температура, на которую нагрет αβ-стержень. Зависимые переменные, относящиеся к стержням, являются функциями континуального аргумента и дискретных аргументов , а узловые переменные - функциями только дискретных аргументов . Поэтому следовало бы, например, писать , или кратко , . Ради еще большей краткости записи условимся текущие значения дискретных аргументов при символах зависимых переменных опускать вообще. С этой целью введем линейные операторы сдвига , , смысл которых на примере отвлеченной функции дискретных аргументов поясняют равенства С помощью этих операторов образуются разностные операторы первого порядка посредством которых формируются разностные операторы более высокого порядка. Например, для разностных операторов второго порядка, определяемых равенствами справедливы выражения (см. -): Введенные операторы и позволяют записывать формулы и уравнения в переменных с несмещенными текущими значениями дискретных аргументов и опускать такие аргументы ради краткости записи при символах зависимых переменных. Заметим еще, что область определения дискретных аргументов зависимых переменных и формул или уравнений, связанных с элементами фермы фиксированного семейства, совпадает со значениями , участвующими в нумерации этих элементов, и повторно при названных математических объектах не указывается. Термоупругий анализ фермы будем изучать с помощью метода склейки. Следуя ему, расчленим ферму на изолированные элементы - узлы и αβ-стержни. Затем приложим к ним их собственные внешние воздействия и силы взаимодействия с ближайшими элементами. После этого проведем термоупругий анализ стержней и статический анализ узлов с учетом геометрических условий сопряжения соседних стержней и узлов фермы. В рамках простейшего, основанного на гипотезе Дюгамеля-Неймана, варианта термоупругости деформирование нагретых изолированных αβ-стержней описывают уравнения общее решение которых с точностью до начальных смещений и начальных усилий стержней дается формулами Полагая в первом равенстве и вводя полные удлинения стержней и обозначения приходим к выражениям и обратным им зависимостям Геометрические условия сопряжения начала и конца αβ-стержня с соседними узлами фермы имеют вид где . Подставляя выражения в формулу , получаем Эти формулы выражают полные удлинения стержней через узловые смещения , а соотношения , связывают начальные усилия с удлинениями стержней. По смыслу они напоминают соответственно геометрические и физические соотношения механики упругого тела. Поэтому назовем формулы геометрическими, а зависимости , - физическими соотношениями изучаемой теории. Уравнения равновесия изолированного внутреннего узла в проекциях на декартовые оси после подстановки в них второго выражения принимают вид где внешние силовые воздействия представлены величинами Уравнения равновесия граничных узлов, получающиеся при соответствующих значениях из уравнений путем отбрасывания в них несуществующих величин, включая и те, что появляются после раскрытия разностных операторов, представляют собой статические граничные условия. Вместе с уравнениями равновесия внутренних узлов они образуют статические соотношения изучаемой теории. В дальнейшем, ссылаясь на уравнения , мы будем подразумевать все статические соотношения. Число статических искомых , совпадающее с числом стержней в ферме, равно . Для отыскания их в свободной ферме имеется независимых уравнений равновесия . Следовательно, степень статической неопределимости изучаемой фермы равна и говорит о том, что должно существовать такое же количество уравнений совместности деформаций. Проще всего они получаются путем исключения узловых смещений из формул . Замечая, что для удлинений диагональных стержней, принадлежащих одной ячейке, справедливы выражения после суммирования их приходим к первому уравнению совместности деформаций Действуя на равенства разностным оператором , получим Область определения уравнения , найдена из условия реализуемости входящих в эти уравнения разностных операторов среди полных удлинений существующих стержней. Нетрудно видеть, что область определения уравнений совпадает с числом ячеек, а область определения уравнений с числом внутренних узлов фермы. Посредством формул первое из равенств переводится во второе и наоборот, что говорит об их эквивалентности. Можно показать, что в рамках геометрически линейной теории они выражают один и тот же смысл - равенство нулю суммы изменений прямых углов, образуемых на пересечении αα-стержней во внутреннем узле фермы. Любое из равенств можно было бы принять за второе уравнение совместности деформаций. Отдадим, однако, предпочтение разности этих уравнений, включающей удлинения диагональных стержней одной и той же ячейки равноправно. Уравнения , порождают однородные системы линейных алгебраических уравнений относительно полных удлинений стержней . Порядок системы, порождаемой уравнением , равен и совпадает с числом ячеек фермы, а порядок системы, порождаемой уравнением , равен и совпадает с числом ее внутренних узлов. Совокупный порядок обеих систем равен и, как и должно быть, совпадает со степенью статической неопределимости фермы. Завершая вывод основных уравнений изучаемой теории, заметим, что если на граничные узлы наложены геометрические связи, предписывающие узлам заданные смещения , то соответствующие уравнения равновесия заменяются геометрическими краевыми условиями вида ( и (или) ). 2. Альтернативные постановки задач Согласно вышеизложенному напряженно-деформированное состояние фермы определено с точностью до узловых смещений , полных удлинений стержней и начальных усилий в них. Для отыскивания всех этих величин - функций дискретных аргументов, были получены геометрические соотношения , физические зависимости , , статические уравнения и, наконец, уравнения совместности деформаций , . Все они образуют полную замкнутую систему уравнений, допускающую альтернативные постановки дискретных краевых задач. Как известно, постановка краевой задачи включает в себя выбор основных, определяемых в первую очередь, неизвестных, вывод разрешающих уравнений - уравнений, предназначенных для отыскания основных неизвестных, и запись краевых условий через основные же неизвестные. Примем сначала за основные неизвестные узловые смещения С помощью зависимостей , усилия выражаются через них формулами Подставляя их в равенства , приходим к системе уравнений с разностными операторами и обусловленными внешними воздействиями на ферму свободными членами Система уравнений в частных разностях четвертого совокупного порядка предназначена для отыскания узловых смещений. Ее следует дополнить краевыми условиями. Геометрические граничные условия сохраняют вид . Чтобы записать статические граничные условия в основных неизвестных, необходимо сначала расписать уравнения равновесия свободных граничных узлов в усилиях , после чего заменить в них эти усилия выражениями . Однако более предпочтителен иной путь. Если при выводе уравнений принять, что ферма дискретно неоднородная в отношении упругих свойств (), то вместо равенств получим И теперь уравнения можно считать справедливыми для всех свободных узлов, если считать, что фактическое начертание сопровождающих их формул , для любого свободного, в том числе и граничного, узла получается путем отбрасывания в них после раскрытия разностных операторов членов, содержащих жесткости несуществующих стержней, и возврата прежних значений жесткостей существующих стержней. Изложенная процедура дает возможность записывать уравнения равновесия узлов в перемещениях и для нерегулярных ферм, вписываемых в структуру изучаемой фермы. Примем теперь за основные неизвестные начальные усилия . Для их отыскания следует воспользоваться уравнениями равновесия и равенствами в которые переходят уравнения совместности деформаций , после исключения из них с помощью соотношений удлинений . В равенствах использованы обозначения Систему четырех уравнений , можно свести к системе двух уравнений путем построения общего решения уравнений равновесия с точностью до двух функций целочисленных аргументов . В изучаемой теории они играют ту же роль, что и функции напряжений в механике упругих тел. Условимся называть их силовыми функциями и представим общее решение уравнений равновесия в виде суммы: где - общее решение соответствующих однородных уравнений равновесия : а - какое-либо частное решение неоднородных уравнений , т.е. За можно, например, принять усилия в стержнях какой-либо основной системы метода сил или же отредактированное должным образом решение В конкретных случаях нагружения зачастую бывает проще воспользоваться эвристическими соображениями, согласно которым за нетривиальные значения в исходной ферме принимаются соответствующие усилия в любой ее подсистеме, способной нести заданную нагрузку. Приступая к отысканию общего решения однородных уравнений равновесия , заметим, что с помощью соотношений Вытекающих из формул (1)-(4), они преобразуются к виду и будут выполнены, если положить Здесь - вспомогательные произвольные функции дискретных аргументов . Левая часть последнего равенства не зависит от индекса . Правая часть его будет обладать таким же свойством, если положить , где - первая силовая функция. Тогда равенства принимают вид Вторую силовую функцию введем посредством соотношения Из трех последних зависимостей находим общее решение уравнений а затем и искомое общее решение неоднородных уравнений равновесия В том, что это так, убеждает непосредственная подстановка решения в систему , обращающая их в тривиальные тождества. Подставляя выражения в равенства , приходим к искомой системе двух разрешающих уравнений в частных разностях Здесь слева введены разностные операторы - а справа - величины в которых Система разностных уравнений предназначена для отыскания силовых функций и . Она имеет шестой совокупный порядок по каждому дискретному аргументу. Следовательно, на границе фермы следует поставить три условия. В свободной ферме они добываются из статических граничных условий - уравнений равновесия граничных узлов. По определению выполнение неоднородных уравнений равновесия всех узлов обеспечивается слагаемыми . Поэтому источником искомых условий служат однородные уравнения равновесия граничных узлов. Например, чтобы выполнить уравнения на границе , потребуем, чтобы Раскрывая эти равенства с помощью формул , находим Подобный анализ остальных границ приводит к условиям Вспоминая область определения усилий , обнаруживаем, что в формулах фигурируют значения функции и , отвечающие соответственно и . В силу условий функция имеет нетривиальные значения при , а функция - при . Как и должно быть, совокупное число нетривиальных значений этих функций совпадает с порядком системы , трактуемой в отношении этих значений как система линейных алгебраических уравнений. Значения функции и уравнение совместности деформаций , как и первые уравнения , , соотносятся с внутренними узлами фермы, а значения и уравнение совместности деформаций , как и вторые уравнения , , - с ее элементарными ячейками. При отсутствии в системе внутренних узлов уравнение , как и первые уравнения , , исключаются из рассмотрения. Одновременно с этим в формулах и во втором уравнении следует положить . Не касаясь деталей, заметим, что в тех случаях, когда на ферму наложены геометрические связи, краевые условия, накладываемые на силовые функции, устанавливаются с помощью принципа Кастильяно. 3. Некоторые аналитические и числовые результаты Применение построенной теории проиллюстрируем на примере свободной фермы без внутренних узлов (, рис. 2). Найдем напряженное состояние в этой ферме, полагая, что внешняя самоуравновешенная нагрузка на нее и нагрев ее стержней произвольны. Воспользуемся для этой цели постановкой задачи в усилиях. Как отмечалось выше, в данном случае силовая функция , и решению подлежит только второе уравнение системы . Согласно нижним краевым условиям силовая функция , нетривиальная только при (), и потому является решением дискретной краевой задачи Раскрывая здесь оператор и удерживая только нетривиальные значения , после переименований , , и в , , и соответственно приходим к обыкновенной разностной краевой задаче второго порядка в которой введены обозначения Полагая в формулах и сохраняя после раскрытия разностных операторов нетривиальные значения , с учетом сделанных переименований приходим к следующим выражениям для начальных усилий в стержнях: Общее решение уравнения имеет вид [49,50] где - частное решение уравнения , определяемое формулой Здесь, как обычно, сумма считается равной нулю, если ее верхний предел меньше нижнего; и - искомые постоянные, а - полином Чебышёва второго рода степени относительно параметра , обладающий свойствами [51]. Находя из краевых условий постоянные , и подставляя их в формулу , приходим к точному аналитическому решению: предполагающему произвольными внешние воздействия на ферму и ее нагрев. Оно справедливо и для фермы, закрепленной статически определимым образом, так как она после отделения от опор и включения опорных реакций, найденных из ее глобального равновесия, в состав заданных узловых внешних сил превращается в свободную систему. В качестве конкретного примера рассмотрим задачу о напряженном состоянии свободной фермы с десятью ячейками (), вызванном, например, равномерным нагревом 22-стержня под номером (5,0) на постоянную температуру . В таком случае (см. , , , , , , , ) где введен дискретный аналог функции Хевисайда Результаты вычислений по окончательным формулам при и представлены в таблице, где приведены значения не меняющихся по длине стержней фермы безразмерных усилий (). Безразмерные усилия в стержнях фермы, вызванные локальным нагревом Dimensionless forces in the rods of the truss caused by local heating n 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 -0,0002 -0,0002 -0,0002 0,0003 0,0003 3 0,0032 0,0032 0,0030 -0,0045 -0,0045 4 -0,0548 -0,0548 -0,0516 0,0775 0,0775 5 -0,0548 -0,0548 -0,1096 0,0775 0,0775 6 0,0032 0,0032 -0,0516 -0,0045 -0,0045 7 -0,0002 -0,0002 0,0030 0,0003 0,0003 8 0 0 -0,0002 0 0 9 0 0 0 0 0 10 0 Как видно, нагрев 22-стержня с номером (5,0) порождает локальное напряженное состояние. Оно быстро затухает по мере удаления от нагретого стержня в соответствии с осциллирующим дискретным краевым эффектом, присущим изучаемой ферме для фиксированных ее упругогеометрических параметров. Заключение Построена линейная термоупругость плоской регулярной фермы ортогональной структуры, образованной повторением в двух перпендикулярных направлениях прямоугольной ячейки с двумя диагональными стержнями. Представленные альтернативные постановки дискретных краевых задач позволяют строить точные аналитические и численные решения различных задач статики и термоупругости обозначенных плоских ферм. Из построенной теории могут быть извлечены частные теории регулярных и квазирегулярных ферм ортогональной структуры, получаемых из исходной фермы удалением отдельных семейств или подсемейств диагональных стержней.

About the authors

L S Rybakov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

References

Statistics

Views

Abstract - 230

PDF (Russian) - 97