Full Text

Введение Монокристаллические жаропрочные сплавы на никелевой основе [1-4] получили широкое распространение при изготовлении лопаток газовых турбин современных высокотемпературных авиационных и стационарных газотурбинных двигателей. Отличительными особенностями данного класса материалов являются: анизотропия механических свойств [5, 6], высокая жаропрочность и жаростойкость [1, 2], сопротивление высокотемпературной ползучести и длительной прочности за счет полного исключения границ между зернами [2], уменьшение величины модуля упругости в осевом направлении лопатки, приводящее к снижению термических напряжений и росту сопротивления малоцикловой усталости [2], а также высокая стойкость к окислению [2-4]. Анализ длительной и термоусталостной прочности [7-12] требует проведения экспериментальных исследований свойств пластичности и ползучести, которые могут быть проведены с использованием цилиндрических образцов различной кристаллографической ориентации. Целью указанных испытаний является определение неупругих характеристик анизотропного материала, которые являются основой для выполнения конечно-элементного (КЭ) расчета напряженно-деформированного состояния и оценки прочности и долговечности лопаток [13, 14]. Эффект возникновения и развития овальности при ползучести монокристаллических цилиндрических образцов наблюдался в ряде экспериментальных работ [15-18]. Потеря круговой формы поперечного сечения цилиндрического образца при растяжении в условиях несоосности оси образца с осями анизотропии материала приводит к необходимости совершенствования методов экспериментального измерения деформаций, связанных, в частности, с отказом от измерения поперечной деформации на просвет в одном направлении, являющемся стандартным во многих испытательных комплексах. При проведении испытаний на одноосное растяжение цилиндрических образцов с регистрацией только изменения размера поперечного сечения в целях определения осевой деформации требуется внесение коррекций в методику проведения измерений для монокристаллических материалов с ярко выраженной анизотропией. В работе [18] предложена методика экспериментального измерения овальности с использованием трех различно ориентированных по отношению к образцу видеокамер. Измерение овальности под нагрузкой или после ее снятия может быть использовано для оценки осевой деформации и кристаллографической ориентации образца. Теоретические основы и информативность подобных измерений рассматриваются в данной работе. Основной причиной возникновения овальности является анизотропия механических (упругих, пластических, вязких) свойств образцов. Монокристаллические сплавы на основе никеля обнаруживают на макроуровне свойства кубической симметрии, при которой механические свойства оказываются практически одинаковыми на трех взаимно перпендикулярных направлениях. Свойства материала с кубической симметрией инвариантны относительно вращений на 90° вокруг трех ортогональных осей (3 оси симметрии четвертого порядка, проходящие через центры противоположных граней куба). Следует отметить, что кубическая сингония является простейшей формой анизотропии, требующей для описания минимального числа констант. Например, в случае кубической симметрии число упругих модулей равно 3, что ненамного отличается от изотропного материала с двумя упругими модулями. Для сравнения число независимых параметров в гексагональной системе - 5, тетрагональной (D4) и ромбоэдрической (D3) - 6, ромбической - 9, моноклинной - 13, триклинной - 21 [19]. Для трансверсально-изотропного и ортотропного материалов число упругих констант составляет 5 и 9 соответственно. Следует отметить, что рассмотренные ниже общие закономерности искажения формы поперечного сечения цилиндрического образца при растяжении и рекомендации учета указанного эффекта при проведении экспериментов могут рассматриваться в качестве основы при анализе поведения различных анизотропных материалов. Целью данной работы является систематическое исследование влияния отклонения ориентации оси цилиндрического образца от осей анизотропии на форму поперечного сечения при решении задачи в упругой, упругопластической и упруговязкопластической постановках. При решении рассматриваемой задачи используются как аналитические (где это возможно), так и численные методы. Решение задачи в упругой постановке расматривалось Фойхтом [20] и Лехницким [21]. В данной работе расчеты неупругого деформирования проводятся с использованием как микромеханических (кристаллографических) моделей, так и феноменологических моделей. Оценка валидности полученных решений производится на основе сравнения результатов расчетов с данными эксперимента на ползучесть жаропрочного монокристаллического сплава на никелевой основе ВЖМ4. 1. Постановка задачи Исследуется влияние кристаллографической ориентации образца, уровня осевых деформаций и температуры на возникновение и эволюцию овальности поперечного сечения образца в условиях одноосного растяжения как при низких уровнях нагрузки (с использованием упругой модели материала), так и при высоких значениях нагрузки (с использованием упругопластической модели материала), а также при высокотемпературном нагружении с выдержкой (с использованием модели ползучести). Овальность как геометрическая характеристика изменения формы поперечного сечения при упругом деформировании определялась аналитически на основе зависимости коэффициента поперечной деформации от азимутального угла, при неупругом деформировании определялась как аналитически (без учета процесса шейкообразования), так и на основе анализа результатов КЭ решения (с учетом возможности шейкообразования). В качестве характеристики величины овальности поперечного сечения выбрано отношение разности наибольшего и наименьшего диаметров деформированного сечения к : . (1) Нелинейный анализ выполнялся методами прямого КЭ моделирования процессов деформирования монокристаллических образцов в трехмерной постановке c учетом геометрических особенностей образца. При получении численного решения были использованы КЭ программные комплексы ANSYS [22] (с использованием феноменологических моделей пластичности и ползучести кристалла) и PANTOCRATOR [23] (с использованием микромеханических (кристаллографических) моделей пластичности и ползучести кристалла). Рис. 1. Конечно-элементная модель образца для испытаний на растяжение Fig. 1. Finite element model of the tensile test specimen КЭ модель образца представлена на рис. 1. В расчетах использовались двадцатиузловые изопараметрические квадратичные гексаэдрические конечные элементы. Наличие анизотропных свойств материала не позволяет в общем случае учесть симметрию в геометрии образца, что привело к отказу от осесимметричной постановки задачи и от рассмотрения только одной половины конструкции. Образцы были изготовлены из монокристаллического сплава на никелевой основе ВЖМ4 [24, 17]. Основные параметры материала, используемые в расчетах, представлены в табл. 1. Таблица 1 Параметры сплава ВЖМ4 [24, 17], используемые в КЭ расчетах Table 1 Parameters of the alloy VZhM4 [24, 17], used in the FE computations Температура T, °С 20 700 1000 Модуль Юнга E[001] МПа 13000 10100 8600 Коэффициент Пуасона v12 - 0,39 0,42 0,43 Модуль сдвига G12 МПа 11900 9500 8300 Коэффициент линейного температурного расширения  1/°С 1,11·10-5 1,68·10-5 2,1·10-5 Предел текучести s0,2 [001] МПа 846 950 690 Предел текучести s0,2 [111] МПа 1320 1140 810 Предел прочности sВ [001] МПа 1330 1264 780 Предел прочности sВ [111] МПа 1700 1500 910 Константа ползучести Нортона A[001] (МПа) -n 1,00·10-32 2,12·10-29 6,89·10-20 Константа ползучести Нортона n[001] - 8 8 8 Нагружение на внешних торцах задавалось сосредоточенными силами, действующими вдоль оси образца. Допускался свободный поворот торцевых сечений образца в целях максимального приближения к условиям проведения экспериментов на ползучесть. При решении задачи упругопластичности нагрузка предполагалась монотонно возрастающей от нуля до уровня, соответствующего разрушению. При решении задачи ползучести нагрузка задавалась постоянной в течение всего исследуемого интервала времени. При проведении КЭ расчетов для инициирования шейкообразования задавался незначительный начальный дефект. 2. Модели материала Определяющие уравнения линейно-упругого анизотропного материала для случая кубической симметрии, записанные в осях собственной анизотропии [100], [010] и [001], имеют вид (2) где использованы три упругих параметра , и , которые являются независимыми в отличие от случая изотропного материала, для которого имеется связь . С использованием обозначений прямого тензорного исчисления определяющие уравнения (2) могут быть переписаны в виде, инвариантном к выбору системы координат: , (3) где - тензор деформаций; - тензор напряжений; - тензор упругих податливостей 4-го ранга; - обозначает операцию двойного скалярного произведения или свертки: . Матрица упругих податливостей, соответствующая , является симметричной и в осях собственной анизотропии допускает представление: . (4) В произвольном (повернутом) базисе, отличном от базиса собственной анизотропии с базисными ортами, совпадающими с ребрами кристаллической решетки [100], [010] и [001], матрица не будет содержать в общем случае нулевых компонент. При формулировке феноменологических моделей неупругого деформирования монокристалл рассматривается как анизотропная сплошная среда, учитывающая исходную и деформационную анизотропию. В качестве простейшего варианта формулировки функции нагружения может быть использован критерий Хилла, основанный на задании квадратичной формы в пространстве напряжений [25, 26]: , (5) где - девиатор тензора напряжений; - единичный тензор; - тензор микронапряжений, определяющий местоположение центра поверхности нагружения; - тензор четвертого ранга, характеризующий анизотропию поверхности нагружения. В случае изотропного тензора критерий (5) переходит в критерий Мизеса. Альтернативные (более сложные) варианты критерия (5) представлены в работах [27-30] и др. Скорость неупругой (пластической) деформации в феноменологической теории определяется на основе ассоциированного закона: (6) где для вычисления множителя используются выражения: для вязкоупругой модели , (7а) для вязкопластической модели , (7б) для упругопластической модели (7в) В выражении (7б) использованы скобки Макойли Внутренние переменные, характеризующие нелинейное изотропное и кинематическое упрочнение, определяются равенствами (8а) , (8б) где символом обозначена производная Яумана. Учет нелинейного кинематического упрочнения актуален при анализе процессов циклического деформирования с несимметричным циклом нагружения. При монотонном нагружении можно ограничиться учетом только изотропного упрочнения, то есть принять и как следствие этого . В уравнениях (7)-(8) - константы материала (допускающие зависимость от температуры). Для кубической группы симметрии кристалла тензоры , , , , а также тензор упругих модулей в системе координат, связанной с кристаллографическим базисом, имеет следующую структуру, характеризующуюся только тремя константами (для это и ): (9) Учитывая, что в критерии (5) производится свертка с девиаторами, а также выбирая равным пределу текучести при нагружении вдоль оси (что приводит к равенству ), для формулировки критерия (5) достаточно задать только одну дополнительную константу [29]. Константа может быть найдена из опытов на растяжение при двух произвольных несовпадающих ориентациях. Например, на основе данных о пределах текучести при ориентациях и . (10) При многоосном непропорциональном нагружении следует использовать более сложные модели неупругого деформирования [31, 32 и др.], однако для рассматриваемого случая одноосного растяжения вариант (6) является достаточным. При использовании микромеханических (физических, кристаллографических) моделей материала [33-38] предполагается, что пластическое течение осуществляется как результат возможного скольжения в N системах скольжения, характеризуемых нормалью к -й плоскости скольжения и направлением скольжения (). Для рассматриваемого случая монокристаллов с кубической гранецентрированной решеткой при учете только октаэдрических систем скольжения . Скорость неупругой (пластической) деформации определяется равенством , (11) вводимым вместо (6). Для вычисления скорости сдвиговых деформаций в -й системе скольжения используются выражения, аналогичные (7): для вязкоупругой модели (12а) для вязкопластической модели (12б) для упругопластической модели (12в) где - касательные напряжения, приведенные к -й системе скольжения. Переменные, характеризующие нелинейное изотропное и кинематическое упрочнение, определяются равенствами (13а) (13б) Недиагональная структура матрицы изотропного упрочнения , задаваемая в виде (14) позволяет учесть перекрестное (латентное) упрочнение [39] путем введения в рассмотрение взаимного влияния различных систем скольжения друг на друга. В уравнениях (12)-(14) - константы материала (допускающие зависимость от температуры). 3. Результаты расчетов Рассматривается задача об осевом растяжении анизотропного цилиндрического тела с начальной круговой формой поперечного сечения в условиях несоосности оси образца с осями анизотропии материала. Задача решается в упругой, упругопластической и упруговязкопластической постановках. Исследуется влияние на овальность следующих факторов: кристаллографической ориентации образца (азимутальной и аксиальной ориентаций); уровня осевой деформации; уровня температуры; модели деформирования материала. Результаты КЭ анализа позволяют определить величину радиальных перемещений точек на внешнем контуре поперечного сечения образца в процессе деформирования или после снятия нагрузки, что является основой для вычисления текущей или остаточной овальности. В случае возникновения шейки у образца при пластическом деформировании овальность оказывается зависящей от осевой координаты и целью расчетов становится определение ее максимального значения. 3.1. Вычисление овальности в упругой постановке В случае анизотропного линейно-упругого материала овальность (1) может быть выражена аналитически через коэффициент поперечной деформации (расширенная интерпретация коэффициента Пуассона) и осевую деформацию однородно деформируемого цилиндрического образца. Следует отметить, что овальность в значительной мере зависит от кристаллографической ориентации образца. Для дальнейшего анализа вводятся в рассмотрение две системы координат. Первая (лабораторная) система координат XYZ связана с образцом (Z направлена вдоль оси образца, вдоль оси Z также прикладывается внешнее воздействие (растягивающая сила)). Вторая (кристаллографическая) система координат связана с ориентацией кристаллической решетки. Кристаллографическая ориентация образца в общем случае может быть задана на основе введения трех углов Эйлера (рис. 2), характеризующих переход от кристаллографической системы к лабораторной путем трех последовательных поворотов. Последнее вращение вокруг оси образца Z на угол характеризует азимутальную ориентацию образца и непосредственно используется при анализе зависимости изменения радиуса при деформировании для различных точек сечения образца. Результирующая матрица поворота из кристаллографической в лабораторную систему координат определяется как произведение трех элементарных матриц поворота вокруг осей Z”=[001], X’и Z соответственно: Рис. 2. Углы Эйлера, характеризующие кристаллографическую ориентацию образца Fig. 2. Euler angles for specifying the crystallographic orientation of the sample . (15) Коэффициент поперечной деформации при растяжении образца вдоль оси Z при измерении поперечной деформации в направлении оси X определяется соотношением [2] , (16) где - поперечная деформация образца; - продольная деформация образца; , - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) при растяжении образца вдоль оси [001] при измерении поперечной деформации в направлении оси [100]; - модуль сдвига, также измеренный в кристаллографических осях; - направляющие косинусы углов между осями кристаллографической и лабораторной системами координат: (17) Направляющие косинусы (17) были найдены как элементы матрицы поворота (15): Для образца с кристаллографической ориентацией [001] имеем и как следствие (16) . Для образца с кристаллографической ориентацией [111] имеем , и как следствие (16) коэффициент поперечной деформации также оказывается постоянным (не зависящим от ): . Для образца с кристаллографической ориентацией [011] имеем , и как следствие (16) коэффициент поперечной деформации оказывается чувствительным к изменению угла . В общем случае . На рис. 3 представлены азимутально-ориентационные зависимости коэффициента поперечной деформации для ВЖМ4 при 20 ºС для монокристаллов с кристаллографическими ориентациями [001], [011], [012] и [111]. Для образца ориентации [011] максимальное значение наблюдается при , что соответствует измерению поперечных деформаций вдоль оси [100], минимальное - при , соответствующем измерению поперечных деформаций вдоль направления . Коэффициент поперечной деформации для образца с кристаллографической ориентацией [011] изменяется в широком диапазоне: от -0,05 до 0,67. Интересно отметить, что принятые для изотропного материала границы изменения коэффициента Пуассона от 0 до 0,5 оказались нарушенными для рассматриваемого анизотропного материала. При растяжении цилиндрического образца появление отрицательных значений коэффициента поперечной деформации означает увеличение радиуса поперечного сечения для локальных областей с , близким к 90 и 270°. Общая картина изменения коэффициента поперечной деформации при варьировании кристаллографической ориентации образца (не ограничиваемая только рассмотренными выше случаями ориентаций [001], [011] и [111]) может быть проанализирована на основе введения в рассмотрение распределений в пределах сферического треугольника (рис. 4, полученный с использованием y Рис. 3. Зависимость коэффициента поперечной деформации от азимутальной ориентации для монокристаллического сплава ВЖМ4 при 20 ºС при различных аксиальных ориентациях образца Fig. 3. Dependence of the transverse deformation coefficient from azimuthal orientation for the single-crystal alloy VZhM4 at 20 °C for different axial orientations of a sample программы CES [41]), где изменение соответствует изменению радиальной координаты, а изменение - изменению полярного угла в пределах сферического треугольника. Вследствие высокой симметрии кубических монокристаллов при анализе ориентационных зависимостей вместо полного телесного угла может быть рассмотрен только сферический треугольник (часть, заключенная между направлениями [001], [011] и ). Остальные области могут быть получены путем поворотов и отражений. Характер распределения коэффициентов поперечной деформации для шести случаев , соответствующих трем различным ортогональным направлениям воздействия, различается значительно (рис. 4, а-е). Симметрия индексов наблюдается только в кристаллографической системе координат. При отклонении от нее указанное равенство нарушается: в общем случае (ср. рис. 4, а и е), (ср. рис. 4, б и в) и (ср. рис. 4, г и д). Овальность (1), возникающая в процессе деформирования, может быть вычислена на основе коэффициентов поперечной деформации: , (18) где - начальный диаметр образца; - максимальная и минимальная поперечная деформация образца; - осевая деформация образца, - максимальный и минимальный коэффициент поперечной деформации. б а д е в г Рис. 4. Зависимость коэффициентов поперечной деформации (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (д) ; (е) от ориентации образца из монокристаллического сплава ВЖМ4 при 20 ºС Fig. 4. Dependence of the transverse deformation coefficients (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) from orientation of the single-crystal sample from alloy VZhM4 at 20 °C Как показывает анализ выражений (16)-(18), овальность будет максимальной для ориентации [011]. Данный результат также может быть получен из рассмотрения рис. 4. Для ориентации [011] следствием (18) получаем следующее выражение для овальности: . (19) Теоретически полученная зависимость овальности поперечного сечения цилиндрического образца из монокристаллического сплава ВЖМ4 при 20 ºС показана на рис. 5. Наблюдается прогрессирующий характер роста овальности с ростом деформации. Подобный вид зависимости для овальности является следствием ее определения (1). При использовании альтернативного определения может быть установлена линейная зависимость от осевых деформаций. Следует отметить, что при получении зависимости (19) не учитывалось возникновение пластических деформаций, неизбежно присутствующих (и даже доминирующих) при больших деформациях. Следует отметить, что при малых отклонениях оси образца от [001] овальность будет малой. Например, при осевой деформации 20 % для 10° отклонения оси образца от [001] (), являющегося предельно допустимым при отбраковке образцов для Рис. 5. Зависимость овальности от осевой деформации цилиндрического образца ориентации [011] для монокристаллического сплава ВЖМ4 при 20 ºС (линейно-упругая постановка задачи) Fig. 5. Dependence of the ovality on the axial deformation of a cylindrical sample with orientation [011] for a single-crystal alloy VZhM4 at 20 °C (linear elastic formulation of the problem) механических испытаний, овальность α составит 1 %, в то время как для 45° отклонения от [001] ( соответствует [011]) овальность превосходит 16 %. 3.2. Вычисление овальности в упругопластической постановке Простейшие аналитические оценки ориентационной зависимости коэффициента поперечной деформации при неупругом растяжении образца вдоль оси Z были получены с использованием соотношения , (20) где , - поперечная и продольная деформации образца; и - их упругие составляющие, вычисляемые аналогично (16); и - пластические деформации, вычисляемые на основе соотношений микромеханической модели (11), (12б) с последующим переходом в лабораторную систему координат при помощи тензора поворота (15). На рис. 6 представлены вычисленные на основе (20) азимутально-ориентационные зависимости коэффициента поперечной деформации для ВЖМ4 при 1000 ºС. Наблюдается схожий с упругим решением (ср. с рис. 3) характер влияния аксиальной ориентации (рис. 6, а для ориентаций [001], [011], [012] и [111]). Однако, в отличие от упругого решения, полученные зависимости оказываются чувствительными к уровню деформаций (напряжений) (см. рис. 6, б). С ростом деформаций (напряжений) кривые становятся менее вытянутыми, с менее контрастным соотношением габаритных размеров в характерных ортогональных направлениях. y y а б Рис. 6. Зависимости коэффициента поперечной деформации от азимутальной ориентации для монокристаллического сплава ВЖМ4 при 1000 ºС для: а - различных аксиальных ориентаций образца при осевой деформации 3 %; б - различных уровней напряжений (МПа) для ориентации [011] Fig. 6. Dependence of the transverse deformation coefficient from azimuthal orientation for the single-crystal alloy VZhM4 at 1000 ° C for: a - different axial orientations of a sample under 3 % strain; b - different stresses (MPa) for orientation [011] Недостатком рассмотренного подхода является неучет процессов локализации деформаций и шейкообразования, которые могут быть учтены при решении задачи численными методами. При КЭ моделировании процесса упругопластического деформирования цилиндрического образца начального кругового поперечного сечения использовались две модели пластичности: микромеханическая (физическая) (11), (12в), (13) и феноменологическая (6), (7в), (8). Сравнение овальности поперечного сечения образца проводилось при различных температурах: 20 и 1050 ºC, а также при различных уровнях осевых деформаций. Результаты КЭ расчетов показали, что, как и при решении задачи в упругой постановке, наибольшая овальность при решении задачи в упругопластической постановке наблюдается для кристаллографических ориентаций . Полученные расчетным и аналитическим путем значения овальности для образцов с кристаллографической ориентацией [011] приведены в табл. 2. Распределения полей радиальных перемещений, наиболее полно отражающих возникновение овальности поперечного сечения образца, показаны на рис. 7 для различных моделей деформирования и уровней осевых деформаций. Наибольшее сжатие наблюдается в направлении оси [100] при растяжении вдоль оси [011]. Отличием упругопластического решения от упругого является наблюдаемый в первом случае прогрессирующий рост овальности при интенсивном шейкообразовании. Вследствие шейкообразования овальность при пластичности много выше: 54 % в сравнении с 4 % при упругости (см. рис. 5) для осевой деформации 6 %. В пластичности, так же как и в упругости, возникают области увеличения поперечных размеров при растяжении анизотропного материала (отрицательные коэффициенты поперечной деформации). Однако указанные области имеют более локальный характер - в целом по сечению доминируют области с положительными коэффициентами поперечной деформации. Таблица 2 Значения овальности для образцов с кристаллографической ориентацией [011] Table 2 Ovality  for samples with crystallographic orientation [011] Осевые деф., ε, % КЭ расчет Аналитическое решение Микромеханическая модель пластичности (11)-(13) Феноменологическая модель пластичности (6)-(8) Микромеханическая модель пластичности (11)-(13) T = 20 ºC T = 1050 ºC T = 20 ºC T = 1050 ºC T = 20 ºC T = 1050 ºC 0,14 0,0746 0,0856 0,0746 0,0856 0,103 0,119 0,7 0,458 0,452 0,365 0,393 0,303 0,446 1,0 0,745 0,716 0,482 0,442 0,330 0,502 1,5 1,23 1,34 0,670 0,502 0,363 0,541 3,0 2,84 13,6 1,23 0,746 0,415 0,556 5,8 23,4 51,5 3,53 1,74 0,440 - а б в г Рис. 7. Распределение полей радиальных перемещений ur, мм, в образцах ориентации [011] из сплава ВЖМ4 при 1050 ○C для различных моделей деформирования и уровней осевых деформаций: а - упругая модель,  = 0,14 %; б - микромеханическая модель пластичности,  = 5,5 %; в - микромеханическая модель пластичности,  = 10 %; г - феноменологическая модель пластичности,  = 5,5 % Fig. 7. Radial displacement fields ur, mm, in samples with orientation [011] from the alloy VZhM4 at 1050 ○C for various models of deformation and levels of axial strain: a - elastic model,  = 0.14 %; b - micromechanical plastic model,  = 5.5 %; с - micromechanical plastic model,  = 10 %; d - phenomenological plastic model,  = 5,5 % Анализ результатов КЭ моделирования показал, что овальность монотонно возрастает с ростом осевых деформаций и достигает 51,5 % при деформации 5,8 %. Зависимости овальности от осевой деформации цилиндрического образца для монокристаллического сплава ВЖМ4 при 20 и 1050 ºС, полученные с использованием микромеханической модели пластичности, представлены на рис. 8. Видно, что с ростом температуры овальность становится более ярко выраженной. Полученные зависимости могут быть использованы для определения осевой деформации на основе значений текущей или остаточной овальности при кратковременных испытаниях. Однако указанные зависимости являются трехпараметрическими - овальность зависит от деформации, ориентации и температуры. При сравнении прогнозов двух моделей бóльшие значения овальности наблюдаются при использовании микромеханической модели пластичности (см. табл. 2). Овальность оказалась весьма чувствительной к выбору модели пластического деформирования материала, в то время как диаграммы деформирования для обеих моделей пластичности являются достаточно близкими (рис. 9). Рис. 8. Зависимость овальности от осевой деформации образца ориентации [011] для монокристаллического сплава ВЖМ4 при 20 и 1050 ºС (микромеханическая модель пластичности) Fig. 8. Dependence of the ovality on the axial deformation of a sample [011] for a single-crystal alloy VZhM4 at 20 and 1050 °C (micromechanical model of plasticity) Рис. 9. Расчетные диаграммы деформирования цилиндрического образца из монокристаллического сплава ВЖМ4 ориентации [011] при 1050 ºС Fig. 9. Computed deformation diagrams of cylindrical sample from single crystal alloy VZHM4 with orientation [011] at 1050 °C Возможным объяснением чувствительности овальности к выбору модели пластического деформирования материала являются локализованная неоднородность и многоосность полей напряжений и деформаций при шейкообразовании, вызывающие отличия в предсказаниях моделей материала с различными подходами описания кинематики деформирования. При сравнительном анализе овальности с использованием двух моделей для уровней деформаций меньших 1 % (полное отсутствие признаков шейкообразования) обе модели показывают близкие значения. 3.3. Вычисление овальности при ползучести Монокристаллический сплав ВЖМ4 относится к жаропрочным сплавам, традиционно используемым при высоких температурах (выше 1000 ºC), что указывает на актуальность исследования характера деформирования цилиндрических образцов при ползучести. Аналитические оценки ориентационной зависимости коэффициента поперечной деформации при ползучести образца (растягивающая нагрузка прикладывалась вдоль оси Z, поперечная деформация измерялась в направлении оси X) были получены с использованием соотношения (21) где и - поперечная и продольная деформации образца; и - их упругие составляющие, вычисляемые аналогично (16); и - деформации ползучести, вычисляемые на основе соотношений микромеханической модели (11), (12а) с последующим пересчетом из кристаллографической в лабораторную систему координат при помощи тензора поворота (15). На рис. 10 представлены азимутально-ориентационные зависимости коэффициента поперечной деформации для ВЖМ4 при выдержке под нагрузкой 250 МПа в течение 21,5 часов при 1050 °С для монокристаллов ориентаций [001], [011], [012] и [111]. При проведении вычислительных экспериментов, так же как и в предыдущем параграфе, рассматривались две модели ползучести: микромеханическая (физическая), определяемая уравнениями (11), (12а), (13), и феноменологическая, описываемая соотношениями (6), (7а), (8). Сравнение результатов КЭ анализа с данными экспериментов [17] представлены в табл. 3, где приведены значения максимального и минимального диаметров, а также овальность в разгруженном состоянии (после проведения экспериментов). Образец 1 подвергался выдержке под нагрузкой 250 МПа до разрушения в течение y Рис. 10. Зависимость коэффициента поперечной деформации от азимутальной ориентации для сплава ВЖМ4 при выдержке под нагрузкой 250 МПа в течение 21,5 часов при 1050 ºС Fig. 10. Dependence of the transverse deformation coefficient from azimuthal orientation for the alloy VZhM4 under creep at 250 MPa and 1050 °C after 21,5 hours 21,5 часов при 1050 °С. Для него угол отклонения от ориентации составлял 2,15°. Осевая деформация при разрушении достигла 16,7 %. Образец 2 подвергался выдержке под нагрузкой 280 МПа в течение 11,5 часов при 1050 °С. Угол отклонения от ориентации 4,58°. Осевая деформация при разрушении достигла 17,8 %. Таблица 3 Сравнение результатов расчета с данными опытов [17] Table 3 Comparison of computation results with experimental data [17] Dmax, мм Dmin, мм , % Образец 1 Эксперимент 4,614 4,556 1,27 КЭ решение Микромеханическая модель ползучести 4,616 4,580 0,79 Феноменологическая модель ползучесть 4,611 4,607 0,09 Образец 2 Эксперимент 4,414 4,342 1,66 КЭ решение Микромеханическая модель ползучести 4,491 4,442 1,09 Феноменологическая модель ползучести 4,489 4,478 0,25 Измерения диаметров производились на поперечных сечениях разрушенных образцов (рис. 11), поэтому на экспериментальные данные могли оказать влияние стадии долома, накопление повреждений [41-43] на III стадии ползучести (стадия ускоренной ползучести), а также последствия шейкообразования. В силу указанных причин результаты КЭ моделирования демонстрируют меньшее сужение поперечного сечения образца и меньшую овальность, чем в эксперименте, поскольку в расчетах накопление повреждений на III стадии и долом не учитывались. При рассматриваемых уровнях нагрузки и временах выдержки интенсивного шейкообразования в КЭ расчетах не наблюдалось. Следует отметить более высокую точность предсказания микромеханической модели ползучести в сравнении с феноменологической моделью. Рис. 11. Поперечные сечения разрушенных цилиндрических образцов при ползучести Fig. 11. Cross-sections of fractured cylindrical specimens under creep Также был проведен параметрический анализ влияния кристаллографической ориентации и уровня осевой деформации при ползучести на овальность. Результаты КЭ расчетов показали, что, как и при решении задачи в упругой и упругопластической постановке, наибольшая овальность при решении задачи ползучести наблюдается для кристаллографических ориентаций (см. рис. 10). Полученные расчетным путем значения овальности , а также наибольший и наименьший диаметры деформированного поперечного сечения для образцов с кристаллографической ориентацией [011] при напряжении 320 МПа и температуре 1050 ºC приведены в табл. 4 для различных уровней осевой деформации. Следует отметить, что изменение овальности происходит вследствие только деформации ползучести с течением времени - упругие деформации в рассматриваемых условиях (при постоянных напряжениях) остаются постоянными. Таблица 4 Сравнение пргнозов микромеханической и феноменологической моделей ползучести для образцов ориентации [011] при напряжении 320 МПа и температуре 1050 ºC Table 4 Comparison of the microscopic and phenomenological creep models for samples with orientation [011] at stress of 320 MPa and temperature of 1050 ºC Осевые деф., , % КЭ решение Аналитическое решение Микромеханическая модель ползучести Феноменологическая модель ползучести Микромеханическая модель ползучести Dmax, мм Dmin, мм , % Dmax, мм Dmin, мм , % Dmax, мм Dmin, мм , % 1,1 5,001 4,946 1,10 4,978 4,968 0,200 5,0004 4,946 1,09 3,7 5,001 4,819 3,79 4,919 4,901 0,356 5,0004 4,817 3,80 8,0 5,001 4,614 8,41 4,819 4,791 0,595 5,0004 4,601 8,66 Как видно из приведенных результатов, при использовании микромеханической модели наблюдается наибольшая овальность. Максимальный диаметр поперечного сечения при использовании данной модели практически не изменяется. При использовании микромеханической модели ползучести при осевых деформациях 8 % овальность достигает 8,41 %, в то время как при использовании феноменологической модели овальность возрастает значительно медленнее - она достигает только 0,6 % при осевых деформациях 8 %. Результаты, полученные аналитически, показывают хорошее совпадение с соответствующим КЭ решением. Зависимость овальности от осевой деформации образца ориентации [011] при ползучести для монокристаллического сплава ВЖМ4, полученная с использованием микромеханической модели, имеет близкий к линейному характер (рис. 12). Следует отметить, что овальность при ползучести оказалась весьма чувствительной к выбору модели деформирования материала, в то время как кривые ползучести для цилиндрических образцов ориентации [011], полученные в КЭ расчетах, для обеих моделей ползучести являются достаточно близкими (рис. 13), но не идентичными в силу особенностей формулировок рассматриваемых моделей. На рис. 14 приведены поля радиальных перемещений для различных моделей деформирования и различных уровней осевых деформаций для образцов кристаллографической ориентации [011], подвергнутых выдержке под нагрузкой 320 МПа при температуре 1050 ºC. Результаты КЭ расчетов показали, что интенсивного шейкообразования в рассматриваемых условиях нагружения при ползучести не наблюдается. Следует отметить, что наблюдаются отличия в характере распределения радиальных перемещений для микромеханической и феноменологической моделей ползучести. Прогнозируемое микромеханической моделью ползучести скольжение вдоль плоскостей наиболее плотной упаковки с наибольшими факторами Шмида приводит к возникновению изгибных мод деформирования образца и прогрессирующей с течением времени деформационной анизотропии, приводящей к росту овальности. Феноменологическая модель (7а) дает Рис. 12. Зависимость овальности от осевой деформации образца сплава ВЖМ4 ориентации [011] при ползучести при 320 МПа и 1050 ºС (микромеханическая модель ползучести) Fig. 12. Dependence of the ovality on the axial deformation of a sample [011] for a single-crystal alloy VZhM4 at 320 МПа and 1050 °C (microme- chanical model of creep) Рис. 13. Расчетные кривые ползучести для цилиндрического образца из монокристаллического сплава ВЖМ4 ориентации [011] при при температуре 1050 ºC и напряжении 320 МПа Fig. 13. Computed creep curves of cylindrical sample from single crystal alloy VZHM4 with orientation [011] at temperature 1050 °C and stress 320 MPa а б в г Рис. 14. Распределение полей радиальных перемещений ur, мм, в образцах ориентации [011] из сплава ВЖМ4 при 1050 ○C и 320 МПа для различных моделей материала и уровней осевых деформаций: а - феноменологическая модель ползучести,  = 1,1 %; б - микромеханическая модель ползучести,  = 1,1%; в - феноменологическая модель ползучести,  = 8 %; г - микромеханическая модель ползучести,  = 8 % Fig. 14. Radial displacement fields ur, mm, in samples with orientation [011] from the alloy VZhM4 at 1050 ○C and 320 MPa for various material models and levels of axial strains: a - phenomenological creep model,  = 1.1 %; b - micromechanical creep model, = 1.1 %; c - phenomenological creep model,  = 8 %; d - micromechanical creep model,  = 8 % заниженные значения овальности, что указывает на необходимость уточнения параметров, характеризующих ее анизотропные свойства (константы, определяющие тензор ). В частности, при идентификации вместо (10) следует использовать аналогичное соотношение для характеристик деформационной способности при ползучести для двух различных ориентаций. В условиях отсутствия данных для двух различных кристаллографических ориентаций предлагается использовать характеристики кривой ползучести и значения овальности при одной ориентации (отличной от и ) для идентификации параметров, характеризующих анизотропные свойства материала в . Заключение Получены результаты решения задачи об одноосном растяжении анизотропного цилиндрического тела начальной круговой формы поперечного сечения в упругой, упруго-пластической и вязкоупругой постановках. Результаты расчетов позволили установить, что кристаллографическая ориентация образца, уровень осевых деформаций и температура оказывают значительное влияние на овальность поперечного сечения образца при растяжении. Наибольшая овальность наблюдается при кристаллографической ориентации . Овальность демонстрирует тенденцию прогрессирующего роста с увеличением осевых деформаций. Предложены аналитические оценки вычисления овальности при упругости. Использование в КЭ расчетах микромеханических (физических) моделей неупругого деформирования монокристалла приводит к большему значению овальности в сравнении с прогнозами феноменологических моделей, которые продемонстрировали более низкую точность в сравнении с экспериментами. В связи с возникновением овальности поперечного сечения при проведении опытов на растяжение монокристаллического образца в условиях отсутствия данных о его азимутальной ориентации рекомендуется отказаться от определения осевой деформации на основе регистрации изменения размера поперечного сечения только в одном направлении. Для цилиндрических образцов с отклонениями осевой ориентации от направлений и овальность, как легко измеряемый параметр, может быть использована для уточняющей проверки кристаллографической ориентации образца (например, для определения азимутальной ориентации на основе положения минимального диаметра овального поперечного сечения при известной аксиальной ориентации). При идентификации параметров феноменологической модели, характеризующих анизотропные свойства материала, овальность может быть использована для компенсации недостающей информации, например, в условиях отсутствия данных по одной из необходимых кристаллографических ориентаций. Однако указанный теоретически допустимый подход требует всесторонней тщательной экспериментальной проверки.

About the authors

A S Semenov

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

M O Beliaev

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

A I Grishchenko

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 285

PDF (Russian) - 87