Full Text

Введение В более ранней работе авторами была построена модель стартового землетрясения от подготовки до свершения события. Модель основывалась на принятой в ряде работ постановке граничной задачи, представляющей две полубесконечные литосферные плиты с прямыми границами, моделируемыми пластинами Кирхгофа, медленно движущимися навстречу друг другу. Плиты находятся на трехмерном линейно деформируемом основании. Предполагается, что поверхность основания является границей Конрада, разделяющей верхнюю, гранитную, и нижнюю, базальтовую, структуры коры Земли. Однако литосферные плиты, разделенные разломом, могут перемещаться по жидкой астеносфере, расположенной на верхней мантии, сразу под корой Земли или по среде с другой реологией механики сплошной среды. В свою очередь, разломы не могут быть свободными от воздействий. После землетрясений, их образовавших, они заполняются средой, менее плотной, чем гранит и базальт, которая, несомненно, воздействует на берега разлома. Ранее не было ясно, как учесть это воздействие. В настоящей работе впервые строится модель, в которой можно реализовать любые допустимые теорией пластин Кирхгофа воздействия на берега литосферных плит. Модель сложная, имеющая много вариантов реализации, однако все построения строго обоснованы для расчетов, причем выделены сингулярные составляющие. Принимается допущение, что при движении литосферных плит навстречу друг другу гранитными и базальтовыми торцами сминаются или сжимаются материалы, заполняющие пространство разломов, при этом вызывая возникновение воздействий на торцы, причем эти воздействия учитываются в настоящей работе в случае предельной близости литосферных плит. Для таким образом поставленной граничной задачи исследуется изменение концентрации контактных напряжений под литосферными плитами для случаев наличия и отсутствия дистанции между плитами в зоне сближения литосферных плит (рис. 1). 2θ = 0 2θ > 0 Рис. 1. Схема встречного движения литосферных плит, не ограниченных по ширине и полуограниченных по длине Fig. 1. A scheme of counter motion of lithospheric plates, which are not limited on the width and semi-limited on their length При непосредственной их близости концентрация напряжений в зоне сближения, являющаяся разломом, становится сингулярной. Исследование состоит в выяснении влияния параметров контактных напряжений в зоне разлома на характер типов разломов, т.е. деформаций поверхности Земли сопровождающих стартовое землетрясение. 1. Определяющие уравнения Следуя [1-3], воспользуемся построениями, выполненными в этих работах, усовершенствовав их привязкой к единой системе координат. Считаем, что покрытия представляют собой полуплоскости с параллельными границами, удаленные друг от друга на расстояние и находятся на некотором линейно деформируемом основании. Литосферные плиты моделируются пластинами Кирхгофа. Считаем, что пространство между разнотипными плитами является пустым, а на торцах плит действуют внешние силы, направленные по правилу внешних векторов. В системе координат с началом в плоскости , совпадающей со срединной плоскостью пластины, осью , направленной вверх по нормали к пластине, осью , направленной по касательной к границе разлома, осью - по нормали к его границе. Область, занятая левой плитой, обозначается и описывается соотношениями , а занятая правой - индексом и координатами . Будем исходить из того, что литосферные плиты крайне медленно движутся. Как показывают высокоточные GPS/ГЛОНАСС-приемники, скорость движения точек их расположения - это десятки миллиметров в год, поэтому граничную задачу можно рассматривать в статическом варианте. Ограничимся случаем лишь вертикальных воздействий на пластины, считая, что на торцах могут задаваться отличные от нуля изгибающие моменты и перерезывающие силы. Уравнение Кирхгофа для фрагментов покрытия, , занимающих области с границими , при указанных вертикальных статических воздействиях напряжением сверху и снизу имеет вид где и - изгибающий момент и перерезывающая сила в системе координат ; - толщины пластин; - размерный параметр подложки, например, толщина слоя; - модули Юнга литосферных плит, - их коэффициенты Пуассона (обозначения заимствованы из [1]). и - двумерный и одномерный операторы преобразования Фурье соответственно. Связь между граничными напряжениями и перемещениями на поверхности упругой среды, на которой находятся плиты, имеет вид (1) - аналитическая функция двух комплексных переменных , в частности, мероморфная, ее многочисленные примеры приведены в [4, 5]. Материалы основания могут иметь любую реологию механики сплошной среды, от твердой, вязко-упругой, вязко-пластической, до жидкой. То что основание блочной структуры из несжимаемой жидкости, свойственное астеносфере, также вкладывается в развиваемую модель, можно видеть из работы [6], где показывается взаимодействие твердой пластины с несжимаемой жидкостью при всех частотах. В плоском случае функция имеет вид Разрушение материалов при высоком давлении в жидкой среде происходит по законам разрушения при объемном нагружении, соответственно, и в других реологиях по законам механики. 2. Метод исследования Для исследования граничной задачи применяется вариант метода блочного элемента в сочетании с интегральным и дифференциальным методами факторизации, состоящий в сопряжении в блочную структуру разноразмерных блоков: двумерного - пластин и трехмерного - подложки. Для этого граничная задача погружается в топологическое пространство медленно растущих обобщенных функций, содержащих как дельта-функции, так и сингулярные. Здесь возможны два варианта. Возможно введение для каждого блочного элемента локальных систем координат на каждой границе и затем осуществление сопряжения элементов с учетом формул перехода. В случае несложных по форме блочных элементов это можно осуществить путем их привязки к одной, абсолютной системе координат, что облегчает сопряжение элементов. Это и выполнено в настоящей работе. Функциональные уравнения граничной задачи можно представить в виде [1, 7] (2) Здесь - участвующие в представлении внешние формы [8-12], имеющие с учетом выбора системы координат вид В частном случае прямолинейная граница для левой плиты представима в виде (3) Аналогично для правой. Для обеспечения автоморфизма, вычислив формы-вычеты Лере [12] по параметру в том числе в двукратных полюсах, псевдодифференциальные уравнения граничной задачи с учетом принятых обозначений можем представить: для левой полупластины в виде (4) cоответственно для правой полупластины (5) Производная вычисляется по параметру . Введем следующую систему обозначений, основываясь на (4) и (5): В результате псевдодифференциальные уравнения для этого случая можно переписать в виде системы алгебраических уравнений (6) В матричной форме система имеет вид Вид матриц следует из системы (6) и ради краткости опущен. Считаем, что на торцах пластин заданы некоторые граничные условия, порождающие отличные от нуля векторы , с компонентами изгибающих моментов и перерезывающих сил. Тогда приведенную систему уравнений можно переписать в виде Решения получившихся уравнений легко находятся и имеют вид Эта система и ее решение могут быть представлены в форме 3. Проведение исследований Из (2) следуют формулы (7) описывающие представление вертикальных перемещений полупластин. Внеся найденные соотношения в выражения для внешних форм (3), будем иметь два уравнения для и положив и приняв во внимание, что . Сопрягая блоки, приравняв перемещения (1) и (7), получим две системы функциональных уравнений вида Здесь , , , - полиномы третьего порядка по параметру , коэффициенты которых являются аналитическими функциями параметра сложного вида, которые ради краткости опущены. Заметим, что представленные функциональные уравнения в качестве неизвестных имеют не только функции , , но также и функционалы , , , , которые линейно входят в и нуждаются в определении. При всех факторизационных операциях по параметру они присутствуют как постоянные, поскольку зависят только от . При , т.е. когда плиты сближаются, первое уравнение непрерывно переходит во второе. Получили два разных функциональных уравнения Винера-Хопфа. Первое - обобщенное функциональное уравнение Винера-Хопфа в связи с присутствием функции - решается изложенным в [5] обращением системы двух интегральных уравнений второго рода с вполне непрерывными в некотором пространстве непрерывных с весом функций, которая имеет вид Здесь приняты обозначения из работы [5]. В этих формулах и ниже факторизация осуществляется по параметру . Эта система интегральных уравнений для случая, когда функция является мероморфной по параметру , сводится к простой линейной алгебраической системе уравнений, которая обращается как численно, так и приближенно - аналитически. Второе функциональное уравнение является уравнением Винера-Хопфа. Способы построения его точных или приближенных решений можно найти в работах [4, 5, 9]. Учитывая, что при имеет место соотношение решение может быть записано в форме Построив в обоих случаях решения функциональных уравнений, выведем системы алгебраических уравнений для нахождения неизвестных функционалов. Выпишем общий вид решений функциональных уравнений, который для обоих случаев со своими коэффициентами имеет вид (8) Здесь функции являются известными, а , , , требуется определить. Для их определения продифференцируем первое и второе уравнения по . Положим в первом уравнении и в продифференцированном , а во втором и продифференцированном уравнении . В результате получим алгебраическую систему, замыкающую определение всех вышеперечисленных неизвестных, которая ради краткости опущена. Внесение найденных решений системы в соотношения (7), (8) в зависимости от поставленной граничной задачи с последующим использованием соотношений дает возможность полностью определить напряженно-деформированное состояние покрытия с любым из рассматриваемых граничных условий на торцах пластин. Достаточно просто доказывается, что решение первого функционального уравнения для приводит к следующим свойствам контактных напряжений между пластинами и подложкой на краях пластин: (9) Здесь - непрерывные по обеим координатам функции для достаточно гладких; [4, 5]. Обращение второго уравнения приводит при к следующим свойствам решений: (10) Функции непрерывны по обоим параметрам. Выводы Полученные формулы (10) показывают, что находящиеся на дистанции друг от друга литосферные плиты на упругой среде имеют типичные на краях особенности, возникающие также и в случае замены их жесткими штампами. В случае когда дистанция между литосферными плитами отсутствует, контактные напряжения в зоне сблизившихся литосферных плит одновременно приобретают особенности, среди которых и сингулярная, свидетельствующая о несомненном разрушении материала, если коэффициент при ней отличен от нуля. Заметим, что возможность существования стартового землетрясения не описана ни в одной работе по сейсмологии [13-31] по причине отсутствия механического результата (10). Академик Г.А. Гамбурцев [18] предлагает для прогноза землетрясений применять механические подходы, которые в настоящей работе подтверждают его правоту. Заметим, что в работах [24-31] выполняются исследования по углубленному изучению свойств разломов для прогнозирования возможного землетрясения, поскольку ясна их роль в мощности возникающего землетрясения и ожидаемых последствиях в развитии самого разлома. В учет берутся не только механические параметры, но также и температурные. В разломах, доступных для экспериментальных исследований, ведется мониторинг температурных параметров. Осуществляются исследования и по возможному прогнозу мелких землетрясений (форшоков) накануне сильных, в его основе характер скольжения гранитных литосферных плит по поверхности базальтовых (граница Конрада) при высоких температурах. Так, в работах [24, 25] американские ученые установили, что скольжение, происходящее при температуре 600 градусов, происходит при движении литосферных плит рывками, которые, по их мнению, провоцируют слабые землетрясения. Сопоставляя результат (10) с моделью жестких штампов для литосферных плит, несложно видеть, что случаю сингулярной особенности отвечает разнонаправленное вертикальное смещение относительно друг друга жестких штампов, разрезающих основание. Вторая особенность отвечает случаю однонаправленных движений штампов, изгибающих поверхность, третья вызывает гладкое поднятие и опускание поверхности основания. Все три типа поведения поверхностей наблюдаются в зонах реальных землетрясений. Таким образом, в отличие от случая дистанцированных литосферных плит в случае их сближения деформируемые литосферные плиты одновременно могут производить на поверхности эффект трех отдельных движений жестких штампов. Если все шесть коэффициентов в (10) окажутся отличными от нуля и достаточно большими, чтобы достичь энергии разрушения среды, то по настоящей теории произойдет сильное землетрясение. Если такими окажутся лишь отдельные коэффициенты, то будет слабое землетрясение или афтершоки. Ряд слабых землетрясений, предшествующих сильным землетрясениям, возможно, происходит по причине медленного сближения дистанцированных литосферных плит, «сминающих» неровности основания благодаря особенностям (9). В дополнение к [1-3] в настоящей работе доказано, что наличие отличных от нуля напряжений на торцах сближающихся литосферных плит, входящих в и качественно не изменяет полученные ранее результаты. Однако может количественно повлиять на значения коэффициентов при особенностях, которые зависят от некоторых интегральных характеристик всех внешних воздействий на литосферные плиты, а не от самих воздействий. Рис. 2. Соотношения коэффициентов . Сплошная линия описывает сингулярные контактные напряжения, пунктирная - логарифмические Fig. 2. Ratios of coefficients . Solid line describes singular contact exertions, dotted line - logarithmic ones Тип землетрясения и его последствия на поверхности Земли определяются соотношениями между указанными коэффициентами и . Хотя сингулярная особенность является более сильной, чем логарифмическая, все определяется количеством энергии, необходимой для разрушения породы, из которой состоят как плиты, так и основание. На рис. 2, 3 приводятся значения контактных напряжений в зоне сопряжения плит. При равных коэффициентах в сингулярном случае они более значительные. Однако если коэффициент окажется в 10 раз меньше коэффициента , то с учетом того, что разрушение среды может произойти раньше, чем контактные напряжения достигнут бесконечных значений, произойдет для поверхности Земли изломное землетрясение, а не сдвиговое, отвечающее сингулярному случаю [1, 2]. Рис. 3. Соотношение коэффициентов Fig. 3. Ratios of coefficients Заметим, что изложенная здесь теория при изменении макромасштаба на мезо- и микромасштаб полностью применима для проблем прочности материалов с дефектными покрытиями, которые, например, имеют даже новые самолеты. Особое место среди дефектов имеют названные авторами [3] скрытые дефекты. Они скрыты дважды. Во-первых, в связи с расположением их плоскости перпендикулярно границе поверхности покрытия, что сложно для обнаружения ультразвуковой дефектоскопией. Во-вторых, они недоступны для расчетов численными методами, например методом конечного элемента, программой Comsol, поскольку в основе этих программ лежит интеграл энергии, который в скрытых дефектах неограничен. В подобных задачах можно видеть достоинство топологических и факторизационных подходов, преодолевающих сложности других методов.

About the authors

V A Babeshko

Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences; Kuban State University

O V Evdokimova

Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

O M Babeshko

Kuban State University

References

Statistics

Views

Abstract - 225

PDF (Russian) - 81