Full Text

Введение В современной технике использование композиционных материалов является экономически и технологически обоснованным. Одной из важных задач в механике композитов является расчет на прочность ортотропных конструкций. В решении этих задач широкое распространение получил численный метод конечных элементов (МКЭ), основанный на различных формулировках. Большинством авторов МКЭ формулируется в виде метода перемещений [1-11]. Решения МКЭ для изотропных тел достаточно легко модифицируются и используются для ортотропных тел [4]. Одним из преимуществ данной формулировки является простота и, соответственно, удобство реализации. Метод, представленный в данной работе, во многом похож на МКЭ в виде метода перемещений. Отличия состоят в том, что многие неизвестные коэффициенты в аппроксимации не имеют физического смысла, точность решения достигается не за счет сгущения сетки, а за счет повышения порядка аппроксимации. МКЭ в смешанных формулировках [12-16] также интенсивно развивается, поскольку имеет свои преимущества. К числу таких преимуществ можно отнести непрерывное поле напряжений, снижение порядка аппроксимирующих функций и т.п. При смешанной формулировке МКЭ узловыми неизвестными конечных элементов являются перемещения, напряжения или усилия. Объемные конечные элементы на основе соотношений теории упругости без дополнительных гипотез о деформировании нормали использованы в работах [17-19]. В методе, который представлен в данной работе, также используются объемные конечные элементы трехмерной теории упругости. Кроме того, можно отметить следующие методы расчета ортотропных конструкций. Например, в работе [20] предложен алгоритм, основанный на методе Ритца и методе продолжения решения по наилучшему параметру, который позволяет исследовать напряженно-деформируемое состояние (НДС) оболочек из ортотропных материалов. В [21] предлагается специально разработанный метод конструктивной анизотропии, который также основан на методе Ритца. В работе [22] для расчета ортотропных оболочек предложен численно-аналитический метод, основанный на методе разделения переменных (Фурье) в уравнениях с частными производными. В работах [23-26] развиваются численно-аналитические методы расчета НДС ортотропных оболочек. Ниже представлен новый численный метод решения пространственной задачи теории упругости для ортотропных конструкций с помощью конечно-элементных аппроксимаций произвольной степени. Основным преимуществом представленного метода по сравнению с традиционными вариантами МКЭ является то, что при повышении порядка аппроксимации не требуется увеличения количества узловых точек и использования в качестве узловых значений производных от искомых функций, тем более производных высоких порядков. В данной работе результаты, полученные представленным методом, анализируются и сопоставляются с результатами других авторов [23, 27]. 1. Методика моделирования Вводятся глобальная система координат и ортогональная криволинейная система координат (рис. 1), в которой задаются определяющие уравнения деформации упругого тела. Предполагается, что перемещения и деформации малы, справедлив закон Гука. В зависимости от формы рассматриваемой конструкции выбирается соответствующая система координат : декартова, цилиндрическая, сферическая и т.п. В криволинейной системе координат деформации определяются через компоненты перемещения по формулам [28] , (1) где - компоненты перемещения произвольной точки тела в системе координат ; - коэффициенты Ляме; - кривизна кривой в плоскости (главные кривизны); - углы сдвига; индексы получаются круговой перестановкой индексов Физические соотношения для ортотропного материала записываются так: (2) Пусть оси координат совпадают с направлениями ортотропии (направления упругой симметрии). Матрица упругости в этом случае примет вид [29] (3) где . Здесь - модули упругости в соответствующих направлениях; - модули сдвига соответственно в плоскостях - коэффициенты Пуассона, для которых должны выполняться равенства Исследуемая трехмерная конструкция разбивается на подобласти в виде криволинейных шестигранников (рис. 1), грани которых являются кусочно-гладкими поверхностями и описываются в криволинейной системе координат уравнениями , , , , , , где - однозначные функции класса . Рис. 1. Подобласть Vk в виде криволинейного шестигранника Fig. 1. Subarea Vk in the form of a curvilinear hexagon В подобласти вводится дополнительная криволинейная система координат , которая связана с системой координат следующим образом: (4) где функции , , и т.д. подбираются таким образом [1], что на гранях подобласти уравнения (3) переходят в уравнения этих граней, на граничных линиях - в уравнения этих линий; . Для определения напряженно-деформированного состояния конструкции используется вариационный принцип Лагранжа [30], на основании которого должно выполняться условие (5) где - полная энергия конструкции; - полная энергия подобласти ; , - удельная потенциальная энергия деформации и вариация работы внешних сил единицы объема подобласти ; K- количество подобластей. В подобласти компоненты перемещения аппроксимируются функциями, заданными в локальной криволинейной системе координат , следующим образом: , (6) здесь - неизвестные постоянные; функции формы Аппроксимирующие функции (6) подставляются в соотношения (1), а затем в физические соотношения для ортотропного тела (2). Используя известные соотношения для потенциальной энергии деформации, на основании вариационного уравнения (5) получается система уравнений для определения неизвестных постоянных . 2. Результаты расчетов Для проверки предложенного метода была рассмотрена задача об изгибе трехслойной балки из углепластика под действием синусоидальной нагрузки (рис. 2). В качестве системы координат была использована декартова система координат. В работе [27] для этой задачи приводится аналитическое решение теории упругости, решение задачи на основе теории оболочек типа Тимошенко, решение задачи на основе классической теории оболочек и решение автора методом конечных элементов на основе смешаного функционала с независимой аппроксимацией напряжений и перемещений в каждом слое. Автор половину балки разбивал на восемь трехслойных конечных элементов, которые удовлетворяют гипотезе Тимошенко. Рис. 2. Трехслойная балка из углепластика под действием синусоидальной нагрузки Fig. 2. Three-layer beam made from a coal plastic under the influence of sinusoidal loading Балка состоит из углепластиковых однонаправленно армированных монослоев со следующими характеристиками (ось 1 совпадает с направлением армирования): Направления армирования 1-го и 3-го слоев совпадают с осью балки x, а направление армирования 2-го слоя перпендикулярно оси балки. Для первого и третьего слоев для второго слоя Приняты следующие численные параметры: При расчете балка разбивалась на четыре конечных элемента: по одному элементу на верхний и нижний слои и два элемента по толщине среднего слоя. Порядок аппроксимации задавался следующими константами в выражении (6): . Для сравнения результатов были введены следующие безразмерные величины: В таблице приводятся безразмерный прогиб в сечении и погрешность в % по отношению к решению теории упругости. Безразмерный прогиб в сечении и погрешность в % по отношению к решению теории упругости Dimensionless deflection in the cross section and an error ε in % in relation to the solution of the theory of elasticity Прогиб в центре балки Аналитическое решение [27] МКЭ [27] Решение по представленной методике Теория уругости Классическая теория Теория Тимошенко 0,93164 0,50966 0,7631 0,9886 0,9441 - 45,29 18,09 -6,11 -1,33 Из таблицы видно, что схема разбиения на четыре конечных элемента и использованный порядок аппроксимации оказались достаточными для получения решения с погрешностью 1,33 %. На рис. 3 приводится безразмерное напряжение в сечении, на рис. 4 - безразмерное напряжение в сечении . На этих рисунках сплошной линией приведены данные согласно представленной методике, остальные графики соответствуют данным работы [27]. Рис. 3. Безразмерное напряжение в сечении x = H/2: кривая 1 - решение теории упругости [27]; кривая 2 - решение МКЭ [27] и кривая 3 - решение по классической теории слоистых балок [27] Fig. 3. The dimensionless stress in the cross section x = H/2. Сurve (1) shows the solution based on the theory of elasticity [27], curve (2) shows the solution based on the FEM [27] and curve (3) shows the solution based on the classical theory of layered beams [27] Как видно из таблицы и рисунков, полученное решение очень близко к решению теории упругости. В следующем примере рассмотрена задача о расчете на прочность однослойной шарнирно-закрепленной ортотропной оболочки (рис. 5). В качестве системы координат была использована цилиндрическая система координат, где глобальные координаты связаны с координатами соотношениями Коэффициенты Ляме и кривизны , остальные. На оболочку, имеющую внешний радиус R =1,60 м, длину H = 2,24 м, толщину h = = 0,006 м, действует нагрузка P = 1000 Н, которая равномерно распределена на элементе размером , где - длина дуги окружности, соответствующей углу . Упругие постоянные имеют следующие значения: = 4,65 104 МПа; == 0,7 104 МПа; = = = = 0,7 104 МПа; = 0,25; = = 0. Нагрузка приложена к элементу с размерами 0,0558 ×0,24 м, находящемуся на поверхности кольца, равноудаленного от торцов оболочки. В силу симметрии задачи рассматривалась одна четвертая часть оболочки , которая разбивалась на шесть конечных элементов. Порядок аппроксимации задавался следующими константами в выражении (6): . Рис. 4. Безразмерное напряжение в сечении x = 0: кривая 1 - решение теории упругости [27]; кривая 2 - решение МКЭ [27] и кривая 3 - решение по классической теории слоистых балок [27] Fig. 4. The dimension stress in the cross section x = 0. Сurve (1) shows the solution based on the theory of elasticity [27], curve (2) shows the solution based on the FEM [27] and curve (3) shows the solution based on the classical theory of layered beams [27] Рис. 5. Однослойная шарнирно-закрепленная (неподвижно) ортотропная оболочка под действием распределенной нагрузки Fig. 5. Single layer hinged-fixed (motionless) orthotropic shell under distributed loading В статье [23] имеются результаты расчета данной оболочки. Эти результаты представлены на рис. 6, а и рис. 7 с целью сравнения с результатами, полученными по представленной методике. На рис. 6, а изображено радиальное перемещение в сечении в зависимости от окружной координаты φ: кривая 1 - решение с использованием методики Рис. 6. Радиальное перемещение ur в сечении z = H/2, в зависимости от окружной координаты φ: а - решение с использованием методики автора [23] - кривая 1, решение в пакете ANSYS - кривая 2, б - представленная методика Fig. 6. Radial movement ur in the cross section z = H/2 depending on the district coordinate φ, (a) is from the paper in [23], the solution with the use of the author’s technique is shown in curve (1), the solution using ANSYS package is in curve (2), (b) is the presented technique автора, в котором решение искалось с помощью рядов Фурье со 130 гармониками, кривая 2 - решение, полученное с использованием пакета ANSYS с сеткой 17900 конечных элементов, полученных на основе теории оболочек. На рис. 6, б приведено решение, которое получено на основании методики, изложенной в данной статье. На рис. 8 приведено аналогичное решение, которое получено на основании методики, изложенной в данной статье. Рис. 7. Распределение продольного (кривые 1, 3) и окружного (кривые 2, 4) напряжений в сечении z = H/2 на внешней поверхности оболочки в зависимости от угловой координаты φ; кривые 1, 2 - решение с использованием методики автора; 3, 4 - решение с использованием ANSYS Fig. 7. Distribution of the longitudinal (curves 1, 3) and district (curves 2, 4) stresses in the cross section z = H/2 on the external surface of the shell depending on the angular coordinate φ, curves 1, 2 show the solution using the author’s technique, 3, 4 show the solution using ANSYS Рис. 8. Распределение продольного (синий цвет) и окружного (красный цвет) напряжений в сечении z = H/2 на внешней поверхности оболочки в зависимости от угловой координаты φ Fig. 8. Distribution of the longitudinal (blue color) and district (red color) stresses in the cross section z = H/2 on the external surface of the shell depending on the angular coordinate φ Как видно из рис. 6, 7, 8, характер распределения перемещений и напряжений и их величины даже при расчете на сетке из шести элементов вполне соответствуют данным работы [23], в которой приведено решение для 17900 конечных элементов. Общее число неизвестных в разрешающей системе уравнений по представленной методике составило 2552. Заключение Предложен метод определения напряженно-деформированного состояния ортотропных конструкций, основанный на объемном конечном элементе трехмерной теории упругости. Как показывают приведенные результаты представленный метод можно использовать для расчетов тонких ортотропных и многослойных оболочек без использования дополнительных гипотез о распределении напряжений по толщине оболочки. Данный метод может быть эффективно использован для расчета сложных ортотропных конструкций даже без использования густой сетки. Точность расчетов достигается высоким порядком аппроксимаций. Предложенный метод наиболее эффективен, когда сложная трехмерная конструкция может быть разбита на не очень большое количество шестигранников вида . Если же для задания конструкции требуется большое количество подобных элементов или с помощью рассмотренных элементов описать данную конструкцию невозможно, то целесообразно использовать традиционные варианты МКЭ.

About the authors

F S Khayrullin

Kazan National Research Technological University

O M Sakhbiev

Kazan National Research Technological University

References

Statistics

Views

Abstract - 144

PDF (Russian) - 95