Full Text

Введение Повышение эффективности современной аэрокосмической техники неразрывно связано с поиском и реализацией новых конструктивно-технологических решений. В значительной степени эти решения связаны с применением композиционных материалов [1-6]. Одним из важных направлений в конструкциях оболочечного типа (корпуса ракет, кораблей, фюзеляжи и крылья самолетов и вертолетов и других изделий) является создание и все более широкое применение многослойных [7-12], трехслойных конструкций, элементы которых состоят из двух несущих обшивок и легкого заполнителя между ними [13-21]. Эффективность трехслойных конструкций связана в первую очередь с их высокой относительной жесткостью и прочностью. Несущие слои, подкрепляемые заполнителем, воспринимают высокие напряжения сжатия. Благодаря большой местной и общей жесткости на изгиб и кручение требуется меньшее количество нервюр, шпангоутов и других опорных элементов. Большая жесткость таких конструкций обеспечивает сохранение аэродинамических характеристик. Благодаря равномерному подкреплению несущих слоев заполнителем и отсутствию концентраторов напряжений увеличивается долговечность таких конструкций. Однако они хуже приспособлены к передаче усилий (особенно сосредоточенных) с одного элемента на другой. В связи с этим при проектировании трехслойных конструкций одним из основных вопросов является рациональный выбор соединений с другими элементами. В настоящей работе изучается геометрически линейная и физически нелинейная задача о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем (рис. 1, а). Термин трансверсально-мягкий заполнитель в механике трехслойных и многослойных конструкций используется давно. В соответствии с классификацией В.В. Болотина [22] к классу трансверсально-мягких относятся заполнители, в которых малыми являются тангенциальные компоненты тензора напряжений в сравнении с другими компонентами. Схема нагружения и закрепления пластины, рассматриваемой в настоящей работе, показана на рис. 1, б. Рис. 1. Трехслойная пластина с трансверсально-мягким заполнителем: 1 - подкрепляющая несущие слои диафрагма; 2 - жесткий опорный элемент; 3 - заполнитель; 4 - внешние несущие слои Fig. 1. Sandwich plate with transversely soft core: 1 - reinforcing the carrying layers diaphragm; 2 - rigid support element; 3 - core; 4 - external carrying layers Обобщенная постановка сформулирована в виде задачи поиска седловой точки некоторого функционала Лагранжа. Основными переменными при этом являются перемещения точек срединных поверхностей несущих слоев, множителями Лагранжа - касательные напряжения в заполнителе, постоянные по его толщине. Установлены свойства этого функционала (выпуклость, полунепрерывность снизу и коэрцитивность [23, 24] по основным переменным (перемещениям точек срединных поверхностей несущих слоев), вогнутость, полунепрерывность сверху и анти-коэрцитивность по множителям Лагранжа. На основе указанных свойств с использованием общих результатов [23, 25, 26] доказана теорема существования и единственности. Для решения задачи предложен двухслойный итерационный метод типа Удзавы [27-33], каждый шаг которого сводится к решению линейной задачи теории упругости и нахождению проекции на выпуклое замкнутое множество. Приведена теорема сходимости метода. На основе разработанного комплекса программ в среде MatLab проведены численные эксперименты для модельной задачи. Приведены результаты численных экспериментов. Проведен анализ полученных результатов. Ранее изучалась задача о поперечном изгибе трехслойной пластины с заполнителем, являющимся трансверсально-мягким [22], в случае жесткого закрепления несущих слоев при отсутствии диафрагм [34-36]. Отметим, что физически нелинейные задачи теории оболочек изучены в [37-43], в том числе задачи теории мягких сетчатых оболочек - в [44, 45]. Численное решение геометрически нелинейных задач и физически линейных задач об изгибе трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем проводилось в [46-48]. 1. Постановка задачи Пусть a - длина пластины, 2t, - толщины заполнителя и k-го несущего слоя (всюду в дальнейшем предполагаем, что k = 1,2), , - компоненты поверхностной нагрузки, приведенной к срединной поверхности k-го слоя, - поверхностный момент внешних сил, приведенный к срединной поверхности k-го слоя, и - прогибы и осевые перемещения точек срединной поверхности k-го слоя, , - мембранные усилия и внутренние изгибающие моменты в k-м слое соответственно, . Пусть - контактные реактивные усилия взаимодействия (касательные напряжения) в заполнителе, постоянные по его толщине. Предполагаем, что в правом торцевом сечении края несущих слоев жестко защемлены и отсутствует адгезионное соединение заполнителя с опорным элементом, на левом торцевом сечении края несущих слоев пластины шарнирно оперты на абсолютно жесткие в поперечном направлении диафрагмы, склеенной с торцевым сечением заполнителя, к срединной поверхности первого несущего слоя с левого торца приложена нагрузка P, так что выполнены граничные условия: , , , , . Рассматривается геометрически линейная постановка: , - изгибная жесткость k-го слоя; - жесткость k-го слоя на растяжение-сжатие, и , - модуль упругости первого рода и коэффициенты Пуассона материала k-го слоя. Пусть - вектор перемещений точек срединных поверхностей несущих слоев. Следуя [49], рассмотрим функционал где - потенциальная энергия деформации, , , , и - модули поперечного сдвига и обжатия заполнителя, - работа внешних сил и моментов, - работа неизвестных контактных касательных напряжений на соответствующих перемещениях. Считая, что зависимость между касательным напряжением и деформацией поперечного сдвига соответствует идеальной упругопластической модели, задачу рассмотрим при ограничении , где - заданное предельное значение напряжения в заполнителе. Это условие означает недопущение разрушения конструкции и соответствует учету физической нелинейности в заполнителе по модели идеальной упругопластической модели. 2. Обобщенная постановка задачи Представим функционал L в виде , где Введем следующие пространства Соболева [25, 50]: , со скалярными произведениями , k = 1,2, обозначим . Введем также в рассмотрение множество . Под решением задачи понимаем вектор-функцию , являющуюся решением седловой задачи (1) Напомним, что функционал называется коэрцитивным (или анти-коэрцитивным) [23, 24], если (или ) при . Имеют место следующие результаты. Лемма 1. Функционалы , являются строго выпуклыми, непрерывными и коэрцитивными. Доказательство. В определении функционала первые два слагаемых являются квадратичными, откуда и следует их строгая выпуклость, непрерывность и коэрцитивнось, причем , зависит от a, , . Третье слагаемое непрерывно и неотрицательно, его выпуклость следует из очевидного алгебраического неравенства . Из вышесказанного и вытекает утверждение леммы относительно функционала . Функционал также является квадратичным, а значит, строго выпуклым и непрерывным. Из теоремы вложения Соболева [25, 30] следует неравенство , зависит от a, , , т.е. для функционала утверждение леммы также справедливо. Лемма 2. Функционал линеен и непрерывен по обоим аргументам. Оператор , определяемый по формуле для всех , , липшиц-непрерывнен с постоянной зависящей от входных параметров задачи. Доказательство. Линейность функционала по обоим аргументам непосредственно следует из определения. Снова используя теоремы вложения Соболева [25, 30], нетрудно проверить, что , где постоянная зависит от a, . Отсюда, во-первых, в силу теоремы Рисса-Фишера следует существование линейного непрерывного оператора C, определяемого соотношением для всех , , а во-вторых, выполнение неравенства , из которого и вытекает липшиц-непрерывность оператора C с постоянной . Теорема 1. Задача (1) имеет единственное решение. Доказательство. Функционал в силу леммы 1 является строго выпуклым и полунепрерывным снизу по U и строго вогнутым и полунепрерывным сверху по . Далее, для любого фиксированного выполнено неравенство , откуда вытекает коэрцитивность L по U. Наконец, для любого фиксированного имеет место неравенство , откуда следует анти-коэрцитивность L по . Из теоремы вложения Соболева [25, 30] имеем, что множество K выпукло и замкнуто. Но тогда, применяя результаты [23, 25, 26], получаем существование единственного решения задачи (1). 3. Итерационный метод и численные эксперименты Для построения приближенного метода решения задачи вычислим производную Гато [23, 26] функционала . Имеем (2) Справедлива. Лемма 3. Функционал дифференцируем по Гато, его градиент является сильно монотонным оператором с постоянной , зависящей от входных параметров задачи. Доказательство. Учитывая (2), имеем (3) Из соотношения (3) и следует утверждение леммы. Для решения задачи (1) рассмотрим следующий итерационный процесс. Пусть - произвольный элемент. Для найдем как решение линейной задачи теории упругости , - сопряженный к оператор. Полагаем затем , где - оператор проектирования на выпуклое замкнутое множество K, - итерационный параметр. Таким образом, каждый шаг метода сводится к решению линейной задачи теории упругости и нахождению проекции на выпуклое замкнутое множество K. Теорема 2. Пусть . Тогда сходится сильно к при . Доказательство. Пусть - решение задачи (1). Используя технику, изложенную в [28, 51, 52], свойство жесткой нерастягиваемости [53] оператора проектирования на выпуклое замкнутое множество, получаем, что справедливо неравенство . (4) По условию теоремы . Из (4) следует, что ограниченная снизу (нулем) числовая последовательность сходится к некоторому пределу, а значит, при . Предложенные методы решения задачи были реализованы численно. Построена конечно-разностная аппроксимация задачи. Был разработан комплекс программ в среде MatLab, проведены расчеты для модельных задач как с учетом, так и без учета физической нелинейности. Расчеты проводились при следующих значениях параметров задачи: a = 20 см, 2t = 2 см, = 0,05 см, МПа, = 0, = 0, = 0, = = 0,3, k = 1,2, = 25 МПа, P = -100 кгс/см, = 1,5 кг/см2, = 0,01, число точек сетки N = 128, начальное приближение задавалось нулевым. Результаты расчетов приведены на рис. 2-5 (физически линейный случай) и рис. 6-9 (физически нелинейный случай). Рис. 2. Мембранные усилия в несущих слоях Fig. 2. Membrane forces in carrying layers Рис. 3. Осевые перемещения несущих слоев Fig. 3. Axial displacements in carrying layers Заметим, что сформулированные для функции граничные условия , соответствуют наличию в левом торцевом сечении пластины абсолютно жесткой в поперечном направлении диафрагмы, имеющей адгезионное соединение с заполнителем, а в правом торцевом сечении - отсутствию адгезионного соединения. Из рис. 5, 9 видно, что наличие диафрагмы обеспечивает передачу формирующейся в левом торцевом сечении перерезывающей силы (реакции опоры) заполнителю практически без концентрации напряжений (в физически линейном приближении задачи (см. рис. 5), полное отсутствие концентрации касательного напряжения в заполнителе при его достижении предельного значения = 1,5 кг/см2 (см. рис. 9), а отсутствие в правом торцевом сечении адгезионного соединения приводит к полной передаче перерезывающей силы на внешние слои конструкции. Рис. 4. Прогибы в несущих слоях Fig. 4. Bending of carrying layers Рис. 5. Касательные напряжения в заполнителе Fig. 5. Tangential stresses in core Рис. 6. Мембранные усилия в несущих слоях Fig. 6. Membrane forces in carrying layers Рис. 7. Осевые перемещения несущих слоев Fig. 7. Axial displacements in carrying layers Рис. 8. Прогибы в несущих слоях Fig. 8. Bending of carrying layers Рис. 9. Касательные напряжения в заполнителе Fig. 9. Tangential stresses in core

About the authors

I B Badriev

Kazan Federal University

M V Makarov

Kazan Federal University

V N Paimushin

Kazan Federal University; Kazan National Research Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 325

PDF (Russian) - 144